pm_l_2 Прикл мех Сопромат
.pdf
31
|
і |
|
|
n max |
1 |
n min |
3 |
(9.19)
Максимальнізначеннядотичнихнапруг
1 ( ) . max 1 3
2
(9.20)
Особливезначенняврозрахункахнаміцністьвідіграютьнормальні ідотичнінапруги наплощадці, якамаєоднаковийнахилдо всіх
координатнихосей, тобто увипадку, коли . Така |
||
1 |
2 |
3 |
площадканазиваєтьсяоктаедричною, анапругинаній– октаедричними
напругами, щопозначаються |
|
і . Відомо, щовортогональній |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
окт |
окт |
|
|
|
|
|
|
|
|||
(просторовій) системікоординатcos2 cos2 |
cos2 |
1. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
Тодідляоктаедричноїплощадкиcos2 cos2 cos2 |
1 |
і |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
3 |
|
|
формулаоктаедричноїнормальноїнапруги, згідноз(9.17) маєвигляд |
|
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
(9.21) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
окт |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Якщо використати формулу (9.18), |
то октаедрична дотична |
|||||||||||||||||
напругавизначається: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
( )2 |
( )2 ( )2 . |
(9.22) |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
окт |
3 |
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
У теоріїпружностііпластичностікористуютьсяузагальнюючою |
||||||||||||||||||
характеристикою |
напруг, |
яку називають інтенсивністю |
напруг і |
|||||||||||||||
позначають . Інтенсивністьнапруг вираженачерезголовнінапруги |
|||||||
і |
|
|
і |
|
|
||
відрізняєтьсявідоктаедричноїдотичноїнапруги |
лишечисловим |
||||||
коефіцієнтом: |
|
|
окт |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
і |
|
( 1 2 )2 ( 1 3 )2 ( 2 |
3 )2 (9.23) |
||||
|
|
|
|||||
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
||
тобто
і 3 окт
2
(9.24)
Зінтенсивністюнапруг іпов`язуютьмоментпочаткутекучості матеріалів, якіпрацюютьвумовахоб`ємногонапруженогостану.
32
9.3 Теоріїміцностітаїхзастосування
Під дією зовнішніх сил матеріал можеперебувати в різних механічнихстанах. Так, принезначнихнавантаженняхвиникають
пружнідеформаціїіматеріал перебуває в пружному стані. Наростаючінавантаженняприводятьдопоявипластичнихдеформацій. В такомувипадкуговорять, щоматеріалпереходитьупластичнийстан. За великихнавантаженьутворюютьсяпершітріщиниіматеріалпереходить устанруйнування. Всіцімеханічністаниматеріалумивжеспостерігали упроцесідослідженнядіаграмирозтягумаловуглецевоїсталі. Вопорі матеріалівмоментипоявипластичнихдеформацій(абоознакикрихкого руйнування) хочаводнійточціматеріалуконструкціїрозглядається, як порушенняміцностівцілому. Розрахункинаміцність, щоґрунтуються на такому уявленні, називаються розрахунками за припустимими напругами.
Знаходження припустимих напруг у випадку лінійного (одновісного) напруженогостануприрозтягуабостискуневикликає труднощів. При плоскому або об’ємному напруженому стані знаходженнянебезпечнихнапругстановитьнадзвичайноскладнузадачу.
Справавтому, щонебезпечнийнапруженийстануточцізалежитьвід співвідношенняміжголовниминапругами, атакихспіввідношеньпосуті безліч. Крімцього, великітруднощіутворюєісамаможливістьреалізації ідослідженнявлабораторнихумовахвеличезноїкількостірізноманітних складнихнапруженихстанів.
У зв’язкузцим виникланеобхідність, наосновідослідівпри розтягуістиску(лінійнийнапружений стан), теоретичновизначати міцністьматеріалівпридовільнихплоскихтаоб’ємнихнапружених станах. Втакомуразірезультатидослідівприлінійнонапруженомустані стаютьеталономміцності. Задопомогою такогоеталона– такзваної
еквівалентноїнапруги(їпозначають ) - обґрунтовуєтьсяміцність
екв
матеріалівприрізнихдовільнихнапруженихстанах.
Зрозуміло, щоеквівалентною напругою маєбутитакасукупна характеристиканапруги (стан В нарисунку 9.6,б), яку необхідно створитиврозтягнутомуелементі, щобйогостанбувбиоднаково небезпечнимздосліджуванимплоскимчиоб’ємнимнапруженимстаном (станА, рисунок9.6,а). Дляобґрунтуванняеквівалентноїнапругивводять різнігіпотезипропереважаючийвпливтогочиіншогочинникана міцністьматеріалівпридовільномунапруженомустані.
Теорії, якіобґрунтовуютьознакиоднаковоїбезпекируйнування матеріалівприрізнихнапруженихстанах, називаютьсятеоріямиміцності.
|
|
|
|
33 |
Математично довільну теорію |
міцності можна охарактеризувати |
|||
залежністю |
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|||
екв |
|
|
, |
(9.25) |
|
|
|||
|
S |
|
||
|
|
|
нормальна напруга, отримана |
|
де - небезпечна |
||||
експериментальноіздіаграмирозтягу(стиску). Затакунебезпечну
напругувзятодляпластичнихматеріалівграницю текучості |
Т, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- припустимий |
|||
а для крихких –границю міцності М , S |
|||||||||||
коефіцієнтзапасуміцності. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
В |
|
|
||||
1 |
А |
|
1 |
екв |
|
|
екв |
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
а) |
|
|
|
б) |
|
|
|
|||
Рисунок9.6 – Еквівалентнанапругапридослідженніоб’ємногонапруженогостану
З великої кількості запропонованих на цей час теорій розглянемоті, якінайбільшобґрунтованіекспериментальноінабули широкогозастосування.
1.Теоріянайбільшихдотичнихнапруг(третятеоріяміцності). Згіднозцієїтеоріївважають, щопластичнадеформаціявиникає
в наслідок необоротних зсувів у матеріалі, якіспричиняються дотичниминапругами.
Заоб’ємногонапруженогостанунайбільшідотичнінапруги
визначаються згідно з (9.20): |
/ 2 . Отже, якщо |
max |
1 3 |
величина досягаєдеякогонебезпечногозначення , властивого
max
даномуматеріалуівизначеногоприпростому(лінійному) розтягу, то
34
незалежно відвидунапруженого стану матеріалівпереходитьдо пластичного стану. Тодіумова небезпечного стану має вигляд
, аумоваміцностізаписуєтьсяспіввідношенням
max
. max S
(9.26)
Напідставі(9.20 і9.9), атакож тому, що прилінійному напруженомустаніможнавиразитичерез T , тоумовуміцності можназаписатичерезголовнінапруги:
1 |
1 |
3 |
|
1 Т |
ітоді |
|
|
|
S |
||||
2 |
|
|||||
|
|
2 |
|
|||
1 3 .
(9.27)
Ізформули(9.27) випливає, щоеквівалентнанапругазатретьою теоріїміцностіє
.
еквIII 1 3
(9.28)
Веквівалентнійнапрузі(дивись(9.28)) неврахованасередняза значеннямголовнанапруга 2 - цеієосновнимнедолікомтретьої
теоріїміцності. Перевагажцієїтеоріїполягаєвтому, щовонадобре підтверджується різними дослідами при плоскому іоб’ємному напруженихстанахнадматеріалами, щооднаковопрацюютьнарозтяг істиск. Експериментальновстановлено, щопохибкавоцінюванні
міцностічерезнехтуваннявпливом 2 неперевищує15%.
2.Теорія питомоїпотенціальноїенергіїзміни форми тіла
(четверта теорія міцності). Згідно зцією теорію вважають, що граничний стан дляматеріалу, незалежно від виду напруженого
стану, настаєтоді, колипитомаенергіязміниформиU ф водиниці
об’ємуматеріалудосягаєсвогонебезпечногостану( Uф, обчисленого
запростогорозтягу). Умовуміцностіуцьомуразіможназаписатитак:
U ф U ф
(9.29)
Якщовеличини, щовходятьдонерівності(9.29), виразитичерез головнінапруги, тоотримаємо
35
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
( )2 |
( )2 |
( )2 |
|
|
|
(9.30) |
||||
|
|
|
|
|||||||||
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
|
S |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Лівачастинанерівності(9.30) відоманам зформули(9.23) і
вонавиражаєінтенсивністьнапруги . Тодіеквівалентнанапругаза
і
четвертоютеорієюміцностімаєвигляд
|
|
1 |
|
|
( )2 |
( )2 |
( )2 |
(9.31) |
|
|
|
|
|||||||
еквIV |
2 |
1 2 |
1 3 |
2 3 |
i |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отже, четверта теорія міцностівраховує всітри головні напруги, що безперечно єїперевагою. Зазначенатеорія добре підтверджуєтьсядослідаминадпластичнимиматеріалами.
3.Теорія міцності Мора. Ця теорія дозволяє встановити критерійміцностідлякрихкихматеріалів, якіпо-різномучинятьопір розтягуістиску. Вонаґрунтуєтьсянасистематизаціївеликоїкількості експериментальнихданих, якапоказує, щосередняголовнанапруга
2 несуттєвовпливаєнаоцінкуміцностіматеріалів. Наційпідставі Морзапропонувавтакийкритерійміцності:
р ,
еквМ 1 3 р
с
(9.32)
де р і с - припустимінапругивідповідноприрозтягуі
стиску.
КритерійміцностіМорашироковикористовуєтьсявпроцесі розрахунків конструкцій із крихких матеріалів. Для пластичних матеріалів р = с ітомутеоріяміцностіМорадлянихзбігаєтьсяз
третьоютеоріюміцності(9.27).
1 |
1 |
|
2
2
1
2 
36
Рисунок9.7 – Окремівипадкидвохстичнихтіл
37
9.4 Контактнінапруги. Зминання
Деформаціїінапруги, яківиникаютьвнаслідоквзаємноготиску двох стичних тіл (дивись рисунок 9.7) називають контактними. КонтактнінапругивизначаютьсязаформулоюГерца-Беляєва.
|
|
|
|
|
|
|
K |
qEnp |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Н max |
|
Rnp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(9.33) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де |
q |
– |
питоме навантаження на одиницю довжини; |
|||||||
Enp |
2E1E2 |
|
приведениймодульпружностістичнихтіл; |
|||||||
E1 E 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
R |
|
R1R2 |
- приведенийрадіускривизни(знакмінусякщо |
|||||||
|
||||||||||
|
np |
|
R1 |
R2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
стикаютьсяопуклістьзгнутістю); К– коефіцієнт, якийзалежитьвід розмірностівеличин, щовходятьпідкорінь.
Приконтактідвохстичнихтіл виникаємісцеваповерхнева деформаціястиску, якуназиваютьзминання. Привизначенізминання, якевиникаєнакінцевійповеличиніповерхні, можнавиходитиіз припущеннярівномірностінапругипоусійповерхніконтакту. Тоді длярозрахункуназминаннявикористовуютьсяформулирозрахунку пристиску.
зм F ,
Aзм зм
(9.34)
де зм ( 2...2,5 ) , і - єприпустиманапругаприрозтягу.
ЛЕКЦІЯ13 10 ЗСУВ. ГЕОМЕТРИЧНІХАРАКТЕРИСТИКИ
ПЛОСКИХПЕРЕРІЗІВ
10.1 Напруженийстанпризсуві
ЯкщонаелементАВСД(див. рис.10.1 а)дієтількидотичнанапруга, то вінвідчуваєчистийзсув. ЗакріпляємограньAB нерухомо, тодіпіддією дотичнихнапруженьграньCД рухаєтьсяпаралельнограніАВ івона
зсуваєтьсянадеякувеличинуДД=СС=ΔS, яканазиваєтьсяабсолютним
1 1
зсувом. ЕлементABCДперекоситься, апрямікутиперетворятьсяугострі аботупі, змінившисьнавеличинуγ, котруназиваютьвідноснимзсувом,
38
якийєміроюперекручення, тобтоперекосукутівпрямокутника. Оскількиу конструкціяхмимаємосправулишезпружнимидеформаціями, тоцейкут будедужемалимітодіможназаписати
|
|
ΔS |
τ |
ΔS |
|
|
|
|
|
|
C |
C1 |
Д |
Д1 |
a |
τ |
|
|
τ |
|
|
γ |
|
γ |
|
A |
τ |
|
B |
|
|
а |
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
Qy |
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
0 |
x |
|
|
Z |
|
A |
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок10.1 – Деформаціяінапруженнязсуву |
|||
S |
(10.1) |
|
a
Таким чином відноснийзсувприблизнодорівнюєабсолютномупо діленому на відстань між гранями, якізрушуються. Необхідно відмітити, щозрізєкінцевоюстадієюдеформаціїзсува, такожякіпри розтягуєрозрив.
10.2 Напругаідеформаціяпризсуві
Згідно(рис.10.1,б) напругапризсувівизначається:
|
39 |
Qy |
(10.2) |
|
A
деQy – поперечнасила, яказрушуєпаралельніграні; A- площа поперечногоперерізу.
ЗаконГукапризсувімаєвигляд:
G , (10.3)
девідноснийзсув; G- модульзсуву(модульпружностідругого ряду). Модульзсуву, зв'язанийзмодулемЮнгавідношенням:
|
G |
|
|
E |
|
, |
|
(10.4) |
||
|
2(1 ) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
де - коефіцієнтПуассона, длясталіможнаприймати: = 0.3; |
||||||||||
Е=2 105 МПа, |
тодіG 0.4E=8 104 MПа. Абсолютнадеформаціяпри |
|||||||||
зсувівизначаєтьсязаформулою |
|
|
|
|
||||||
|
S |
Q |
a |
, |
|
|
|
(10.5) |
||
|
G |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|||
деGAжорсткістьпризсуві. Умовоюміцностіпризсувіє: |
||||||||||
|
|
|
Qmax |
|
|
, |
(10.6) |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
max |
|
Aз |
|
|
з |
|
|||
де[ з] |
|
|
|
|
|
|
|
|||
– припустима напруга при зсуві, |
яка може бути |
|||||||||
визначена, як [ з]=(0.6…0.8) |
|
|
р ідлявуглецевоїсталіможна |
|||||||
приймати[ ]=100 МПа, оскільки =160 МПа. |
|
|||||||||
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
10.3Статичнімоментиплощі, моментиінерціїта моментиопоруплоскихперерізів
Перш ніж вивчатидеформаціїкрученнятазгинунеобхідно розглянути відповідні їм геометричні характеристики плоских перерізів: статичнімоменти площіперерізу, моменти інерціїта моментиопору. Дляїхвизначеннярозглянеморис. 10.2
ВиділимоелементплощадкиdA тазапишемотаківиразидеА
S |
z |
ydA, |
S |
y |
zdA, |
(10.7) |
|
|
|
|
|
||
|
|
A |
|
|
A |
|
визначає, щоінтегруваннявідбуваєтьсяпоплощіА; Sz іSy, цестатичні моментивідноснокоординатнихосейOZ іOY. Звідси, завідомими площею А іїстатичними моментами Sz іSy, можнавизначити координатицентравагиувигляді:
|
|
|
40 |
|
|
|
|
Z |
|
S |
Y |
S |
(10.8) |
|
c |
y , |
y . |
|||
|
|
A |
c |
A |
|
|
Осьові(екваторіальні) моментиінерціїплощіАвизначаємо: |
||||||
Y |
dA |
dd C |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
||
Y |
|
|
|
|
yс |
Ymax |
|
Ρ |
|
|
|
|
|
Ρ P |
|
|
|
|
|
|
c |
max |
|
|
|
|
|
0 |
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||
|
zc |
|
|
|
|
|
|
|
|
Zmax |
|
|
|
Рисунок10.2 – Визначеннягеометричниххарактеристикплоскихперерізів |
||||||
I |
z |
y |
2dA , |
I |
y |
z |
2 dA . |
(10.9) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
A |
|
|
|
A |
|
|
ПолярниймоментиінерціїплощіАможназнайтизаформулою:
I |
p |
p |
2 dA ( z 2 |
y2 )dA I |
y |
I |
z |
(10.10) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A |
A |
|
|
|
|
|
ВідцентровиймоментінерціїплощіА, відноснокоординатних осейZ іY, визначається:
I |
zy |
zy dA . |
(10.11) |
|
|
|
A
Розмірністьмоментівінерціїцечетвертастепіньодиницідовжини,
4
наприклад, м іт. ін. Осьовімоментиінерціїтаполярниймоментінерції завждипозитивні, авідцентровиймоментінерціїможебутипозитивним,