pm_l_2 Прикл мех Сопромат

52

поперечнийзгин(див. рис. 12.1,б). Стержні, якіпрацюютьназгин, називаютьбалками. Балкимаютьтриосновнихтипаопор(див. рис. 12.2):

1)шарнірно-рухомаопораВ(див. рис. 12.2,а) можесприймати вертикальненавантаження, вцій опорівиникаєтільки вертикальна реакціяRy ;

2)шарнірно-нерухомаопораА(див. рис. 12.2,а) можесприймати вертикальніігоризонтальнізусилля, внійвиникаютьгоризонтальніі вертикальніреакціїRx таRy ;

3)жорсткезащемленняС(див. рис. 12.2,б) сприймаєвертикальне,

горизонтальнеімоментненавантаження– реакціїRx , Ry іМR.

Під дією зовнішніх навантажень у місцях стержня (балки) виникаютьопорніреакції. Длявизначенняопорнихреакційустатично визначеномустержнідостатньоскластитрирівняннярівновагистатики. Длястатичноневизначеногостержнядобавляютьрівняннясумісності деформації.

Спочаткуобмежимосярозглядом найпростішоговипадкузгину балок, приякомувсізаданінавантаженнядіютьводнійплощині, що називаєтьсясиловою (див. рис. 12.3, а– площина Π), причому ця площиназбігаєтьсязоднієюзголовнихплощинбалки. Такийвипадок називаєтьсяплоскимзгином. Нарозрахунковійсхемібалкуприйнято замінюватиївіссю (див. рис. 12.3,б). Прицьомувсінавантаження, природно, повиннізводитисядоосібалки, ісиловаплощинабуде збігатисязплощиною рисунка. Томувсеценавантаженнянедає проекційнавісьZ тамоментіввідносноосейX таY. Отже, вбудь-якому перерізібалкиQz=Mx=My=0, інеєнульовимитількитривеличини: Nx ,Qy таMz . Цізусиллядіютьтакожуперерізахелементіврамтакриволінійних стержнів. Убалках, принавантаженні, перпендикулярномудоосібалки, поздовжнясила(Nx) також дорівнюватименулю. Томунадалібудемо вважати, щовбудь-якомуперерізібалкиможутьбутидвавнутрішніх

53

зусилля: поперечнасилаQy тазгинаючиймоментMz , якіієвнутрішніми силовимичинникамипризгині.

П

а

б

Рисунок12.3 – Плоскийзгин

УстановимотакіправилазнаківдляQy іMz вбалках:

1) поперечна сила Qy у перерізідодатна, якщо ївектори намагаютьсяобертатичастинирозсіченоїбалкизарухомгодинникової стрілки;

2) згинаючиймоментMz уперерізідодатний, якщовінспричинює стискуверхніхволокнахбалкиіспрямованийначастинурозсіченої

напрямкомуниз, азгинаючиймоментMz занапрямкомнарозглядаєму частинубалки. Якщорозглядаємоправучастинубалки(див. рис. 12.4,б), товнутрішнісиловічинники прикладаємо: поперечнусилуQy за напрямком угору, азгинаючий моментMz зновзанапрямком на розглядаємучастинубалки. Післяцьогоскладаєморівняннярівноваги

Рисунок12.4 – Правилознаківпризгині

івизначаємовнутрішнісиловічинникиQy таMz завеличиною і знаком.

12.2Визначеннявнутрішніхсиловихчинників призгинібалок

Для визначення внутрішніх силових чинників Qy і Mz використовуємометодперерізівібудуємоїхепюри, тобтографіки змінипоперечнихсилізгинаючихмоментіввздовжцентральноїосі балки. ПобудовуепюрQy іMz убільшостівипадківслідпочинатиіз визначенняреакційопор.

Визначивреакції, балкуслідрозрізатинаділянки, напротязі яких навантаження однорідне. Для кожної ділянки складаємо загальнийвираздляпоперечноїсилитазгинаючогомоменту, для цьогорозглядаємодовільнийперерізумежахданоїділянкиібудуємо епюри, надаючиаргументу х довільнізначенняумежахтієїж ділянки.

Порядок побудови епюр розглянемо на прикладішарнірно обпертоїбалки, якамаєнавантаження(див. рис. 12.5,а).

Спочаткувизначаємореакціїопор, записавшидварівняння рівновагидляусієїбалки.

55

a

mА 0 2q a F a M RB 2a 0 2

звідси

знак“мінус”вказує, щореакціяRB маєнапрямокуниз(див. RB=0,5qa з двомарисками)

Записуємоперевірочнерівняння

Fky 2q a RA F RB 2qa 3,5qa qa 0,5qa3,5qa 3,5qa 0 ,

тобтореакціїопорвизначенівірно. Даліпереходимодорозгляду ділянокСА, DB іAB.

ДілянкаСА, перерізI-I, o x1 a Складаємо рівняння рівноваги для розглядаємоїділянки.

1) Fky 2qx1 Qy1 0, звідси Qy1= –

2qx1,

цеозначає, щопоперечнасиланаділянці СА маєзміннувеличину(рівнянняпрямої

лінії, тому, що х у першій степені).

1

Надаючидвазначеннях, дістанемо, що

1

прих=0 (пер. С) Q =0, априх=a (пер. А)

1 y1 1

Qy1= –2qa.

Mz1= –qx12, цеозначає, щозгинаючиймоментнаційділянцінетільки маєзміннувеличину, алевонавжезмінюєтьсяпокривійдругого порядку, томущох1 знаходитьсяуквадраті. Надаємотризначеннях1 і дістанемо:

прих1=0 (пер. С), Mz1=0;

прих1=0,5a (серединаділянкиСА), Mz1= –0,25qa 2; прих1=а(пер. А), Mz1= –qa 2.

56

Якщонаділянцікрімрозподіленогонавантаженнядієщеякесь навантаження протилежного знаку, то необхідно при визначенні згинаючого моменту знайти його найбільше значення, використовуючирівняннянулюпохідноївіднього.

58

Складаєморівняннярівноваги.

1) Fky Qy2 RB 0, звідсиQy2= RB=0,5qa ,

тобтонаділянціBD поперечнасилаQy2 має постійнезначення.

2) mO2 0 , Mz2 + RBx2 – M = 0, звідси

ДілянкаAD, перерізIII-III, аx3 2a. Складаєморівняннярівноваги.

1) Fky Q y3 F RB 0 ,

звідсиQy3=F+RB=qa+0,5qa=1,5qa,

тобтонаційділянціQy3=const.

mO3 MZ 3 F ( x3 a ) RB x3 M 0 , звідси

2)Mz3=M–F(x3–a) – RBx3,

рівнянняпрямоїлінії.

Поотриманимвеличинам Qy іMz придослідженніусіхділянок будуємоепюрупоперечнихсил(див. рис. 12.5, б) іепюрузгинаючих моментів(див. рис. 12.5, в).

Слідзауважити, що:

1.Наепюріпоперечнихсилуперерізі, дедієзосередженасила, завждибудестрибокнаївеличину, анаепюрізгинаючихмоментів такожбудестрибокнавеличинузосередженогозгинаючогомоментуу перерізі, девіндіє;

2.Там, дедієрозподілененавантаження, будепохилапрямалінія, ана іншихділянкахбудутьгоризонтальніпрямілінії(цестосуєтьсяепюри

Qy), анаепюріМz там, дебудерозподілененавантаження, будутькриві лініїдругогопорядку, якінаправленіопуклістюугору, якщорозподілене навантаженнямаєнапрямокунизіопуклістю направленоуниз, якщо

60

деMz – згинаючиймоментурозглядаємомуперерізі, Iz – осьовиймомент інерціїцьогоперерізуіу– поточнакоординатаповисотіперерізувід центруйоговаги.

Оскільки для окремого перерізу відношення Mz/Iz =const, то нормальнанапругадляньогопрямопропорційнакоординатіуі, отже, у центрівагиперерізувонадорівнюєнулю, анаповерхніперерізудосягає максимальногозначення(див. рис. 12.6, б), якевизначається:

деWz – моментопорурозглядаємогоперерізу. Дотичнанапругапризгинівизначаєтьсязаформулою

відс.

Qy Sz , (12.6) b Iz

деQy – поперечнасилаурозглядаємомуперерізі, b – ширинаперерізу іSzвідс. – статичниймоментвідсіченоїчастиниперерізувідносноосіz відлінії, девизначаєтьсянапруга. Дляперерізу(див. рис. 12.6,а) маємо