kniga

Подіємо на X матрицею аксонометричного проектування А. Маємо

Рис. 12.6. Триметричні проекції зрізаного куба

231

Квадрат довжини проекції одиничного орта вздовж осі x (коефіцієнт спотворення) дорівнює

Масштабні коефіцієнти kx, ky, kz є довжинами проекцій одиничних ортів на КП. Із формул (12.1), (12.2), (12.3) випливає умова взаємозв’язку

k x2 + k y2 + k z2 =1−sin 2 ψ cos 2 ϕ +cos 2 ϕ +1−cos 2 ϕ cos 2 ψ = 2 (12.4)

між коефіцієнтами kx, ky, kz.

Часто для аксонометричної проекції задають не кути, а масштаби kx, ky, kz, тоді з формул (12.2), (12.3) можна знайти параметри ϕ та ψ, тобто

Інколи необхідно забезпечити бажані співвідношення масштабів

kx : ky : kz = mx : my : mz.

Тоді коефіцієнти kx, ky, kz повинні бути пропорційні значенням mx, my,

Диметрія характеризується тим, що довжини двох проекцій одиничних ортів збігаються. Прирівнюючи коефіцієнти масштабування kx і ky, одержуємо

Фіксуючи один із кутів, наприклад ψ, з (12.7) знаходимо

ϕ = arctg(±sinψ).

Тоді, наприклад, якщо вибрати ψ = 600, з (12.7) одержуємо tg2ϕ = 34 і для

232

кута ϕ можна вибрати значення ϕ = arctg( 23 ) ≈ 40,90.

Окремим випадком диметрії є стандартна диметрична проекція, при якій співвідношення масштабів складає kx : ky : kz = 2 : 2 : 1. За

Умова kx = ky ≠ kz для диметричної проекції дозволяє знаходити розміри спроектованого об’єкта з однаковим масштабом по осях x та y, а виміри вздовж осі z вимагають іншого масштабного коефіцієнта. Це може призвести до помилок у випадку, коли потрібне точне масштабування розмірів спроектованого об’єкта.

Цей недолік усуває ізометрична проекція. У випадку ізометрії маємо

отже, ψ = ±450.

233

Коефіцієнт спотворення для ізометричної проекції ky = cos2 ϕ =

2 / 3 ≈ 0,8165 і є однаковим уздовж усіх осей (kx = ky = kz). Тому можна проводити виміри вздовж осей координат з одним і тим же масштабом.

Отже, перетворення ізометричного проектування, що одержується при ψ = 450 та ϕ = 35,260 , має вигляд

Якщо взяти куб із відрізаною вершиною, який задається матрицею Х, яка була наведена вище, і подіяти на неї матрицею ізометричного проектування Aізо, то одержимо координати ізометричної проекції куба, тобто

На рис. 12.8 зображено чотири можливі ізометричні проекції зрізаного куба з кутами ψ = ±45о, ϕ = ±35,26о.

12.4. Косокутна проекція

На відміну від ортографічної і аксонометричної проекцій, для яких проектори перпендикулярні до КП, косокутна проекція формується паралельними проекторами, що проходять не під прямим кутом до КП.

Косокутні проекції показують загальну форму просторового об’єкта, але істинні розміри та форма зберігаються лише для граней об’єкта, які паралельні КП, тобто кути і довжини при косокутному проектуванні

234

зберігаються тільки для цих граней. Грані, які не паралельні площині проекції, спотворюються.

Косокутні проекції – основний інструмент для побудови тіні об’єкта на площину і для відображення об’єкта в плоскому дзеркалі.

Рис. 12.8. Ізометричні проекції зрізаного куба

Щоб побудувати матрицю косокутного проектування, необхідно задати напрям проектування. Для цього на осі z вибираємо одиничну точку P(0, 0, 1), а в площині проекцій (z = 0) – точку P1 (рис. 12.9) і вва-

жаємо, що напрям PP1 задає напрям проектування. Позначимо довжину OP1 через l і нехай OP1 утворює з віссю x кут α, тоді xp1 = lcosα, y p1 =

lsinα. Отже, маємо координати точки P1(lcosα, lsinα, 0) і напрям PP1 =

(lcosα, lsinα, –1).

Крім цього, при косокутному проектуванні відрізок OP проектується у відрізок OP1, тобто одиничний відрізок проектується у відрізок довжиною l, тому l можна назвати коефіцієнтом спотворення при косокутному проектуванні. Як видно з рис. 12.9, l = ctgβ (arcсtgl = β), де β – кут нахилу косих проекторів до площини проекції z = 0.

235

Нехай тепер задано довільну точку Q(x, y, z). Знайдемо матричне перетворення косокутного проектування, тобто перетворення, яке точку Q перетворює в точку Q′.

x

Q′(x′, y′, 0)

y

Рис. 12.9. Напрям косокутного проектування

Рівняння прямої, що проходить через точку Q паралельно вектору PP1 , має вигляд

де X, Y, Z – біжучі точки прямої L, тому для точки Q′ знаходимо x′ = x + lzcosα,

y′ = y + lzsinα,

або в матричній формі

Це і є матриця косокутного проектування. Змінюючи значення α, β, одержуємо різні варіанти косокутної проекції. Надалі для спрощення запису для матриці косокутного проектування будемо виписувати тільки верхню ліву частину розміром 3×3.

Зауваження 2. Якщо напрям проектування PP1 задати вектором

(px, py, pz), то

і матриця косокутного проектування набуває вигляду

236

Аналогічно можна виписати матриці косокутного проектування Kx, Ky

Деякі напрямки вектора PP1 дають стаціонарні косокутні проекції.

Особливий інтерес являють собою дві косокутні проекції – проекція Кавальє (вільна проекція) і кабінетна проекція. Проекція Кавальє одержується тоді, коли кут між проекторами і площиною проекції дорівнює 450 (l = 1), однак результат цієї проекції виглядає неприродно потовщеним (рис. 12.10).

Рис. 12.10. Проекція Кавальє

237

Цього недоліку немає в кабінетній проекції, в якій коефіцієнт спотворення l = 12 , тобто кут між проекторами і КП β = arcctg(1/2) = 63,430.

Проекція Кавальє визначається вектором PP1 = (1, 1, 2 ) і задається матрицею

Кабінетна проекція визначається вектором (1, 1, 2 2 ) і задається матрицею

Проекція Кавальє зрізаного куба наведена на рис. 12.10, а кабінетна проекція – на рис. 12.11.

Рис. 12.11. Кабінетна проекція

238

12.5. Одноточкова (однофокусна) перспективна проекція

Спочатку розглянемо простіший випадок центрального проектування. Припустимо, що проективна площина перпендикулярна осі координат, наприклад z, і проходить через точку C(0,0,с) на осі z, а сам спостерігач (камера) знаходиться в початку координат. Нехай задана точка P(x, y, z) у просторі. Знайдемо координати проекції точки P на КП. Позначимо шукану точку через P′(x′, y′, z′) (рис. 12.12).

З подібностітрикутників(рис. 12.12) запишемопропорції cz = yy′, cz = xx′,

звідки x′ = cxz , y′ = cyz . Якщо розглядати однорідні координати точок

P(x, y, z, 1), P′( z x/ c , z y/ c , c, 1) = (x, y, z, cz ), то перетворення точки P у P′

можна задати матричною формулою P′ = P M1, де

уРис. 12.12. Перспективна проекція

Розглянемо інший варіант центрального проектування. Нехай КП знаходиться у площині z = 0, а камера – в точці C(0, 0, c) (рис. 12.13).

239