Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Винницкий национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

pm_l_2 Прикл мех Сопромат

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
17.05.2015
Размер:
1.56 Mб
Скачать
☆

41

від’ємним абодорівнюватинулю. Осьовііполярниймоментопору визначаєтьсязаформулами:

W

 

I z

, W

y

 

I y

, W

p

 

I

. (10.12)

 

Z

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

max

 

 

 

max

 

10.4Визначеннямоментівінерціїтамоментівопору простоїформиперерізів

Допростоїформиперерізувідносяться: прямокутник, квадрат, коло, кільцеіінші(див. рис10.3). Визначаємодляпрямокутника(див. рис.10.3а). ВиділимонескінченнумалуплощадкуdA увиглядісмушки, щомаєширину b івисотуdy, тодіdA=bdy. Визначаємоосьовімоментиінерції.

y

 

y

y

R

y

 

 

 

 

d ρ

r

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

h

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

а

0

 

 

 

b

 

а

 

R

 

 

 

 

 

а)

 

б)

в)

 

г)

 

 

Рисунок10.3 - Простіформиперерізів

 

 

 

 

 

 

h

h

 

h

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2 y3

 

h3

 

bh3

I

 

y

2dA y2bdy 2by

2dy 2b

 

 

d 2b

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 8

 

 

 

 

A

 

h

 

0

 

0 3

 

12

2

Аналогічноотримаємо, що

b3h I y 12

Визначаємоосьовімоментиопору:

 

I y

 

 

bh3

b2h

 

Wy

 

 

 

 

 

 

.

 

 

h

 

 

Imax

 

 

6

 

 

12

 

 

 

 

 

2

 

 

 

(10.13)

(10.14)

42

Визначаємодляквадрата(рис.10.3,б), враховуючи, щоb=h=a, томуосьовімоментиінерціїбудуть:

I z I y

a

(10.15)

 

12

 

іосьовімоментиопору:

a3

(10.16)

Wz Wy .

6

 

Визначаємо для кола (див.рис.10.3,в) радіусом R. Виділимо нескінченномалуплощадкуdA увиглядікільцяшириною dp, яке розміщененазміннійвідстаніρвідплюса, тобто0 ρR, тодіdA=2Пρdρ. Обчислюємополярниймоментінерції:

 

 

2

R

2

 

R

3

 

R

4

 

R 4

 

D

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.17)

I dA 2

d 2 d 2

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

0

 

 

0

 

 

0

4

 

2

 

32

 

 

Визначаємозначенняосьовихмоментівінерціїкола. Оскільки,

внаслідоксиметрії, длякола:

I z

I y

, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D 4

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

D 4

 

Iz I y I

ітоді I z

I y

 

 

I

(10.18)

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

64

 

Визначаємомоментиопору:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

D 4

 

D3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64 / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

D 4

 

 

 

D3

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

W W

 

 

 

 

 

 

 

(10.19)

 

 

 

 

 

 

z

y

Ymax

 

 

64 / D

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Визначаємодлякільця(див.рис.10.3,г), щомаєрозміриdxD абоr·R.

Полярниймоментінерціїдлякільцяотримаємоаналогічноколу, якщо виразполярногомоментуінерціїпроінтегруємоумежах:

 

 

 

 

 

 

d

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

4

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

D

 

D

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

,(10.20)

 

 

 

 

d 2

 

 

d

 

 

 

 

 

(1 C

)

I 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

32

 

32

 

32

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

43

де C d відношеннявнутрішньогодіаметракільцядозовнішнього.

D

Аналогічномаємо:

 

 

 

 

D 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( C 1 ) .

 

 

 

 

(10.21)

I z I y

64

 

 

 

 

 

Моментиопору:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D4

 

 

4

 

 

 

 

 

I

 

 

 

32

(1 C

 

)

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

 

(10.22)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D4

 

 

 

 

 

 

 

 

4

)

 

 

 

 

Wz Wy

(1 C

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

10.5 Визначеннямоментівінерціїімоментівопору складноїформиперерізів

Прирозв'язаннірізнихпрактичнихзадаччастовиникаєпотреба визначитимоментиінерції, атакожімоментиопорускладнихперерізів відноснотихчиіншихосей, щолежатьуплощиніперерізу. Длястандартних поперечних перерізівстержнів (кутових рівнобоких танерівнобоких, двотаврових, швелернихтаінших)- моментиінерціївідноснорізнихосей наведеновтаблицяхсортаментів.

Привизначеннімоментівінерціїскладнихперерізівостанніможна розбитинапростічастини, моментиінерціїякихвідомі, іпотімзаписати алгебраїчнусумуцихвідповіднихмоментівінерції, якаібудемоментом інерціїскладногоперерізу, тобто:

n

n

 

I z Izi

і I y I yi .

(10.23)

i 1

i 1

 

Моментиопорускладнихперерізіввизначаютьсязаформулами:

W

I z

і W

y

 

I y

,

(10.24)

 

 

z

Ymax

 

 

Zmax

 

 

 

 

 

 

 

 

деIz іIy - моментиінерціїскладногоперерізуіImax, Zmax- найбільш віддаленіточкискладногоперерізувідпочаткукоординатосей. Слід зауважити, щоколивскладномуперерізієотвір, товідповідниймомент інерціїотворуберетьсяіззнакоммінус.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44

 

 

 

 

 

 

 

 

10.6 Моментиінерціївідноснопаралельнихосей

 

 

 

Нехай відомі моменти інерції плоского перерізу відносно

центральнихосейz таy (осі, якіпроходятьчерезцентрваги, називаються

центральними):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

z

y2 dA ,

I

y

Z 2dA ,

I

zy2dA .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zy

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

A

 

 

 

A

 

 

 

Треба визначити

моменти

 

інерції відносно

осей,

паралельних

центральним(рис10.4):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

z1

( I )2 dA ,

I

y1

( z

 

)2 dA ,

I

z1 y1

( z

y )2 dA

(10.25)

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1 1

 

 

 

 

A

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

Координатибудь-якоїточкиуновійсистеміz1o1y1 можнавиразитичерез

координативстарихосях( тобтоусистеміzoy):

 

 

 

 

 

 

 

 

Z1 Z b

 

Y1 y a

 

 

 

 

 

 

 

Підставляємоцівеличиниуформули(10.25) таінтегруємопочленно:

 

 

Y1

 

 

Z1

 

 

 

 

 

 

dA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y1

Z

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z1

 

 

 

Рисунок10.4 - Визначеннямоментівінерціївідноснопаралельнихосей

I

z1

( y

)2 dA ( y a )dA y 2dA a2 dA 2a ydA

(10.26)

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

A

 

 

 

 

A

 

A

 

 

A

 

 

I

y1

( z

)2 dA ( z b )dA z2 dA b2dA 2b zdA (10.27)

 

1

 

 

 

 

A A A A A

45

I z1 y1 z1y1 dA ( z b)( y a )dA zy dA ab dA

A

A

A

A

(10.28)

 

 

 

 

a zdA b ydA

A A

Оскількиінтеграли:

ydA S

z

та zdA S

y

 

 

A

 

A

 

дорівнюютьнулюякстатичнімоментивідносноцентральнихосей, то формули(10.26), (10.27) і(10.28) набираютьвигляду:

I z

I z a 2 A

I y I y b2 A

(10.29)

 

1

 

1

 

I

z1

y I zy abA

 

(10.30)

 

1

 

 

Отже:

1) моментінерціїплоскогоперерізувідноснодовільноїосі дорівнюємоментуінерціївідносноцентральноїосі, паралельнійданій, плюсдобутокплощіперерізунаквадратвідстаніміжцимиосями.

2) відцентровий моментінерціївідносно довільноїсистеми взаємноперпендикулярних осей дорівнюєвідцентровомумоменту інерціївідносноцентральнихосей, паралельнихданим, плюсдобуток площіперерізунакоординатиїцентравагивновихосях.

Зазначимо, що координати а, b у формулі(10.30) треба підставляти, враховуючиїхнійзнак.

Формули (10.29) показують, що моменти інерціїперерізу відносноцентральнихосей завжди будутьменшими, порівняноз моментамиінерціївідноснопаралельнихосей.

ЛЕКЦІЯ14

11КРУЧЕННЯ

11.1Визначеннякрутнихмоментів

Крученням називається деформація, яка виникає при прикладеннідокінцівстержнядвохпарсил, якідіютьуплощинах, перпендикулярнихдоосістержняімаютьрівніпротилежнімоменти. Крученнявалавідбуваєтьсявнаслідокйогонавантаженнязовнішніми крутильнимимоментами, якінавідмінувідвнутрішньогосилового чинникакрутногомоментуMk (Mx), будемопозначатилітерою T.

46

КрутильнімоментичастонапрактицібуваютьзаданінімоментамиTi, а потужністю Pi, що передаєтьсяна вал, ікутовою швидкістю обертання вала i або кількістю обертів за хвилину ni. Тоді крутильниймоментвизначаєтьсязаформулою:

T

P

 

, Нм

(11.1)

 

 

 

 

деP - потужність, щопередаєтьсявалом, Вт;- кутовашвидкість, рад/с.

Якщозаданачастотавала, тодівизначаєтьсяспочаткукутова швидкість:

n

,

(11.2)

 

30

 

 

деnчастотаобертання, об/хв.

Для визначення крутних моментів користуємося методом перерізів. Прицьомутребаобумовитисьправиломзнаківприкладення крутного моменту. Такдля стержня(див. рис. 11.1а) необхідно враховувати:

1)колирозглядаємоправучастинустержня, топрикладаємо

внутрішнійсиловийчинникMk так, щобспостерігач, ізпозитивного кінцяосіХ, бачивйогонапрямокзарухомгодинниковоїстрілки(див.

рис.11.1,б).

2)коли розглянемо лівучастину стержня, то прикладаємо

внутрішнійсиловийчинникMk так, щобспостерігач, ізпозитивного кінцяосіх, бачивйогонапрямокпротирухугодинниковоїстрілки

(див. рис.11.1, в).

Потім при розгляданніякоїсь частини стержня, записавши рівняннярівноваги, знаходимовеличинуізнаквнутрішньогосилового

чинникаMk (крутногомомента). Слідзазначити, щорозглядаємо крученнятількидляперерізів, якімаютьформуколаабокільця.

Розглянемовизначеннякрутнихмоментівдлястержня(див. рис. 11.2,а). Спочатку можнавизначити реакцію опори А, дляцього записавширівняннярівноваги:

m x 0

TR t 2a 5T 3T 0 звідси

TR a 5T 3T 2 2 T a 2T 2T a

Тепер для визначення крутних моментів розглядаємо дві ділянки, роблячидвапереріза1-1 і2-2, див. рис. 11.2,а.

47

РозглядаємоділянкуВС, деХ знаходитьсяумежах0 X а, іу

1 1

думціприкладаємодоправоїчастинистержняМк1 (див. рис. 11.1,б).

Післяцьогозапишеморівняннярівноваги, що m x 0

Mk 3T 0

 

1

звідси Mki 3T const , тобтонаділянціВСдієпостійнийкрутний

моментМki.

РозглядаємоділянкуАВ, декрімзосередженогокрутильногомоменту

Т, дієщеірозподіленийкрутильниймоментt=2T/a. Наційділянціх

R 2

знаходятьсяумежах0 х 2аіудумцідолівоїчастинистержня

2

прикладаємоМк2 (див. рис. 11.1, в). Післяцьогозаписуєморівняння рівноваги, що:

mx 0 TR t x2 Mk2 0 звідси

T

M k2 TR t x2 2T 2 a x2 ,

тобто на ділянці АВ діє змінний крутний момент Мк2. ЗнаходимовеличиникрутногомоментуМк2 уперерізахА таВ. У перерізіА, х2=0, томуМк2=2Т. УперерізіВ, х2=2а, томуМк2=2Т-2Т/а ·2а= -2Т. Длятого, щоббуловидно, якзмінюєтьсякрутниймомент, будуємойогоепюру, тобтографічнезображеннякрутногомоментупо довжиністержня. Епюру крутних моментів будуємо напідставі розглядуобохділянокстержня(див. рис. 11.2,б).

Требазауважити, щонаепюрікрутнихмоментіввперерізі, де прикладенийзосередженийкрутильниймомент, завждибудестрибок на його величину. На ділянках, де прикладений розподілений крутильниймомент, наепюрікрутнихмоментівбудутьпохиліпрямі лінії, анаіншихділянкахбудутьгоризонтальніпрямілінії.

2T

T

3T

4T

X

X X

a)

Рисунок11.1 - Правилознаківприкрученні

 

48

3T

4T

 

X

 

X

Mk

 

 

б)

2T

T

 

X

 

X

 

Mk

 

в)

Рисунок11.1 - Правилознаківприкрученні(продовження)

11.2 Напругаідеформаціяприкрученні

Напругаприкрученнівизначаєтьсязаформулою:

 

M

ki

,

(11.3)

 

 

 

i

I

 

 

 

 

 

 

деМкi- крутниймоментуперерізі, якийрозглядаємоіберемойогоізепюри

крутнихмоментів; I - полярниймоментінерціїперерізу; ρ- поточнийрадіус

ρ

доточки, девизначаєтьсянапруга(див. рис. 11.3), причомувінзнаходиться умежах, 0 ρR. Враховуючи, щовідношенняМкi/Iρєпостійнавеличинадля окремогоперерізу, томожназробитивисновок, щодотичнанапругаτi прямопропорційнапоточному радіусуρівцентріперерізу(центрваги перерізу, точкаО) напругакрученнядорівнюєнулю, τ0=0 (томущоρ0=0). По мірізростанняρ, напругазбільшуєтьсяідосягаєнайбільшоївеличинина

49

поверхніперерізу(див. рис. 11.3., τА=τmax). Таким чином видно, що максимальнадотичнанапругаурозглядаємомуперерізі, будевточціА, тобтонаповерхніперерізуівонавизначаєтьсязаформулою:

T R

t=2T/a

І5T

І

3T

A

 

B

 

C

 

 

 

 

a)

 

 

 

 

X

 

2a

 

 

a

 

x2

ІІ

І

x1

 

 

 

 

3T

2T

 

 

 

б)

 

 

 

+

 

1

 

 

+

 

 

+

 

 

 

 

EMk

 

a

_

 

-

 

2

 

2T

 

 

Рисунок11.2 – Визначеннякрутнихмоментів

Мki

max

A

О R

Рисунок11.3 - Визначеннянапруги

50

 

 

M

ki

 

 

M

ki

R

M

ki

 

M

ki

(11.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

I

max

 

 

I

 

I / R

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умоваміцностіприкрученнімаєвигляд:

 

 

M

kmax

,

(11.5)

 

 

 

max

 

 

W

 

 

 

 

 

де - припустиманапругаприкрученніідлявуглецевоїсталі можнаприймати, що = 100 МПа. Використовуючиумовуміцності, визначаютьдіаметрвала.

 

D3

 

Mk

max

звідси D

16 Mk

max

. (11.6)

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Використовуючирис. 11.2 можназаписати, що

16 3T

D .

Характеристикамидеформаціїприкрученніє: абсолютнийкут закручення φ івідносний кут закручення θ=φ/L (L - довжина відповідна). Абсолютнийкутзакрученнявизначаєтьсязаформулою:

 

M k Li

 

 

 

 

 

 

i

 

i

 

,

(11.7)

 

G I

G I

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

деLi- довжинарозглядаємоїділянки;

G - модульпружностідругогороду(длясталіG=8·104 MПа);i - площаепюрикрутнихмоментіввідповідноїділянки.

Повний абсолютний кут закручення усього стержня (вала) визначається:

n

(11.8)

i

.

i 1

Відноснийкутзакрученняобчислюється:

/ L

M

ki

/ G I .

(11.9)

i i i

 

 

 

Умовоюжорсткостіприкрученніє:

 

M

kmax

/ G I ,

(11.10)

max

 

 

 

деθ- припустимийкутзакручення, длявуглецевоїсталіможна прийматиθ=(0.15…0.25)·10-4 рад/мм. Використовуючиумовуміцності

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности