8.2. Квадратурные формулы Гаусса. Метод неопределенных коэффициентов Квадратурные формулы Гаусса

Все рассмотренные в предыдущем параграфе квадратурные формулы являются точными в случае, когда подынтегральная функция является алгебраическим многочленом достаточно маленькой степени. Так, формулы левых и правых прямоугольников точны для любых многочленов нулевой степени (), формулы средних прямоугольников и трапеций точны для любых многочленов нулевой и первой степени (), а формула Симпсона точна для любых многочленов, степень которых не превышает трех (). В самом деле, если подынтегральная функция, например, представляет собой многочлен третьей степени, то,и, согласно приведенной в табл. 8.1 оценке погрешности формулы Симпсона,

.

Отсюда

.

Можно также заметить, что порядок точности квадратурной формулы жестко связан с максимальной степенью многочлена, для которого эта формула точна. Отсюда возникает предположение, что можно получать квадратурные формулы с заданным порядком точности, подбирая узлы и коэффициенты формулы так, чтобы она была точна для любых многочленов заданной степени. Этот подход достаточно плодотворный. С его помощью получены, в частности, квадратурные формулы Гаусса.

Предположим, что существует квадратурная формула

, (8.2.1)

которая является точной для любого многочлена, степень которого не превышает . Здесь узлы, а  коэффициенты квадратурной формулы. Будем искать эти узлы и коэффициенты.

Составим многочлен , степень которого равна. Здесь многочлены Лежандра. При любом значении m от 0 до степень составленного многочлена не превышает. Поэтому для него должна быть точной квадратурная формула (8.2.1)

. (8.2.2)

Причем эта формула справедлива при любом .

Разложим многочлен в ряд Фурье по системе многочленов Лежандра:

, (8.2.3)

где при . Кроме того, и при , поскольку разлагается многочлен n-й степени. Поэтому разложение (8.2.3) превратилось в равенство

. (8.2.4)

Отсюда следует, что узлы квадратурной формулы должны совпадать с корнями многочлена Лежандра .

Рассмотрим многочлен -й степени

(8.2.5)

Этот многочлен обладает очевидными свойствами:

(8.2.6)

Для многочлена (8.2.5) также должна быть точной квадратурная формула (8.2.1)

.

Таким образом, коэффициенты квадратурной формулы определяются по формуле

, . (8.2.7)

Итак, мы получили квадратурную формулу (8.2.1), узлы которой совпадают с корнями многочлена Лежандра , а коэффициенты вычисляются по формуле (8.2.7). Эта формула называется квадратурной формулой Гаусса для отрезка . Приведем для справки конкретные значения узлов и коэффициентов для некоторых значений n.

Пусть . Многочлен Лежандраимеет один корень, равный нулю. Отсюда узел .Коэффициент вычисляется по формуле (8.2.7)

.

В этом случае квадратурная формула (8.2.1) принимает вид

.

При аналогично получим, узлы квадратурной формулы,, а коэффициенты .

При аналогично получим, узлы квадратурной формулы, , , а коэффициенты , .

При аналогично получим, узлы квадратурной формулы,,,, а коэффициенты , .

Значения узлов и коэффициентов формулы Гаусса для других значений n можно найти в справочниках.

Обобщим формулу (8.2.1) на случай произвольного отрезка интегрирования путем линейной замены переменной, отображающей отрезок на отрезок:

. (8.2.8)

Квадратурная формула Гаусса для произвольного отрезка примет вид

. (8.2.9)

Узлы общей формулы определяются из узловс помощью преобразования (8.2.8):

, (8.2.10)

а коэффициенты получаются путем замены переменной (8.2.8) под знаком интеграла:

, ,

где

В результате замены переменных получим

, . (8.2.11)

Квадратурная формула (8.2.9) с узлами и коэффициентами, вычисляемыми по формулам (8.2.10), (8.2.11), называется формулой Гаусса для произвольного отрезка интегрирования. Интересно заметить, что при формула Гаусса совпадает с формулой средних прямоугольников.

Приведем без доказательства оценку погрешности для приближенного значения интеграла, вычисляемого по формуле Гаусса

, (8.2.12)

где  мажорантная оценка модуля производной на отрезке(). Из оценки (8.2.12) непосредственно следует, что формула Гаусса действительно является точной для любого многочлена, степень которого не превышает, поскольку в этом случае и .Порядок точности формулы равен при .При порядок точности формулы Гаусса равен 9. Но для достижения такого высокого порядка точности необходимо существование непрерывной производнойна отрезке. Поэтому формулы Гаусса применяются при небольших значенияхn для вычисления интегралов, подынтегральные функции которых имеют небольшие по модулю производные высоких порядков. В таких случаях для приближенных значений интеграла, получаемых с помощью формулы Гаусса, обеспечивается очень высокая точность. В самом деле, пусть , , . Тогда погрешность приближенного значения интеграла не превысит. Поэтому обобщенные формулы Гаусса обычно не используются.