3.1.5 Узагальнений закон Гука

Досліджуючи деформації і розглядаючи питання міцності при об'ємному та плоскому напружених станах, будемо в відповідності з основними гіпотезами і припущеннями вважати, що матеріал поводиться згідно з законом Гука, а деформації малі.

Зв'язок між відносними деформаціями і напруженнями при об'ємному напруженому стані має вигляд

,

, (3.10)

,

де   коефіцієнт Пуассона, E  модуль Юнга, G  модуль зсуву.

Співвідношення (3.10) є аналітичним виразом узагальненого закону Гука для ізотропного тіла.

В головних напруженнях формули (3.10) мають вигляд

(3.11)

Відносна зміна об’єму елемента з точністю до величин другого порядку малості

. (3.12)

3.1.6 Потенціальна енергія деформації

Потенціальною енергією деформації називається енергія, яка накопичується в тілі при його пружній деформації. Коли під дією зовнішнього статичного навантаження тіло деформується, точки прикладання зовнішніх сил переміщуються і потенціальна енергія положення вантажу зменшується на величину, яка чисельно дорівнює роботі, виконаній зовнішніми силами. Енергія, витрачена зовнішніми силами, не зникає, а перетворюється, в основному, в потенціальну енергію деформації тіла. Решта, незначна частина розсіюється, головним чином, в вигляді тепла за рахунок різних процесів, що проходять в матеріалі при його деформації.

Величину потенціальної енергії деформації, що припадає на одиницю об'єму тіла, називають питомою потенціальною енергією деформації і визначають за формулою

. (3.13)

Маючи на увазі, що , одержимо для питомої потенціальної енергії деформації вираз

. (3.14)

Для загального випадку визначення питомої потенціальної енергії деформації при об'ємному напруженому стані, якщо задані головні напруження формула має вигляд

. (3.15)

При деформації елемента змінюється, як його об'єм, так і форма (із куба він перетворюється на паралелограм). В зв'язку з цим можна вважати, що повна питома потенціальна енергія деформації

. (3.16)

де u_V  питома потенціальна енергія зміни об'єму, тобто енергія, яка накопичується за рахунок зміни об'єму;

u_ф  питома потенціальна енергія формозміни, тобто енергія, яка накопичується внаслідок зміни форми елемента.

Безпосередньо визначити u_ф важко, тому спочатку визначимо u_V.

. (3.17)

Тепер, згідно з формулою (3.16),

.

Підставляючи сюди значення u і u_v із (3.15) і (3.17), після елементарних перетворень отримаємо, що

. (3.18)

Це і є шуканий вираз для питомої потенціальної енергії формозміни.

В теорії пластичності часто використовують величину, від якої залежить перехід матеріалу в стан текучості, це – інтенсивність нормальних напружень, яка збігається з еквівалентним напруженням за четвертою теорією міцності

. (3.19)

тоді .

3.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи

Задача 3. Дослідження плоского напружено-деформованого стану в точці

Для заданого прямокутного елемента, що знаходиться в умовах плоского напруженого стану та навантаженого згідно з схемою (рис. 3.5 – 3.7), необхідно:

а) обчислити величину і напрямок головних напружень;

б) показати положення головних площин з головними напруженнями;

в) обчислити величину і напрям найбільших (найменших) дотичних напружень і відповідних їм нормальних напружень, показати їх на рисунку;

г) обчислити і показати на рисунку напруги на гранях елемента при послідовному повороті заданого елемента на 30⁰ та 60⁰ в напрямі кута ;

д) обчислити коефіцієнт запасу міцності в точці, використовуючи IV (енергетичну) теорію міцності;

е) обчислити величини питомої потенціальної енергії зміни форми та об’єму елемента і повну питому потенціальну енергію деформації;

ж) обчислити головні видовження і відносну зміну об’єму елемента;

и) обчислити відносне видовження ребра АВ елемента, повернутого на кут .

На окремому аркуші А4 побудувати круг Мора та графічно перевірити розв’язок пунктів а), б), в), г).

Таблиця 3.1

Варіант	/х/, МПа	/у/, МПа	//, МПа	,	Матеріал (сталь)
0	80	20	40	60	30
1	50	50	30	-30	45
2	20	40	50	80	20Г
3	20	60	50	45	40Х
4	30	40	60	30	30ХГСА
5	40	60	80	-60	50ХН
6	50	30	50	120	10
7	60	40	20	90	30ХН3А
8	60	30	40	20	12ХН3А
9	70	20	30	50	35ХМ

В варіантах схем, де деякі вектори напружень відсутні, вважати їх рівними нулю незалежно від приведених в таблиці значень.

Приклад.Дослідити плоский напружений стан прямокутного елемента в точці згідно з приведеним в задачі 3 порядком виконання. Елемент навантажений згідно схеми, приведеної на рисунку 3.8.

/_х/= 100 МПа, /_у/= 20 МПа, //= 80 МПа,

^= 45⁰, матеріал – сталь 20.