6.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи Задача 6. Розрахунок балки на міцність і жорсткість

Для балки, що навантажена за заданою схемою (рис. 6.9 – 6.11):

а) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів і визначити небезпечні поперечні перерізи;

б) підібрати круглий, прямокутний із співвідношенням сторін h:b=2 і двотавровий переріз за умовою міцності при чистому згині;

в) порівняти вагу балок кожного перерізу, зробити висновок щодо раціонального перерізу;

г) перевірити міцність двотаврової балки за максимальними дотичними напруженнями;

д) побудувати епюри нормальних та дотичних напружень в небезпечному поперечному перерізі балки та провести повну перевірку міцності за третьою теорією міцності, уточнити номер двотавра;

е) із використанням методу початкових параметрів за допомогою ЕОМ побудувати пружну лінію балки та графік кутів повороту перерізу (додаток Г);

ж) перевірити балку на жорсткість та підібрати необхідний за умовою жорсткості переріз.

Матеріал балки – сталь Ст3, допустимий прогин [f] = l/400, де l – довжина балки. Інші дані для розрахунків взяти з таблиці.

Таблиця 6.1

Варіант	q, кН/м	P, кН	M, кНм
0	30	15	12
1	26	20	16
2	20	10	20
3	14	25	10
4	30	20	14
5	20	16	10
6	10	30	15
7	24	24	18
8	16	28	25
9	30	20	10

Рисунок 6.9

Рисунок 6.10

Рисунок 6.11

Приклад. Розрахувати балку на згин, згідно з приведеним в умові задачі 6 порядком розрахунку.

Вихідні дані: кН/м, М = 40 кНм, F = 20 кН.

Матеріал балки – сталь Ст5, допустимий прогин [f] = l/400,

Знайти: M(x), Q(x), d, h, b, № двотавра, m₁:m₂:m₃, _max, (y), (y), , y(x),(x), y_max – ?

Розв’язування Побудова епюр поперечних сил та згинальних моментів

Визначаємо опорні реакції із рівнянь рівноваги статики.

М_А = 0;

-M – F(2+2) – q2(2 + 1) + R_B(2 + 2 + 2) = 0;

R_B = [M + F(2+2) + q2(2 + 1)]/6 = [40 + 204 + 106)]/6 = 30 кН.

М_В = 0;

-M + F2 + q2(2 + 1) – R_A(2 + 2 + 2) = 0;

R_A = [-M + F2 + q2(2 + 1) ]/6 = [-40 + 202 + 106)]/6 = 10 кН.

Перевірка.

F_y = 0;

R_А – q2 – F + R_B = 10 – 102 –20 + 30 = 0.

Розділяємо балку на чотири ділянки і складаємо рівняння поперечних сил та згинальних моментів для кожної з них.

Ділянка ЕА (розглядаємо справа наліво).

0 м  х₁  2 м.

Q(x₁) = 0 кН;

М(x₁) = М = 40 кНм.

Ділянка AD (розглядаємо справа наліво).

0 м  х₂  2 м.

Q(x₂) = R_А = 10 кН;

М(x₂) = М + R_Аx₂ = 40 + 10x₂;

при x₂ = 0 М(0) = 40 кНм,

при x₂ = 2 М(2) = 40 + 102 = 60 кНм.

Ділянка BC (розглядаємо зліва направо).

0 м  х₃  2 м.

Q(x₃) = -R_B = -30 кН;

М(x₃) = R_Bx₃ = 30x₃;

при x₃ = 0 М(0) = 0 кНм,

при x₃ = 2 М(2) = 302 = 60 кНм.

Ділянка CD (розглядаємо зліва направо).

0 м  х₄  2 м.

Q(x₄) = -R_B + F + qx₄ = -10 + 10x₄;

М(x₄) = R_B(x₃ + 2) – Fx₄ – q(x₄)²/2 = 60 + 10x₄ – 5(x₄)²;

при x₄ = 0 Q(0) = -10 кН;

М(0) = 60 кНм.

при x₄ = 2 Q(2) = -10 + 102 = 10 кН;

М(2) = 60 + 102 – 52² = 60 кНм.

Оскільки епюра Q(x₄) перетинає вісь х, то в точці перетину епюра М(x₄) набуватиме екстремального значення.

Q(x₄) = 0;

-10 + 10x₄ = 0,

звідки x₄ = 1 м;

М(1) = 60 + 101 – 51² = 65 кНм.

За отриманими значеннями будуємо епюри поперечних сил Q(х) та згинальних моментів М(х).

Визначення небезпечних поперечних перерізів по довжині балки

За максимальними нормальними напруженнями _max небезпечний переріз знаходиться в точці, де діє максимальний згинальний момент (за модулем)

М_max = 65 кНм.

За максимальними дотичними напруженнями _max небезпечний переріз знаходиться в точці, де діє максимальна поперечна сила (за модулем)

Q_max = 30 кН.

За максимальними еквівалентними напруженнями небезпеч-ний переріз знаходиться в точці, де одночасно діє максимальний згинальний момент (за модулем) та максимальна поперечна сила (за модулем).

Вказівка. Якщо ці точки не збігаються, то для визначення небезпечного перерізу необхідно розрахувати низку перерізів, в яких ймовірно досягають максимального значення або будувати епюру розподілу(х). Для спрощення оптимального пошуку в навчальних цілях розрахунокможна виконати для перерізу, в якому чисельно сумаQ(x) + M(x) набуває максимального значення.

Отже небезпечний переріз знаходиться в т. С, де

Q(x) = 30 кН , M(x) = 60 кНм,

Q(x) + M(x) = 30 + 60 = 90  max.

Проектний розрахунок перерізів за умовою міцності при чистому згині

М_max = 65 кНм.

Визначаємо допустимі напруження.

Допустиме нормальне напруження для сталі Ст5 (пластичний матеріал) дорівнює (формула 2.20)

= 160 МПа,

де _н = _т = 320 МПа  границя текучості сталі 5 (див. додаток Ж),

n  коефіцієнт запасу міцності при дії на конструкцію статичного навантаження n = 1,5...2, приймаємо n = 2.

Таким чином = 160 МПа.

Допустиме дотичне напруження для сталі (пластичний матеріал) приймаємо

= 80 МПа.

За формулою (6.10) знаходимо необхідний момент опору

(м³) = 406,3 см³. (6.27)

За сортаментом підбираємо двотавр №27а (додаток Д), для якого см³, см³, І_z = 5500 см⁴, А = 43,2 см², h = 27 см, b = = 135 мм, d = 6 мм, t = 10,2 мм.

Для круглого перерізу момент опору

, звідки .

Необхідний діаметр з урахуванням (6.27)

=16,06 см.

Округляємо діаметр до стандартного числа та приймаємо = 165 мм.

Для прямокутного перерізу момент опору (розміщуємо переріз раціонально)

, звідки при умовіh = 2b

, .

Необхідний діаметр з урахуванням (6.27)

= 8,49 см.

Округляємо ширину b та приймаємо b = 85 мм. Висота прямокутника h = 2b = 170 мм.

Вибір раціонального перерізу

Порівняємо вагу балок кожного перерізу. Співвідношення мас балок прямо пропорційне площам їх перерізів при однаковій густині матеріалу  та довжині балки:

;

4,95;

= 3,34.

Отже, с точки зору економії матеріалу двотавровий переріз балки є раціональнішим, оскільки балка буде мати найменшу масу. Круглий переріз із розрахованих матиме найбільшу масу (майже в 5 разів ніж двотавровий).

Перевірка міцності двотаврової балки за максимальними дотичними напруженнями

Q_max = 30 кН.

Максимальні дотичні напруження згідно з формулою Журавського рівні

Па.

Перевіримо виконання умови міцності

= 20,8 МПа   =80 МПа.

Таким чином, міцність балки за максимальними дотичними напруженнями забезпечена.

Вказівка. При невиконанні умови міцності.

Якщо максимальне дотичне напруження не перевищує допустиме більше ніж на 5% ( 1,05), то розміри перерізу (№ двотавра) залишають без змін з відповідним обґрунтуванням. Якщо перевищує допустиме більше ніж на 5% ( 1,05), то необхідно збільшити розміри перерізу (№ двотавра) та виконати перевірку для нового перерізу.

Побудова епюр нормальних та дотичних напружень в небезпечному поперечному перерізі та повна перевірка міцності двотаврової балки

Небезпечний переріз знаходиться в т. С, де

Q(x) = 30 кН , M(x) = 60 кНм

Знайдемо значення нормальних та дотичних напружень для характерних точок двотаврового перерізу (рис. 6.14), використовуючи відомі формули

, .

Точка 1 належить граничній поверхні полиці “зверху”

у₁ = h/2 = 0,135 м, = 0, b = 0,135 м.

= 147,310⁶ Па = 147,3 МПа,

= 0 МПа.

Точка 2 належить полиці“знизу”

у₂ = = 0,135 – 0,0102 = 0,1248 м,b = 0,135 м,

= == 178,910^-6 (м³).

= 136,1 МПа,

= 0,50 МПа.

Точка 3 належить стінці в місті переходу стінки до полиці

у₃ = у₂ = 0,1248 м, == 178,910^-6 (м³), b = d = 0,006 м.

136,1 МПа,

= 16,3 МПа.

Точка 4 належить нейтральній лінії

у₄ = 0 м, == 229 см³, b = d = 0,006 м.

= 0 МПа,

МПа.

За отриманими значеннями нормальних та дотичних напружень будуємо відповідні епюри в перерізі (рис. 6.14), враховуючи розташування стиснутих волокон зверху (нормальні напруження в цьому місці будуть мати знак “–”), а також симметричність обох епюр відносно нейтральної лінії (осі z).

Еквівалентне напруження за третьою теорією міцності

.

Максимальне еквівалентне напруження буде спостерігатись в точці 3 (за наявності досить великих дотичних напружень), тому

= 139,9 МПа   =160 МПа.

Умова міцності для точки “3” за третьою теорією міцності (для пластичних матеріалів) також виконується.

Вказівка. При невиконанні умови міцності.

Якщо максимальне еквівалентне напруження не перевищує допустиме більше ніж на 5% ( 1,05), то розміри перерізу (№ двотавра) залишають без змін з відповідним обґрунтуванням. Якщо перевищує допустиме більше ніж на 5% ( 1,05), то необхідно збільшити № двотавра та виконати перевірку для нового перерізу тільки в точці 3.