8.5. Обусловленность квадратурных формул интерполяционного типа

При вычислении интегралов, как правило, приходится использовать не точные значения подынтегральной функции, а приближенные значения. В предположении, чтодля всех, справедлива оценка

,

указывающая на то, что абсолютное число обусловленности этой задачи равно , то есть длине отрезка интегрирования.

Какова же чувствительность квадратурной формулы (8.1.2) к погрешностям задания функции ? Отметим, что

,

Таким образом, квадратурная формула устойчива к ошибкам задания функции и ее число обусловленности равно.

Все квадратурные формулы интерполяционного типа точны для многочленов нулевой степени, и поэтому . Следовательно, если все весаквадратурной формулы интерполяционного типа положительны, то ее число обусловленностисовпадает с. Чувствительность такой формулы к ошибкам адекватна чувствительности вычисляемого интеграла. Если же среди весовимеются отрицательные, то

.

Известно, что при больших значениях n среди весов квадратурной формулы (8.1.6) появляются отрицательные и значение числа обусловленности становится большим. Например, для формул Ньютона–Котесаприn =10, приn =20, приn =30. Из-за плохой обусловленности эти формулы уже при используются весьма редко.

Таким образом, если подынтегральная функция вычисляется с погрешностью, то погрешность вычисления определенного интеграла складывается из погрешности квадратурной формулы, которую можно уменьшить, увеличив числоn разбиений интервала интегрирования, и неустранимой погрешности, зависящей от погрешности вычисления подынтегральной функции .

Контрольные вопросы и задания

1. Как ставится задача численного интегрирования? Что такое квадратурные формулы? Как получаются квадратурные формулы Ньютона-Котеса?

2. Получите формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона (простые и обобщенные). Каков их геометрический смысл?

3. Получите оценку погрешности формулы трапеций (простой и обобщенной).

4. Найдите порядок точности формулы трапеций (простой и обобщенной).

5. Запишите оценки погрешности и порядки точности обобщенных формул прямоугольников, трапеций и Симпсона. Как используется эта информация для вычисления интеграла с заданной точностью?

6. Получите квадратурные формулы Гаусса. Запишите оценку погрешности.

7. В чем смысл метода неопределенных коэффициентов? Приведите пример его использования.

8. Опишите первую схему метода Монте-Карло.

9. Опишите вторую схему метода Монте-Карло.

10. Как вычисляются первообразные функций и несобственные интегралы с помощью формул численного интегрирования?

11. Как вычисляются кратные интегралы с помощью кубатурных формул?

12. Как влияют погрешности вычисления подынтегральной функции на погрешность квадратурной формулы? Из каких составляющих складывается погрешность вычисления интеграла?