Оценки погрешности и порядки точности обобщенных квадратурных формул прямоугольников, трапеций и Симпсона

Мы подробно рассмотрели процедуру оценки погрешности и определения порядка точности для формулы трапеций при условии, что вторая производная является непрерывной на отрезке. В случае, когдане является непрерывной на отрезке, а непрерывна только первая производная, для обобщенной формулы трапеций получается другая оценка погрешности и другой порядок точности. Это естественно, поскольку погрешность приближенного значения интеграла, вычисляемого с помощью квадратурной формулы, должна зависеть от свойств подынтегральной функции. Аналогичная ситуация наблюдается и для остальных квадратурных формул. Оценки погрешности для всех квадратурных формул при разнообразных условиях, накладываемых на подынтегральные функции, получены, но их вывод занимает слишком много времени и места. Поэтому мы приводим их без доказательства.

Пусть р – натуральное число такое, что р-я производная является непрерывной на отрезке. Тогдабудет ограниченной на отрезкеи будет существовать положительная постояннаятакая, чтона отрезке. Оценки погрешностей обобщенных квадратурных формул при различных значенияхр приведены в следующей таблице.

Таблица 8.1

Формула	p	1	2	3	4	более 4
Левых прямоугольников
Правых прямоугольников
Средних прямоугольников
Трапеций
Симпсона

Все оценки погрешности приближенных значений интеграла , вычисляемого по соответствующим обобщенным квадратурным формулам, содержатся в таблице и имеют вид

, (8.1.33)

где С – некоторая положительная постоянная, а . Можно доказать, что порядок точности любой из рассмотренных обобщенных квадратурных формул во всех случаях равенk-й степени h в оценке погрешности. Из табл. 8.1 видно, что формулы левых и правых прямоугольников при всех имеют только первый порядок точности, формулы средних прямоугольников и трапеций могут достигать второго порядка точности при, а формула Симпсона может иметь третий порядок точности прии четвертый порядок точности при.

Из формулы (8.1.33) следует, что погрешность приближенного значения интеграла , вычисляемого по любой из этих формул (при), стремится к 0 при. Поэтому любую из формул можно использовать для вычисления интеграла с любой заданной точностью. Для этого можно непосредственно использовать оценки погрешности из табл. 8.1.

Пример

Требуется вычислить приближенное значение интеграла с погрешностью, не превышающей, используя обобщенную формулу трапеций.

Подынтегральная функция имеет производные любого порядка, в частности

, .

Найдем мажорантную оценку модуля второй производной

.

Отсюда .

Выберем значения n и h исходя из очевидного требования

,

обеспечивающего заданную точность. Подставив в это неравенство значения ,,имы получим неравенство

.

Решив его относительно n будем иметь . Таким образом, выбрав, а, мы обеспечим для приближенного значения интеграла, вычисляемого по формуле трапеций

,

заданную точность .

Известные порядки точности обобщенных квадратурных формул прямоугольников, трапеций и Симпсона позволяют использовать приближенную оценку погрешности (6.3.7) и правило Рунге.

Сформулируем это правило для квадратурных формул.

Приближенная квадратурная формула имеет вид . Если порядок точности формулы равенk, то будет справедлива асимптотическая оценка погрешности, аналогичная оценке (6.3.7):

, (8.1.34)

где r – заранее выбранное число из множества . Обычно эту формулу применяют при. В этом случае она принимает вид

. (8.1.35)

Для получения приближенного значения интеграла с погрешностью, не превышающей заданного положительного числа , задается последовательность значений параметраh, которая представляет собой убывающую геометрическую прогрессию

, ,,, …

Очевидно, , следовательно,

.

Далее вычисляются последовательно приближенные значения прии при каждом значенииn проверяется выполнение неравенства

, . (8.1.36)

Рано или поздно при достаточно большом значении n это неравенство выполнится и мы получим приближенное значение интеграла , которое будет иметь погрешность, приближенно не превышающую.