pm_l_2 Прикл мех Сопромат
.pdf21
Відноснеподовження івідноснезвуження єхарактеристиками пластичностіматеріалу. Вонипевною мірою умовні, оскількиприріст довжиниуформулі(8.3) ізменшенняплощіпоперечногоперерізузразкау виразі(8.4) належать до початковоїдовжини іпочатковоїплощі поперечногоперерізу. Насправдіпластичнадеформаціявідбуваєтьсяна довжинізразка, щонеперервнозмінюється.
Характеристикамиміцностіматеріалів, тобтоїх механічними властивостями, що використовуються у практичних розрахунках, є
границяпружності , границятекучості , тимчасовийопір(границя |
|
пр |
Т |
міцності) мтатвердість.
Окрімтвердостівсііншімеханічнівластивостілегкознаходяться іздіаграмирозтягу.
8.3 Твердістьматеріалів
Твердість– цевластивістьматеріалучинитиопірпроникненню у йогоповерхню іншогобільш твердоготіла. Існуєбагаторізнихметодів визначеннятвердостіматеріалу. Найбільшпоширеніце:
1)методБрінелляHB;
2)методРоквеллаHRC абоHRB;
3)методВіккерсаHV.
Суттєвістьвизначеннятвердостіполягаєвнаступному. Наплощадку твердоміра(прибор для визначеннятвердості) кладуть досліджуємий матеріаліпідвизначенимнавантаженнямвдавлюютьінденторіпісляцього матеріал отримуєвідбитокпо якомувизначаєтьсятвердість. У вище названихметодахвизначеннятвердостіінденторамиє: стальнакуля 2,5;
5,0; 10 мм(методБрінелля), алмазнийконусізкутомпривершині120
(шкалаHRC червона), сталевакуля1 / 16' ' =1,5875 мм (шкалаHRB
чорна),алмазнапірамідаздвограннимкутомпривершині136 (метод Віккерса).
ТвердістьпоРоквеллувимірюєтьсяубезрозмірниходиницях, апо БрінеллюіВіккерсу– Па, Мпаіт. ін.
ТвердістьпоБрінеллювизначається(див. рис.8.3.) заформулою
22
F
D
d
|
Рисунок8.3 - ТвердістьпоБрінеллю |
|
|||||||
HB |
F |
|
|
|
F |
|
, Мпа |
(8.5) |
|
Aвідб |
|
|
|
|
|||||
|
|
D |
( D D 2 d 2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
2
деD – діаметрсталевоїкулі, мм;
d – діаметрвідбитку, тобтолунки, мм; F – навантаження, Н.
МіжтвердістюпоБрінеллюіміцністюматеріалуєзалежність
м kHB ,
(8.6)
деk – коефіцієнт, якийзалежитьвідматеріалу, длясталіможна прийматиk=0.36.
ЛЕКЦІЯ12
9 ОСНОВИ ТЕОРІЇНАПРУЖЕНОГО СТАНУ. ТЕОРІЇМІЦНОСТІ
9.1 Напруженийстануточці
Напруга є результатом взаємодіїчастинок тіла при його навантаженні. Зовнішнісилипрагнутьзмінитивзаємнерозміщення частинок, авиникаючіприцьомунапругиперешкоджаютьзсуванню частинок, обмежуючи його у більшостівипадків деякою малою величиною.
23
|
Y |
|
|
y |
|
|
yx |
|
yz |
|
|
|
xy |
|
zy |
xz |
x |
|
|
|
z |
zx |
X |
Z
Увідповідностідогіпотезиосуцільностіматеріалуслідрахувати, що
Рисунок9.1 - Напруженийстануточці
кожначастинкатілаускількизавгодномаломуо`кілумаєнескінченну множинуіншихчастинок, якіоточуютьїзусіхнапрямків. Розміщена уданійточцічастинкапорізномувзаємодієзкожноюізцихсусідніх частинок. Томуводнійітійжеточціпорізнимнапрямкамнапруги будутьрізнимиітількиудужерідкихвипадкахвониоднаковіувсіх напрямках.
ДосліджуючинапруженийстантілауданійточціА, уїо`колі звично вилучають елемент у вигляді нескінченно малого паралелепіпеда, якийузбільшеномумасштабіпоказанийнарис.9.1.
Граніпаралелепіпедаперпендикулярнідонапрямківдекартових осейX, Y таZ. Нацихграняхдіютьвнутрішнісили, якізмінюютьвплив віддаленоїчастинитіла. Повнінапругинаграняхелементазображують нормальнимитадотичнимискладовими– проекціямиповнихнапругна координатніосі. Нормальнунапругупозначаютьлітерою (сигма) із індексом, відповіднимнапрямкунормалідоплощадці, накотрійвонадіє.
24
Дотичнунапругупозначаютьлітерою (тау) іздвомаіндексами: перший відповідаєнормалідоплощадки, адругий– напрямкусамоїнапруги. Так, наплощадціперпендикулярнійдоосіХ(див. рис. 9.1), діютьнапруги
, і .
хху xz
Можнапоказати, щосукупністьнапругнаграняхтакогоелементарногопаралелепіпедаповністюхарактеризуєнапруженийстануточці навантаженоготіла. Цясукупністьнапругназиваєтьсятензоромнапруг, якийвизначаєтьсязаформулою
хух zx
xy y zy
|
|
|
z |
xz |
yz |
|
(9.1)
Слідвідзначати, щонаневиднихграняхелементавиникають відповіднотакіжнапруги, алепротилежногонапрямку.
9.2 Лінійний, плоскийіоб’ємнийнапруженийстан
Награняхпаралелепіпеда, виділеноговобластідосліджуваної точкинавантаженоготіла, діютьдев`ятьпроекційнапруг(див. рис.9.1 і формулу9.1). Ціпроекціїназиваютьсякомпонентаминапруженогостану вточцііцілкомйогохарактеризують. Длякомпонентнапругіснуєтаке правилознаків. Нормальнінапругивважаютьсядодатними, якщовони розтягуютьвиділенийпаралелепіпед, івід`ємними, якщостискуютьйого.
Якщозовнішнянормальдогранізбігаєтьсяздодатнимнапрямомосі, то дотичнінапруги будуть додатними тоді, коли вони збігаються з додатниминапрямкамиіншихосейсистемикоординат, відноснояких
вонипаралельні. Томунарис. 9.1 всіпоказанінормальнінапруги x ,
, додатні, атакожвсідотичнінапруги , , , , і |
|||
y |
z |
xy xz yx yz zx |
zy |
додатні.
Зумовирівновагивиділеногопаралелепіпедавипливає, щона взаємноперпендикулярнихграняхдотичнінапруги, якінапрямленідо спільногоребра, рівнізаабсолютноювеличиною( рис. 9.1 ), тобто:
, , .
ху ух yz zy zx xz
(9.2)
Рівності(9.2) відображаютьзаконпарностідотичнихнапруг. Отже, іздев`ятикомпонентнапругнезалежнимиєлишешість. Якщозмінюється орієнтаціясистемикоординат, авідповідно, іорієнтаціяпаралелепіпеда, то
25
компонентинапругнайогограняхтакожзмінюютьзначенняізнак. Існуєі такеположенняпаралелепіпеда, заякогонайогограняхвідразувсідотичні напругидорівнюютьнулю.
Нормальнінапругинаграняхтакогопаралелепіпеданазиваються
головнимиіпозначаються , , , аплощадки, щовідповідають
1 2 3
цимграням– головнимиплощадками. Утеоріїпружностідоведено, що головнінапругиєекстремальнимиіміжнимиіснуєспіввідношення:
> > . |
(9.3) |
||
1 |
2 |
3 |
|
Такякщоодназголовнихнапругдорівнює110 МПа, адвіінші відповідно–150 МПаі170 МПа, тоїхобов’язковослідпозначатитак;1 = 170 МПа; 2 = 110 МПа; 3 150 МПа. Неважкопобачити, що
напруженийстанможнахарактеризуватиголовниминапругами. Вцьому разіможливівипадки, колиодначидвіголовнінапругидорівнюютьнулю. Узв’язкузцимрозрізняютьтривидинапруженихстанівуточці:
1)Якщотількиоднаізголовнихнапругвідміннавіднуля, то напруженийстануточціназиваєтьсялінійнимабоодновісним(рис.9.2, а);
2)Якщо тільки одна ізголовних напругдорівнюєнулю, то напруженийстанутакійточціназиваєтьсяплоскимабодвовісним(рис.9.2,
б);
3)Якщо всітри головнінапругивідміннівіднуля, то такий напруженийстанназиваєтьсяоб’ємнимаботривісним(рис.9.2, в).
Розглянемобільшдетальнокожнийізтрьохвидівнапруженогостану вточці.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
а) |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|||
Рисунок9.2 - Видинапруженихстанів
|
|
26 |
|
|
|
|
|
Лінійнийнапруженийстан. Розглянемостержень, якийвипробо- |
|||||||
вуєцентральнийрозтягпіддієюсилF (рис.9.3,а). |
|
|
|||||
|
Х |
|
|
|
Х |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A |
|
|
|
|
||
m |
|
m |
|
|
|||
|
k |
|
|
k |
|
||
|
|
A0 |
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
а) |
|
|
|
|
|
б) |
|
|
Рисунок9.3 – Напругаприлінійномунапруженомустані |
|
|||||
Поперерізуm-k площею А дієнормальнанапруга , яка |
|||||||
визначається: |
0 |
|
|
|
1 |
х |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
N x F |
, |
|
|
|||
|
1 |
х |
A0 |
A0 |
|
|
|
(9.4) |
|
|
|
|
|
||
F увипадкузгіднорис.9.3, а. |
|
|
|||||
деNx |
|
|
|||||
Беремоплощадкунахиленупідкутом доперерізуm-k, тобто |
|||||||
площадкуm-m. Площацієїплощадкирівна |
|
|
|||||
|
A |
A0 |
, |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
(9.5) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
декут будеморахуватидодатним, якщодлясуміщеннясили |
|||||||
ізнормаллю n їїнеобхідноповернути протирухугодинникової стрілки. Повнанапруга, якадієнапохиленуплощадкувизначається:
27
P |
F |
|
F |
|
F cos |
cos |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
A0 |
1 |
||
|
A |
|
|
|
A0 |
||
cos
(9.6)
Розкладаємо повну напругу Р на нормальну та дотичну
складові(див.рис.9.3,б).
Р cos cos 2 ,
1
(9.7)
P |
sin sin cos |
1 |
sin 2 |
|
2 |
||||
|
1 |
1 |
||
(9.8) |
|
|
|
|
Нормальну напругу будемо рахувати додатною, якщо вона |
||||
напрямленау бік зовнішній нормалідо площадки. Нормальніі дотичнінапругивідповіднодорівнюють:
при 0 , |
|
і 0 ; |
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
при 450 , |
|
|
1 |
і |
1 |
; |
(9.9) |
|
|
||||||
|
|
2 |
1 |
2 1 |
|
||
при 900 , |
|
0 і 0 . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким чином при центральномурозтягустержнянормальні |
|||||||
напруги у поперечних перерізах виявляються найбільшими, а в поздовжніх вони відсутні. Такий напружений стан називається лінійним, тобтоодновісним.
Плоский напруженийстан. В процесіроботимеханізміві конструкційчастозустрічаютьсявидинавантажень, заякихуточці реалізуєтьсяплоский абооб’ємний напружений стан. Розглянемо плоскийнапруженийстанідляцього уколідосліджуваноїточки умовновиділимоелементірозмістимотак, якпоказанонарис.9.4, а.
Нехайнабічнихграняхвиділеногоелементадіютьголовнінапруги1 і 2 . Знайдемонормальніідотичнінапругинаплощадці, нормаль
n доякоїутворюєкут 1 знапрямом Х(або 1) ікут 2 звіссюY
(або ). Наційплощадцідіютьнормальні |
ідотичні напруги, |
|
2 |
|
|
якізалежатьвід і . Згідно зпринципом суперпозиціїза |
|||
1 |
2 |
|
|
формулою(9.7) маємо |
|
|
|
cos 2 |
cos 2 |
, |
|
|
1 |
1 2 |
2 |
(9.10) |
|
|
|
28
де 90 ітому cos( 90 ) sin , іопускаючи |
|||
2 |
1 |
1 |
1 |
індексупозначеннікута, рівняння(9.10) переписуємоувигляді
1 cos2 2 sin 2
(9.11)
|
|
X |
|
n |
|
|
X |
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
а) б) Рисунок9.4 – Плоскийнапруженийстан
Міркуючи подібним чином, ізадопомогою формули (9.8) визначаємодотичнунапругуна - площадці:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
sin 2 sin( 2 180 ) |
||||
|
|
1 |
sin 2 |
2 |
sin 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
1 |
2 |
|
2 |
2 |
1 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
( ) sin 2 . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(9.12)
Слідпам’ятати, щоуформулах(9.11) і(9.12) - цекутякий відраховуєтьсявідосі, вздовжкотроїдіємаксимальнанапруга, тобто1 . Користуючисьформулами(9.11) і(9.12), знайдемонормальні
ідотичні напруги на площадці, перпендикулярній до -
площадки(тобто - площадки) дивисьрисунок9.4, б. Нормальдо
29
- площадкипозначимоn . Кут, щоутворюєнормальзвіссюХ(абоз напрямком діїнапруги) будекутом . Тодізаформулою (9.11)
|
2 |
2 |
|
дістанемо cos |
sin |
іоскільки 90 , топісля |
|
|
1 |
2 |
|
підстановкимаємо
1 sin 2 2 cos 2
(9.13)
Аналогічно дістаємо розрахункову формулу для дотичних напруг:
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
1 |
2 |
sin 2 |
1 |
2 |
sin( 2 180 ) |
1 |
|
sin 2 . (9.14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Длявстановленнявластивостейнапруженогостанунавзаємно перпендикулярних площадках, якіпроходять черездосліджувану точку, проаналізуємо формули (9.11)...(9.14). Складаючи формули
(9.11) і(9.13) дістаємо, що
1 2
(9.15)
Таким чином при повороті елемента навколо осі, перпендикулярноїплощадціірисунку, суманормальнихнапругна взаємноперпендикулярнихграняхзалишаєтьсясталоювеличиною.
Порівнюючиформули(9.12) і(9.14), помічаємо, що , тобто
підтверджуєтьсязаконпарностідотичнихнапруг, азнак“мінус“відповідає правилу, якевказаноприрозгляділінійногонапруженогостану.
Найбільш дотичнінапруги, яківиходятьзаналізуформули
(9.12) маємонаплощадкахприsin 2 1, тобтотоді, коли2 90
або 45 . Такимчином, коли 45 , то
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
max |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(9.16)
Необхіднозауважити, щозгіднозприйнятим позначенням напруг, приплоскомунапруженомустануголовнінапруги 1 або 2 зокремаможутьдорівнюватинулю. Тодіпідчасвикористанняформул
30
дляаналізунапруженогостанунеобхіднозамість 1 підставляти
max , азамість 2 - min . Розглянемотепероб`ємнийнапруженийстан, якиймаємісце, коли
награняхвиділеногоелементавсітриголовнінапругивідміннівіднуля (рисунок9.5,а).
Проведемодовільнийперерізелементатак, щобплощинаперерізу
перетнулавсітрикоординатніосі(рисунок9.5,б). Нормальn доцієї площадкиутворюєзкоординатнимиосямиX, Y, Z відповіднокути 1 ,
2 і 3 . Нормальнанапруга n натакійплощадцівизначаєтьсязаформулою, отриманоюзтеоріїпружностііаналогічноюформулі(9.11):
cos2 |
cos2 |
cos2 |
|
(9.17) |
|||
n |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
Рисунок9.5 – Об’ємнийнапруженийстан |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Дотичнінапругинаційплощадціобчислюютьсязаформулою:
2 cos 2 |
2 cos2 |
2 cos 2 |
2 |
(9.18) |
||||
n |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
n |
|
Екстремальнізначеннянормальнихнапруг: