6.1 Короткі теоретичні відомості

6.1.1 Основні поняття

Розглянемо призматичний брус з прямою віссю, на який діє ряд зрівноважених сил, розташованих в одній площині, що проходить через вісь бруса (рисунок 6.1). У такому випадку брус зазнаватиме деформації згину. Площину, в якій розташовані сили, що викликають згинання бруса, називають площиною дії згинальних сил. Площину, що проходить через вісь бруса і головні осі інерції поперечних перерізів, називають головною площиною бруса.

Якщо площина дії згинальних сил збігається з головною площиною, то і згин буде відбуватися в цій же площині. Такий згин називається прямим або плоским згином.

Будь-який брус з прямолінійною віссю, що зазнає деформації згину, називають балкою. Балка, жорстко закріплена одним кінцем (рисунок 6.2, а), або ділянка балки, один кінець якої без опори (рисунок 6.2, б, ділянка l₃) називається консоллю. На рисунку 6.2, б зображено балку на трьох опорах, навантажену зосередженими силами Р₁, Р₂ , рівномірно розподіленим навантаженням інтенсивністю q і парою сил М. Відстань між двома суміжними опорами балок називають прогоном. Кінець балки, який звисає називають консольним кінцем.

6.1.2 Напруження при чистому згині

Згин балки, при якому згинальний момент сталий по довжині бруса, а поперечна сила дорівнює нулю, називається чистим згином. Чистий згин можна отримати, якщо прикласти до бруса в кінцевих перерізах рівні за величиною і протилежного напрямку пари сил, які діють в площині симетрії бруса (рисунок 6.3, а) або навантажити брус силами (рисунок 6.3, б). Дослід показує, що при чистому згині поздовжні лініїab i a_ob_o , нанесені на поверхню бруса, викривляються, а поперечні a_oa i b_ob повертаються, залишаючись прямими і перпендикулярними зігнутим лініям (рисунки 6.4, а, б). Поздовжні волокна бруса зазнають простого розтягу або стиску, не спричинюючи взаємного бокового стиску. По висоті перерізу бруса деформація розтягання і стискання змінюється безперервно. Отже, в середині бруса існує шар, який відділяє зону розтягання від зони стискання. Волокна цього шару не зазнають ніякої деформації. Такий шар називають нейтральним. Лінія перерізу нейтрального шару з площиною поперечного перерізу бруса називається нейтральною лінією.

Визначимо величину нормальних напружень (рисунок 6.4, б), які виникають при чистому згині. Для цього розглянемо деформацію ділянки бруса, вирізаної двома перерізами, розташованими на відстані dx один від одного (рисунок 6.4, а). Нейтральний шар на цьому рисунку зображений лінією a_ob_o = dx.

Позначимо радіус кривизни нейтрального шару через , а кут повороту перерізу n-n відносно перерізу m-m  через d. Розглянемо відносне видовження довільного волокна ab, розташованого на відстані у від нейтрального шару (рисунок 6.4, б).

. (6.1)

За законом Гука нормальне напруження в волокні ab буде рівне

. (6.2)

Розглянемо переріз m-m (рисунок 6.4, б). Візьмемо на площині перерізу елементарну площадку dА з координатами y і z. На цю площадку діє нормальне зусилля . Сума моментів елементарних внутрішніх силdN відносно осі z дає величину внутрішнього згинального моменту, який діє в цьому перерізі

. (6.3)

Підставимо значення _х із (6.2)

або ,

де  осьовий момент інерції бруса відносно осі z.

Перепишемо (6.3) у вигляді

. (6.4)

Вираз (6.4) – це залежність між згинальним моментом і кривизною осі бруса при чистому згині. Добуток EI_z називається жорсткістю поперечного перерізу бруса при згині. Підставивши (6.4) в (6.2) знайдемо

. (6.5)

Вияснимо положення осі z  нейтральної лінії перерізу. При чистому згині нормальна сила в перерізі дорівнює нулю, тобто

.

Оскільки , то. Цей інтеграл являє собою статичний момент площі перерізу бруса відносно осі z, оскільки , то вісьz проходить через центр ваги перерізу.

При чистому згині дорівнює нулю згинальний момент відносно осі у, тобто

.

Оскільки відцентровий момент , то вісьz є головною.

Отже нейтральна лінія при згині збігається з головною віссю перерізу.

Як видно із (6.5) нормальні напруження змінюються по висоті перерізу за лінійним законом. На рисунку 6.5 показані епюри нормальних напружень. Найбільші напруження виникають у точках найбільш віддалених від нейтральної лінії, для яких y = y_max . Величину найбільших напружень у перерізі визначають за формулою

. (6.6)

Величина

називається осьовим моментом опору перерізу. Поняття моменту опору вводиться, як правило, для перерізів, симетричних відносно нейтральної осі (рисунок 6.5, а, б). Для таких перерізів формула (6.6) записується у вигляді

. (6.7)

Якщо переріз несиметричний відносно нейтральної лінії, то

, (6.8)

де у_А , у_В координати найбільш віддалених точок перерізу.