Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Винницкий национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

pm_l_2 Прикл мех Сопромат

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
17.05.2015
Размер:
1.56 Mб
Скачать
☆

71

Рисунок13.2 - Прикладрозв’язаннязадачдлябалки, навантаженоїприплоскомузгині

Рисунок13.3 - ЕпюризгинаючихмоментівMy іMz принеплоскомузгині

72

Обчислимо нормальнінапруги в довільній точціК(z,y) поперечногоперерізу, взятогонавідстаніхвідвільногокраюконсолі

(рис13.4).

Рисунок13.4 - Схемадовизначеннянормальнихнапругупоперечномуперерізі принеплоскомузгині

ОскількикожнийізмоментівMy іMz утворюєвданійточці нормальнунапругу, топовнунапругузнайдемояксумускладових: σ= σ+ σ. Тутσ– нормальнанапругавточціК, утвореназгинаючим моментомMz:

Mz y , I z

(13.3)

аσ – нормальнанапругавтійжеточці, утвореназгинаючим моментомMy:

M y z , I y

(13.4)

отже, результуючанормальнанапругавточціКстановитиме

M z y M y z .

I z

I y

(13.5)

Відомо, що за прямого (плоского) згину нейтральна лінія збігаєтьсязоднією ізголовнихосейперерізуіперпендикулярнадо силовоїплощини. Зрівняння(13.5) видно, щонормальнінапругипри косомузгинівцентрівагиперерізутакождорівнюютьнулю. Тобто,

73

якщо в (13.5) підставимо у=0 іz=0, то дістанемо σ=0. Проте нейтральналініянезбігаєтьсязжодноюізголовнихосей.

Оскількиформуланейтральноїлініїописуєгеометричнемісце точоквперерізі, деσ=0, тоіз(13.5) маємо:

 

M z

 

M

 

 

 

 

 

y

 

y

z 0

 

I z

 

 

 

 

I y

 

 

 

 

 

 

 

 

M

y

I

або

y

 

z

z

M z

 

 

 

 

I y

(13.6)

Церівнянняпрямої, щопроходитьчерезцентрвагиперерізу. Із математикивідомо, щоположеннятакоїпрямоїможебутизадано кутом їнахилудооднієїзкоординатнихосей. Тобтоположення нейтральноїлініївизначаєтьсякутовимкоефіцієнтом:

 

y

 

M

y

I

tg

 

 

z

,

 

Mz

 

z

 

I y

(13.7)

деβ– кут, якийутворюєнейтральналінія(н. л.) звіссюZ (рис.

13.5).

Рисунок13.5 - Взаєморозміщеннясиловоїплощинир-рінейтральноїлінії(н.л.)

Нацьомужрисункупоказанасиловалініяр-ряклініяперетину силовоїплощиниіпоперечногоперерізубалки. Ізформул(13.1) і (13.2) випливає, що

74

 

M y Fz x F sin tg ,

M z Fy x

F cos

(13.8)

тодіформулу(13.7) можнапереписатиувигляді

tg I z tg . I y

(13.9)

Отже, положеннянейтральноїлініїнезалежитьвідзначення силиF, авизначаєтьсялишекутомнахилусиловоїплощинидоосіY і

формою перерізу. Причому, якщоІ=І, тоіз(13.9) випливає, що

z y

|β|=|α|, азначить, нейтральналініястаєперпендикулярнодосилової площини. Оскільки взагальному випадку косогозгину моменти інерціїІz іІy недорівнюютьодинодному, тоінейтральналініяне перпендикулярнадосиловоїплощини.

Звернемоувагунате, щонанейтральній лінії нормальні напругидорівнюютьнулю, амаксимальнихзначеньвонидосягаютьу точках перерізу, найвіддаленіших від нейтральної лінії. В розглядуваномуперерізі(рис. 13.5) найбільш напруженимибудуть точкиВіД. Длязнаходженнянапругуданихточкахнеобхіднов рівняння(13.5) підставитиізврахуваннямзнакаїхкоординати, тоді

 

 

M

 

 

 

 

M y

 

 

 

 

 

 

M

z

 

 

 

 

 

 

 

M y

 

 

 

 

 

 

 

 

z

Y

 

 

 

 

 

Z

B

,

 

 

 

 

Y

Д

 

 

 

 

Z

Д

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

B

 

 

 

I y

 

 

 

 

Д

I z

 

 

 

I y

 

 

 

 

 

 

I z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

W

 

 

W

y

 

Д

 

W

 

 

 

W

y

 

 

 

(13.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

деW

 

 

I z

 

 

I z

 

 

I z

 

– моментопоруперерізувідносно

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

Ymax

 

YB

 

 

YД

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

осіZ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I y

 

 

 

I y

 

 

 

I y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wy

 

 

 

 

 

 

– моментопоруперерізувідносно

Zmax

 

Z B

 

Z Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

осіY.

75

Для нормальноїроботи елемента конструкціїмаксимальні нормальнінапругивнебезпечномуперерізінемаютьбутибільшими заприпустимі. Небезпечнийпереріззнаходятьізаналізупобудованих епюрMy іMz (див. рис. 13.3). Очевидно, щоврозглянутомувипадку небезпечнийперерізбудевзакріпленнібалки(перерізА1В1С1Д1 на рис. 13.2), амаксимальнізгинаючімоментистановитимуть: Mzmax=Fyl, Mymax=Fzl. Тодіумовуміцностіприкосомузгинізурахуванням(13.10) запишемоувигляді

 

 

max

 

max

 

p ;

 

max

B1

M z

 

M y

 

 

W z

W y

 

 

 

 

 

 

max

 

 

M max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

Д

 

M z

 

 

y

c ,

 

Wz

 

W y

 

 

1

 

 

 

 

(13.11)

де[σ] і[σ] – припустимінапругиматеріалубалкивідповідно

р с

нарозтягістиск.

Длябалок, матеріали яких однаково чинятьопіррозтягу і стиску, маємо

 

 

 

 

max

 

M max

 

 

 

 

 

 

 

M z

 

 

 

y

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

Wz

 

 

 

 

Wy

 

 

 

 

 

(13.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де

W

 

I z

;W

y

 

I y

 

; Z

max

,Y – координати

 

 

 

 

z

Ymax

 

 

 

Zmax

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

самоївіддаленоївіднейтральноїлініїточки.

13.2 Згинзрозтягом(стиском)

Якщо на стержень діють зовнішнінавантаження, силові площиниякихпроходятьчерезвісьстержняівикликаютьпоперечніі поздовжнізусилля, тотакийвидскладногоопоруназиваютьзгиномз розтягом (стиском). В цьомуразівпоперечнихперерізахстержня маютьмісцепоперечнісилиQy іQz, поздовжнясилаNx ізгинаючи моментиMy іMz. Яківвипадкукосогозгину, вцьомуразітакож нехтуютьпоперечнимисиламиQy іQz іспричиненимидотичними

76

напругамиτy таτz. Длязнаходженнявточкахпоперечногоперерізу нормальної напруги σ необхідно, використовуючи принцип суперпозиції, додати складові напруги, зумовлені окремо повздовжньоюсилоюNx ізгинаючимимоментамиMy іMz.

Розглянемодеформацію згинуірозтягу(стиску) наприкладі позацентрового розтягу. Позацентровий розтяг – це такий вид деформації, колирозтягуючасилапаралельнаосістержня, алеточкаї прикладеннянезбігаєтьсязцентромвагиперерізу. Точкуперетину будь-якогоперерізустержнязлінією діїсилиF назвемополюсом сили. Координатиполюсасиливсистеміголовнихосейпоперечного перерізупозначимоYp таZp. Відстаньвідполюсасилидоцентраваги перерізуназиваєтьсяексцентриситетоме(рис. 13.6)

Рисунок13.6 - Внутрішнісилові Рисунок13.7 - Внутрішні чинникиприпозацентровомурозтягу силовічинникивдовільному

стержня перерізістержня

Знайдемо внутрішнісиловічинники у довільному перерізі стержня(рис. 13.7). Використовуючиметодперерізів, дістанемо

77

Nx=F , Mz=FYp , My=FZp.

Нормальнінапругивідкожногоізвнутрішніхсиловихчинників Nx, Mz, My будутьвідповідно

 

N x

,

 

M z

y ,

M

y

z

 

 

 

A

 

I z

I y

Підсумовуючиσ, σ іσ , маємо

1

Y p

 

Z p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F y

 

Z .

A

 

I

z

 

I

y

 

 

 

 

 

 

 

(13.13)

Формулу (13.13) можна використовувати для визначення напругиприпозацентровомурозтягу. В разіпозацентровогостиску передправою частиною формули(13.13) необхіднопоставитизнак “мінус“.

Прирівнюючинапругувформулі(13.13) до нуля, дістаємо рівняннянейтральноїлінії

1

Y p

y

Z p

z 0

.

 

 

 

 

A

I z

I y

 

 

 

 

(13.14)

Очевидно, що(13.14) єрівнянняпрямої, яканепроходитьчерез початок координат. Отже, це рівняння нейтральноїлініїможна записатитакожувиглядіy az b , де

a

I z

Z p

, і

b

I z

 

 

A Y p

I y Y p

 

 

 

Дляпобудовитакоїпрямоїнеобхідновизначитихочабдві точки, якіїйналежать. Протепростішенапідставірівняння(13.14) записатиформулидлявизначеннявеличинвідрізків, яківідсікаються нейтральноюлінієюнаосяхкоординат(рис. 13.8).

Якщо

z 0 ,

y yH

I z

,

A Y p

 

 

 

 

 

(13.15)

 

 

 

I y

 

якщо

y 0 ,

z z H

 

.

 

 

A Z p

 

 

 

 

(13.16)

78

Очевидно (рис. 13.8, формули (13.15) та (13.16)), що полюс і нейтральналініялежатьпорізнібокивідцентравагиперерізу. При чому, якщо ексцентриситет езбільшується, то нейтральна лінія наближаєтьсядоцентравагиперерізу, інавпаки. Отже, якщополюс збігається з центромваги, то нейтральна лінія віддаляється в нескінченність. В цьомуразізгинаючимоментизникають, томущо координатиYp таZp дорівнюютьнулю, іпозацентровийрозтяг(стиск)

перетворюєтьсявцентральний.

В разіпозацентровогорозтягу (стиску) нормальнанапругав кожнійточціпоперечногоперерізустержняпропорційнавідстанівідцієї точки до нейтральної лінії. Використовуючи цю закономірність, побудуємо епюру нормальних напруг, значенняяких відкладються відноснолінії, перпендикулярноїдонейтральноїосі(рис. 13.8). Тоді значення максимальних нормальних напруг на ділянці розтягу становитиме:

Рисунок13.8 - Положеннянейтральноїлініїіепюранормальнихнапругпри позацентровомурозтягустержня

79

 

 

 

Y

p

 

 

Z

p

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

Y

 

 

Z

,

 

 

max

B

A

I

z

B

 

I

y

B

 

 

 

 

 

 

 

 

наділянцістиску

 

 

Y

p

 

 

Z

p

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F Y

Z

.

min Д

A

 

I

z

Д

 

I

y

Д

 

 

 

 

 

 

 

 

Останнірівнянняможутьбутивикористанідляскладанняумови міцностіматеріалуприпозацентровомурозтягу(стиску). Оскількидля

пластичнихматеріалів[σ] = [σ] = [σ], тоумоваміцностізаписується

р с

дляоднієї, найбільшвіддаленоївіднейтральноїлініїточки:

 

 

 

Y

p

 

 

Z

p

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

Y

 

 

Z

.

max

B

A

 

I

z

B

 

I

y

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(13.17)

Длякрихкихматеріалів[σс]> [σр], тому, якщонапругистискув поперечномуперерізістержнябільшівіднапругрозтягу, розрахунок наміцністьведетьсязадвомаумовами:

max p , , min c .

(13.18)

13.3 Згинзкрученням

Одночаснихдеформаційзгинуікрученнязазнаєбільшістьвалів, якізвичайнобуваютьпрямимистержнями круглогоабокільцевого перерізу. Такепоєднаннядеформаційвалівутворюютьсилинатягупасів нашківахпасовихпередач, тискузубцівколісвзубчастихпередачах тощо. Впоперечнихперерізахвалапризгинізкрученнямвідміннівід нулятакісиловічинники: Mk, My, Mz, Qy таQz. Цісилиімоментив точкахперерізувалаутворюютьнормальнінапругивідзгинуідотичні напругивідзгинуікручення. ВпливомпоперечнихсилQy іQz нехтують, томущовідповідніїм дотичнінапругинабагатоменшізадотичні напруги кручення і нормальні напруги згину. До того ж в найнебезпечніших точках на поверхнівала дотичнінапруги від поперечнихсилдорівнюютьнулю. Розглянемовал, наякомузакріплено

двашківиСіДпасовоїпередачідіаметрамиД іД (рис. 13.9). Сили

1 2

80

натягувітокпасовихпередачпозначимоt1’, t1’’ i t2’, t2’’. Нехтуючитертяму підшипникахАтаВ, складеморозрахунковусхему.

Д

1

Д2

Рисунок13.9 - Прикладзгинузкрученнямвала

Дляцьогонаведемовсідіючисилиікрутильнімоментинавалдо йогоосі. ПідчасперенесеннясилиF (рис. 13.10) доосіваланеобхідно

додатищекрутильниймоментT F Д

(рис. 13.10, б).

2

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности