- •Вінницький національний технічний університет
- • В.А. Огородніков, о.В. Грушко, м.І. Побережний, 2003
- •Порядок та основні вимоги до виконання роботи
- •1 Епюри внутрішніх силових факторів
- •1.1 Короткі теоретичні відомості
- •1.1.1 Внутрішні сили. Метод перерізів
- •1.1.2 Епюри внутрішніх зусиль
- •1.1.3 Диференціальні залежності між q, q та m
- •1.1.4 Побудова епюр q і м для двоопорних балок
- •1.1.5 Побудова епюрQ і м для консольних балок
- •1.1.6 Побудова епюр внутрішніх зусиль для плоских рам
- •Приклад
- •Розв’язування
- •1.1.7 Побудова епюр для кривих стержнів
- •Приклад
- •Розв’язування
- •1.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •2 Розтяг (стиск). Статично невизначувані
- •2.1 Короткі теоретичні відомості
- •2.1.1 Напруження при осьовому розтягу (стиску)
- •2.1.2 Деформації при осьовому розтягу (стиску)
- •2.1.3 Закон Гука при розтягу (стиску)
- •2.1.4 Статично невизначувані задачі
- •2.1.5 Розрахунки на міцність за допустимими напруженнями
- •2.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •Таблиця 2.1
- •3 Напружено-деформований стан в точці
- •3.1 Короткі теоретичні відомості
- •3.1.1 Поняття про напружений стан
- •3.1.2 Плоский напружений стан
- •3.1.3 Головні площадки і головні напруження
- •3.1.4 Круг напружень
- •3.1.5 Узагальнений закон Гука
- •3.1.6 Потенціальна енергія деформації
- •3.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •Розв’язування
- •4 Геометричні характеристики плоских перерізів
- •4.1 Короткі теоретичні відомості
- •4.1.1 Статичний момент площі. Центр ваги перерізу
- •4.1.2 Моменти інерції перерізу
- •4.1.3 Формули переходу до паралельних або повернутих осей
- •4.1.4 Головні осі інерції та головні моменти інерції перерізу
- •4.1.5 Радіуси інерції. Моменти опору
- •4.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи Задача 4. Обчислення геометричних характеристик складного перерізу*
- •Дані для розрахунку взяти із таблиці 4.1.
- •Розв’язування
- •Визначення центру ваги перерізу (формули 4.2, 4.3)
- •Визначення напрямку головних центральних осей та головних моментів інерції перерізу
- •Перевірка
- •5 Кручення
- •5.1 Короткі теоретичні відомості
- •5.1.1 Напруження і деформації при крученні стержнів круглого поперечного перерізу
- •5.1.2 Епюри крутних моментів
- •5.1.3 Розрахунки на міцність і жорсткість
- •5.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •6.1 Короткі теоретичні відомості
- •6.1.1 Основні поняття
- •6.1.2 Напруження при чистому згині
- •6.1.3 Поперечний згин. Дотичні напруження
- •6.1.4 Аналіз напруженого стану при згині.
- •6.1.5 Рівняння пружної лінії зігнутої балки
- •6.1.6 Визначення кутових та лінійних переміщень методом
- •6.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи Задача 6. Розрахунок балки на міцність і жорсткість
- •Розв’язування Побудова епюр поперечних сил та згинальних моментів
- •Розрахунок балки на жорсткість
- •Необхідний мінімальний момент інерції перерізу має бути
- •Література
4.1.1 Статичний момент площі. Центр ваги перерізу
Статичним моментом Sz або Sy площі перерізу відносно осі z або y, які лежать у площині перерізу, називаються інтеграли виду
, (4.1)
де z та y відстані від центра елементарної площадки до осей Oz та Oy .
У більшості практичних (інженерних) задач можна інтегрування замінити сумою, розділивши переріз на частини, площі і положення центрів ваги яких відомі, наприклад, переріз на рис. 4.2 можна розділити на окремі прямокутники. Тоді замість (4.1) можна записати
(4.2)
де n кількість окремих частин перерізу,
Аi площа частини перерізу,
zi , yi відстані від центра ваги цієї площі до осей Oz та Oy.
Положення центра ваги перерізу C відносно будь-яких осей z та y (рисунки 4.1 і 4.2) визначається за формулами
, (4.3)
де А площа перерізу,
Sz та Sy статичні моменти площі перерізу відносно осей z та y.
Статичний момент площі може бути величиною додатною, від’ємною і дорівнювати нулю. Статичний момент відносно осі, яка проходить через центр ваги фігури (центральної осі) дорівнює нулю.
4.1.2 Моменти інерції перерізу
Осьовими моментами інерції Iz та Iy перерізу відносно будь-яких осей z та y, що лежать у площині перерізу (рисунок 4.1) називають інтеграли виду
, (4.4)
де y та z відстані від елементарної площадки dА до осей Oz та Oy.
Відцентровим моментом інерції Izy перерізу відносно осей Oz та Oy, які лежать у площині перерізу, називається інтеграл виду
. (4.5)
Інтеграл від добутків елементарних площадок на квадрати їх відстаней до даної точки (полюса) O (рисунок 4.1) називається полярним моментом інерції
. (4.6)
Осьові і полярний моменти інерції завжди додатні, відцентровий момент інерції може бути додатним, від’ємним і рівним нулю.
Якщо полюс О збігається з початком координатних осей z, y, то
Ip=Iz+Iy. (4.7)
Із (4.7) випливає, що при повороті осей координат сума осьових моментів інерції залишається незмінною.
За формулами (4.4 4.6) легко підрахувати моменти інерції для перерізів, які часто зустрічаються на практиці. Наприклад, для прямокутника (рисунок 4.3)
. (4.8)
Для круга
. (4.9)
для трикутника відносно центральної осі паралельної основі
. (4.10)
Полярний момент інерції круга відносно полюса, розміщеного в центрі ваги
. (4.11)
4.1.3 Формули переходу до паралельних або повернутих осей
Нехай система координат zCyC проходить через центр ваги C перерізу (рисунок 4.4), а друга система yz, що має початок у точці O, паралельна їй. Відстані між осями цих систем позначимо через a і b. Якщо відомі моменти інерції площі А відносно центральних осей zC і yC , то відносно осейz , y, паралельних центральним осям (рисунок 4.4) моменти інерції знаходять за формулами
(4.12)
При повороті координатних осей на кут (рисунок 4.5) залежність між моментами інерції така:
(4.13)
. (4.14)
Кут при повороті осей проти стрілки годинника.
Момент інерції складної фігури (рисунок 4.2) дорівнює сумі моментів інерції простих фігур
(4.15)
де n кількість окремих частин перерізу,
момент інерції і-тої частини відносно довільно вибраних осей z, y. Тобто, для кожної частини вони взяті відносно одних і тих же осей.