kniga

2.Фрактал Мінковського. Основа – відрізок. Генератор . Усі ланки ламаної мають однакову довжину.

3.Фрактал Леві. Основа – одиничний відрізок. Генератор (ламана з проміжною точкою (0,5; 0,5)), тобто відрізок заміняємо половиною квадрата.

9.Льодовий трикутник 1. Основа – правильний трикутник. Генератор – ламана із задачі 8.

10. Льодовий трикутник 2. Основа – рівносторонній трикутник із вершинами (0, 0), (0,5; 0,85), (0, 1). Генератор – ламана з проміжними точками P1(0,5; 0), P2(0,375; 0,2165), P3(0,5; 0).

11.Н-фрактал. Основа – горизонтальний відрізок. Через кінці горизонтального відрізка перпендикулярно до нього проводяться два коротших відрізки. На кінцях цих вертикальних відрізків будуються горизонтальні відрізки у зменшеному масштабі і т.д. Коефіцієнт зменшення 13 .

12.У колі радіусом R проведено 10 радіусів, кут між ними дорівнює π5 . На кінцях цих радіусів побудовано нові кола радіусом R2 , в

яких так само проведено 10 радіусів і т.д.

331

.

15.Оголене дерево Піфагора. Основа – відрізок (стовбур). Генератор

– . Перші наближення мають вигляд:

18.Дерево Піфагора. Основа – квадрат. Генератор – правильний трикутник. Перші наближення мають вигляд:

.

19.Трійкове дерево (дендрит). З однієї точки під кутом 1200 виходять три відрізки. Кожен із кінців цих відрізків є точкою, звідки також виходять три менших відрізки і т.д. Перші наближення:

.

20.Зірковий фрактал. У вершинах правильної п’ятикутної зірки будується 5 менших зірок, далі на

вільних кінцях цих зірок будуються ще менші зірки і т.д. Взяти коефіцієнт зменшення r = 0,35, а кількість кроків рекурсії n = 5.

21. Зірковий квадратичний фрактал. У вершинах квадрата будуються 4 менших квадрати, на трьох вільних вершинах цих квадратів буду- ються ще менші квадрати і т.д.

332

22. Квадрат Серпінського. Заданий квадрат ділиться двома горизонтальними і дво- ма вертикальними лініями на 9 квадра- тів. Одержаний центральний квадрат зафарбовуємо, а решту вісім квадратів перетворюємо як перший і т.д.

23.Трикутник Серпінського. У рівнобедреному трикутнику проводимо середні лінії. Трикутник, що утворений середніми лініями, зафарбовуємо, а інші трикутники перетворюємо аналогічно до першого і т.д.

24.Гілка папороті з параметрами: α = 20, β = 860, k = 0,14, k1 = 0,3.

25.Фрактал Жуліа. Множина Жуліа задається рекурентною формулою

26.Фрактал Мандельброта. Множина Мандельброта задається рекурентною формулою

a [–2,5; 2,5], b [–2, 2]. Передбачити вивід на екран будь-якої прямокутної області цього фрактального зображення.

27.Фрактал, що визначається рекурентною формулою zn + 1 = λzn(1 – zn), n = 0, 1, 2, ..., z = x + iy. Для z0 вибрати область [–2,2; 1,2] ×

[–1,2; 1,2]. Критерій завершення ітераційного процесу: хк2 + yк2 > 5.

xk+1= a1 хк2 +a2 yк2 +a3xkyk+a4xk+a5yk+a6 , yk+1=b1 хк2 +b2 yк2 +b3xkyk+b4xk+b5yk+b6 .

333

Підібрати значення параметрів а та b, так щоб одержати ефектні кольорові фрактальні зображення. Колір визначається кількістю

ітерацій. Критерій завершення ітераційного процесу: хк2 + yк2 >10.

Лабораторна робота №3. Растрові алгоритми. Сплайнові криві. Алгоритми відсікання

1.Скласти програму, яка реалізує алгоритм Брезенхема для відрізка прямої лінії з відповідною структурою.

2.Написати програму, яка демонструє роботу алгоритму Брезенхема для відрізка в сповільненій формі та в збільшеному виді.

3.Адаптувати алгоритм Брезенхема для відрізка прямої лінії з заданою товщиною лінії. Вказівка: для побудови широкої лінії можна перерисовувати зміщений квадрат відповідної орієнтації.

4.Реалізувати програму для побудови прямокутника з заокругленими кутами радіусом r, використавши в програмі алгоритм Брезенхема для побудови кола.

5.Реалізувати растровий алгоритм Жордана для побудови кривих другого порядку.

6.Реалізувати порядковий алгоритм заповнення з затравкою для многокутних областей з діркою. Проілюструвати роботу алгоритму поетапно (в залежності від кількості кроків циклу).

7.Реалізувати алгоритм заповнення многокутної області за критерієм парності.

8.Реалізувати УХ-алгоритм зафарбовування полігонів

9.Заповнити многокутник похилими лініями.

10.Заповнити многокутник текстурою. Зразок візерунка для тексела підібрати самостійно.

11.Реалізувати алгоритм для побудови інтерполяційного кубічного сплайна на сітці з трьох вузлів. Розглянути граничні умови першого типу.

12.Створити програму, яка дозволяє будувати згладжуючу криву Безьє на чотирьох точках (розглянути різний порядок точок).

13.Написати програму для побудови раціональної кривої Безьє на чотирьох точках. Експериментуючи з програмою, вивчити властивості раціональних кривих Безьє.

14.Написати програму побудови складеної кривої Безьє, передбачивши інтерактивне введення точок.

15.Написати програму, побудови В-сплайнової кривої на масиві чотирьох точок, та складеної кривої на масиві m точок.

334

16.За заданими вершинами Р0, Р1 та ненульовими векторами дотичних Q0, Q1 в цих вершинах побудувати інтерполяційну кубічну криву Ерміта. Передбачити інтерактивне введення даних.

17.Реалізувати геометричний алгоритм побудови кривих Безьє.

18.Розробити програму, яка реалізує побудову поверхні Безьє.

19.Реалізувати алгоритм побудови кубічних В-сплайнів.

20.Реалізувати програму побудови ТСВ-сплайнів.

21.Написати програму, яка виводить на екран просторову криву Безьє для набору з чотирьох контрольних точок. Для зображення кривої використати ортогональну проекцію.

22.На множині 6 точок побудувати криву Безьє та В-сплайн. Вказівка: опорні точки вибирати так, щоб контурна ламана мала профіль пили з різними зубами.

23.Реалізувати алгоритм Сазерленда-Коена для відсікання відрізків прямокутним вікном.

24.Реалізувати алгоритм відсікання многокутників прямокутним вікном. Вказівка: послідовно виконати відсікання відносно всіх чотирьох границь прямокутного вікна.

25.Реалізувати двовимірний FC-алгоритм для відсікання відрізків.

26.Реалізувати алгоритм Кіруса-Бека для відсікання прямокутним вікном.

27.Реалізувати алгоритм Вейлера-Азертона для відсікання многокутним вікном.

28.Написати процедуру відсікання еліпса прямокутним вікном.

29.Написати програму для реалізації методу загортання подарунка.

30.Написати програму для реалізації методу обходу Грехема.

31.Написати програму тріангуляції опуклих та неопуклих полігонів.

32.Написати програму реалізації кутового тесту для визначення орієнтації точки відносно полігону.

33.Розробити програму, яка для напівтонового растрового зображення дозволить покращити його якість, добиваючись при цьому найбільшої збалансованості яскравості та контрастності зображення.

34.Написати програму, яка з растрового зображення дозволить усунути випадковий шум за допомогою медіанних фільтрів.

35.Написати програму, яка реалізовує двопрохідний/трипрохідний

алгоритм геометричних перетворень для повороту растрових зображень на кут α ≠ 90ο.

36.Розробити програму для реалізації просторових алгоритмів обробки растрових зображень (розмиття, збільшення різкості, тиснення). Підібрати відповідні фільтри.

335

Лабораторна робота № 4. Візуалізація тривимірних обєктів

1.Розробити алгоритм побудови симетрії трикутника відносно довільної прямої L. На екран виводити зображення результатів послідовного виконання кроків алгоритму.

2.Написати програму для відображення двовимірних об’єктів, кожний з яких вибирається з меню. Передбачити можливість їх масштабування та обертання.

3.Реалізувати алгоритм тривимірного повороту зрізаного куба зі стороною а навколо однієї з осей координат.

4.Розробити програму для реалізації процесу обертання паралелепіпеда ABCDEFGH відносно локальної осі, що проходить через: а) центр паралелепіпеда; б) одну з вершин паралелепіпеда.

Координати вершин паралелепіпеда задаються матрицею

5. Розробити програму для реалізації обертання тетраедра/куба/октаедра відносно рухомої осі паралельної осі Ох, яка пересувається фіксованою траєкторією.

6. Побудувати триметричну проекцію зрізаного куба для

ψ =150 , 300 , 450 , ϕ = 00 ,150 , 300 , 450 , 600 , 750 , 900 .

7.Побудувати диметричну проекцію зрізаного куба, взявши для кутів

8.Побудувати одноточкову та двоточкову центральну проекцію двох різноорієнтованих кубів в одній сцені.

9.Побудувати аксонометричну проекцію куба з вписаними в його грані колами при співвідношенні масштабів kx : ky : kz = 6 : 5: 4.

10.Побудувати чотири можливі ізометричні проекції зрізаного куба. Вказівка: ізометрична проекція одержується при кутах

336

11.Побудувати стандартну диметричну проекцію зображення глобуса радіуса r, що містить паралелі з кроком 300 , меридіани з кроком 450 і контур глобуса. Реалізувати нахил зображення вправо відносно осі z на кут ϕ = 23,50 . Вказівка: перетворення нахилу

глобуса здійснюється матрицею повороту

12.Побудувати проекцію Кавальє зрізаного куба з кутом β = 450 , а кутα змінюється від − 300 до 300 з кроком 150 .

13.Побудувати кабінетну косокутну проекцію для зрізаного куба з кутомα , який змінюється від − 300 до 300 з кроком 150 .

14.Підібравши кути α та β , побудувати косокутну проекцію сцени, яка складається з модельного куба з вписаними в його грані колами, якщо кола, що лежать у площині, яка паралельна до картинної площини, проектуються в кола, а кола з непаралельних граней до картинної площини проектуються в еліпси з відповідною орієнтацією півосей.

15.Написати програму обертання двох платонових тіл навколо деякої осі з усуненням невидимих ребер. В роботі використати одноточкову перспективну проекцію та алгоритм художника для усунення невидимих граней.

16.Побудувати одноточкову проекцію куба на площину z = 0, попередньо змістивши його вздовж прямої y = x.

17.Побудувати в одній сцені двоточкову проекцію куба, тетраедра та октаедра.

18.Розробити програму усунення невидимих граней для центральної проекції октаедра. Видимі грані зафарбовувати зеленим кольором.

19.Написати програму зображення перетину двох трикутників в просторі. Передбачити обертання такого об’єкта навколо осей координат.

20.Розробити програму обертання куба відносно заданої лінії з усуненням невидимих граней. Видимі грані зафарбовувати у світлосиній колір. Вказівка: для усунення невидимих граней можна використати орієнтацію зовнішньої нормалі.

21.Розробити програму відображення даного текстурного зразка на грані куба.

337

22.Методом поточного горизонту побудувати такі поверхні:

1)y = f (x, z) =e−a(x2 +z2 ) cos(ωx x)cos(ωz z) , де a = 0,02, ωx = 1, ωz = 0,5;

2)z = f (x, y) = cos(b x2 + y2 ) (с,b підібрати самостійно).

1+ c x2 + y2

23.Написати програму динамічного повороту 3D-графіка функції.

24.Реалізувати алгоритм постійного зафарбовування видимої поверхні для октаедра. Невидимі грані усунути, використовуючи алгоритм художника.

25.Реалізувати алгоритм Гуро для зафарбовування граней тетраедра та шестикутної призми при наявності одного джерела світла.

Необхідні константи для моделі освітлення підібрати самостійно.

24.Реалізувати алгоритм Z-буфера для заданого об’єкта. Написати процедуру виведення грані в Z-буфер. Розмір масиву, що використовується для буфера глибини вибрати згідно з характеристиками системи.

25.Розробити програму, яка усуває невидимі грані октаедра на основі методу видалення нелицьових граней многогранників. Передбачити обертання цього октаедра навколо однієї з координатних осей. Вказівка: для побудови проекції об’єкта необхідно однорідні координати об’єкта помножити на відповідну матрицю проектування. Для моделювання процесів обертання, перенесення та масштабування використати відповідні матриці цих перетворень.

26.Написати програму анімації опуклого многогранника відносно осі, що проходить через об’єкт паралельно до картинної площини. Припускається, що об’єкт цілком лежить перед картинною площиною. Для послідовного відображення проекцій використати ортографічну проекцію.

27.Реалізувати алгоритм зафарбовування трикутної грані методом Фонга, вважаючи, що джерело світла спрямоване в центр трикутника.

28.Написати процедуру зафарбовування трикутної грані методом Гуро, вважаючи, що джерело світла спрямоване в центр трикутника. Вказівка: метод Гуро для полігональних моделей передбачає визначення освітленості в кожній вершині полігона й подальшу лінійну інтерполяцію освітленості для кожної точки грані.

29.Написати процедуру для зображення граней тетраедра з дифузним відображенням і одним джерелом світла.

338

Комп’ютерні проекти

1.Написати програму апроксимації сфери методом рекурсивного розбиття тетраедра в паралельній проекції. Зафарбувати сферу методом Фонга. Передбачити в програмі інтерактивне розміщення в просторі сцени джерела світла та камери спостереження.

2.Написати програму апроксимації сфери меридіанами та паралелями, використавши її параметричне рівняння. Розробити алгоритм накладання ВМР-малюнків на поверхню сфери, наприклад карти земної кулі. Передбачити інтерактивне обертання сфери навколо своєї осі та зміну нахилу самої осі. Для відображення сцени обрати паралельну проекцію.

3.У будь-якій системі тривимірного геометричного моделювання, наприклад 3DStudio MAX чи Maya, створити сцену з площини, на якій розміщені примітивні тіла (паралелепіпеди, сфери, конуси, циліндри, еліпсоїди тощо), задати три різні джерела світла і розмістити їх так, щоб в сцені були присутні тіні і взаємні відображення світла від створених об’єктів. Виконати накладання різнихматеріалівнаповерхнітілтареалізуватиефектпрозорості.

4.Реалізувати програму побудови сплайнових кривих. Вхідні дані: набір контрольних точок, що задаються інтерактивно. При додаванні або усуненні контрольної точки сплайн повинен автоматично перемальовуватися. Система координат має бути підписана та виведена координатна сітка. Передбачити як сумісне так і окреме виведення таких сплайнових кривих: криві Безьє, складені кубічні В-сплайнові криві, NURBS-криві, кусочно-кубічні Ермітові сплайни (ТСВ-сплайни).

5.Написати програму моделювання криволінійних поверхонь за допомогою елементарних фрагментів поверхонь Безьє, бікубічних В-сплайнових поверхонь та NURBS-поверхонь. Функція двох змінних задається своїми значеннями в вузлах прямокутної сітки. Значення функції в вузлах вводити за допомогою клавіатури.

6.Розробити проект для моделювання платонових тіл. Передбачити інтерактивний вибір їх типу, розміру і місцерозміщення, способу зображення, можливості задавати вектор обертання та кутову швидкість тощо. В проекті використати одноточкове центральне проектування та передбачити вибір видової системи координат.

7.Створити проект малювання поверхонь другого порядку. Передбачити задання обмежуючого паралелепіпеда для перегляду нескінченних поверхонь, його переміщення, зміну розмірів та обертання. Поверхні вибирати з меню. Для зображення поверхонь використати ортогональні проекції та апроксимацію лініями.

339

8.Розробити проект для малювання конструктивних, динамічних і статистичних фракталів. Для динамічних фракталів передбачити вибір та масштабування прямокутної області фрактала.

9.Розробити програму візуалізації апроксимації 3D-поверхонь у наступній постановці. Задано дискретну множину значень невідомої функції від двох змінних у N довільно розташованих на 2D-площині опорних точках. Зобразити кусково-лінійну апроксимацію 3D-по- верхні методом тріангуляції. Для цього спочатку на 2D-площині створити сітку неперетинних трикутників з вершинами в опорних точках, тобто виконати тріангуляцію Делоне. Побудувати апроксимацію кус- ково-лінійної 3D-поверхні, що складається з трикутних граней з вершинами у відповідних точках. При цьому використати паралельну проекцію та алгоритм сортування граней за глибиною для усунення невидимих граней. Координати спостерігача задавати інтерактивно.

10.Розробити діалогову програму, яка зображатиме лінійчаті, секторні та циліндричні 3D-поверхні. Як приклад лінійчатих поверхонь розглянути гвинтові поверхні. Напрямні лінії для секторних поверхонь вибрати серед просторових кривих Безьє. Каркас одержаної поверхні зобразити в паралельній проекції з усуненням невидимих ліній. Координати спостерігача задавати інтерактивно.

11.Розробити програму візуалізації 3D-полігональної моделі з нанесенням текстури. За текстуру вибрати растровий образ, відображений на грані об’єкта. Проекція – паралельна. Світло – паралельний пучок. Модель освітлення – з дифузними і дзеркальними складовими.

12.Розробити проект відсікання многокутників прямокутним та многокутним вікном. Передбачити інтерактивний вибір методу відсікання та інтерактивне задання многокутника, який відсікається.

13.Розробити проект цифрової обробки зображень. Програма повинна завантажити і відобразити ВМР-файл в форматі RGB-24. До

даного зображення застосувати 3 × 3 фільтри для виконання розмиття та збільшення різкості. Коефіцієнти фільтра вводити в діалоговому вікні. Створити рівномірну палітру з 256 кольорів і виконати палітризацію зображення даною палітрою. Реалізувати зведення зображення до чорно-білого та застосувати фільтр зміни яскравості.

14.Розробити проект „Типи проекцій”. Передбачити вибір об’єктів для побудови проекцій, способу проектування та параметрів проекцій.

15.Розробити анімаційний проект падіння м’яча з висоти h0 на деяку площину. В момент дотику м’яч сплющується і перетворюється в еліпсоїд. Потім м’яч відбивається від площини і т. д. Рух м’яча описується фізичними законами.

340