Вторая схема метода Монте-Карло

Пусть на отрезке. Ищется приближенное значениеQ интеграла

Рис. 8.11

. Точное значение интеграла равно площади криволинейной трапеции, ограниченной слева и справа прямыми ,, а сверху и снизу осью Ох и графиком функции .

Обозначим  площадь прямоугольника , содержащего указанную криволинейную трапецию (рис. 8.11). Пустьи значения случайных величин и, равномерно распределенных на отрезкахи, соответственно. Эти значения можно получить с помощью датчика случайных чисел. Случайная точка на плоскостибудет равномерно распределена в прямоугольнике. Поэтому вероятность попадания очередной случайной точкив криволинейную трапецию равна. Проведемn статистических испытаний, то есть получим случайные значения ипри. Посчитаем количество попаданийточекв криволинейную трапецию. Условие попадания очередной точкив трапецию очевидны:. Тогда, согласно центральной предельной теореме, относительная частота попаданийбудет стремиться к вероятности попаданияпри. Отсюда следует, что последовательность будет стремиться к точному значению интеграла I по вероятности при .

Чтобы оценить погрешность получаемого приближенного значения, можно воспользоваться приближенным правилом: если для всех значений i от 1 до k выполняется неравенство , то можно считать, что с некоторой вероятностью погрешность приближенного значения интегралане будет превышать наперед заданную точность. Чем больше значениеk, тем больше вероятность достижения заданной точности.

В заключение отметим, что при приближенном вычислении определенных интегралов метод Монте-Карло значительно уступает квадратурным формулам. В то же время, он легко обобщается на случай многомерных интегралов, и при вычислении интегралов высокой кратности (большей четырех) метод Монте-Карло оказывается более эффективен, нежели квадратурные формулы.

8.4. Вычисление первообразных, несобственных и кратных интегралов

Решение многих задач сводится к вычислению определенных интегралов. К этим задачам относятся вычисление первообразных функций, криволинейных, поверхностных интегралов, несобственных интегралов. Применяя для приближенного вычисления определенных интегралов рассмотренные численные методы, мы автоматически получаем методы решения и этих задач.

Вычисление первообразных

Функция , (8.4.1)

очевидно, является первообразной функции и удовлетворяет условию

. (8.4.2)

Пусть функция является непрерывной на заданном отрезке. Тогда ее первообразные будут существовать на этом отрезке. Введем на отрезкеравномерную сетку точек, где шаг сетки, . Будем искать таблицу приближенных значений первообразнойв этих точках с погрешностями, не превышающими заданного положительного числа .Точные значения первообразной можно вычислить по рекуррентной формуле

,

. (8.4.3)

с начальным условием

. (8.4.4)

Для приближенного вычисления интегралов можно воспользоваться любой из рассмотренных квадратурных формул. Пусть приближенные значения этих интегралов, вычисляемые по некоторой квадратурной формуле с погрешностями, не превышающими . Заменив в формуле (8.4.3) точные значения интегралов приближенными, получим

, . (8.4.5)

Поскольку эта формула приближенная, вычисленные с ее помощью значения первообразной будут приближенными. Обозначим их . Таким образом, для вычисления приближенных значений первообразной мы получили рекуррентную вычислительную схему

, ,. (8.4.6)

Легко видеть, что эта схема эквивалентна схеме:

, ,. (8.4.7)

Отсюда легко получить оценки погрешностей приближенных значений первообразной

, . (8.4.8)

Таким образом, выбрав , получим приближенные значения первообразной() с погрешностями, не превы-шающими.