8. Примеры экзаменационных задач

1. В пачке 10 тетрадей, из которых 4 тетради в линейку, а остальные в клетку. Найти вероятность того, что среди одновременно наудачу взятых из пачки трех тетрадей в линейку будет: а) одна тетрадь; б) хотя бы одна тетрадь.

2. В коробке находится большое количество нитей трех цветов, из которых 20% белых, 30% синих и 50% красных. Наудачу берутся три нити. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?

3. На сборку поступают детали из трех цехов в пропорции 1:3:6. При этом вероятности брака в каждом из этих цехов соответственно равны 0,04; 0,07 и 0,02. Определить вероятности того, что:

а) взятая наудачу деталь окажется бракованной;

б) оказавшаяся бракованной деталь изготовлена в первом цехе.

4. В партии изделий содержится 5% бракованных. Контролер проверяет последовательно по одному, взятому наудачу, изделию, возвращая его после проверки обратно. При обнаружении брака проверка прекращается и бракуется вся партия. Составить закон распределения числа изделий, проверяемых контроллером.

5. Стороны прямоугольной пластины Х и У в результате погрешностей при ее изготовлении оказываются случайными величинами, заданными распределениями:

Х	9,9	10,0	10,1	и	У	2,8	3,0	3,1
р	0,2	0,7	0,1		p′	0,2	0,6	0,2

Определить математические ожидания периметра и площади

пластины.

6. Автосалон продает 10 машин одной марки в месяц. Какова вероятность того, что владельцы двух купленных машин обратятся за гарантийным обслуживанием, если известно, что 5% покупателей машин данной марки им пользуются?

7. Опыт страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждого восьмого страхующегося. Какова вероятность того, что при заключении 800 договоров страховой компании придется заплатить: а) в 100 случаях; б) более, чем в 100 случаях?

8. Количество зерна, собранного с каждой делянки опытного поля, есть нормально распределенная случайная величина Х. Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, если в 30,85 % случаев Х>61 кг и в 15,87 % случаев Х<58 кг.

9. Длительность разговора по мобильному телефону является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону. Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, если по оценке оператора сотовой связи 80% разговоров длятся менее 1 мин.

10. Среди изготовленных заводом изделий в среднем 90% оказывается первого сорта. Можно ли с помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что среди 500 изготовленных изделий процент изделий первого сорта будет заключен в границах от 88% до 93%? Необходимо: а) изменив правую границу так, чтобы данная оценка была возможна, определить ее; б) сравнить полученную вероятность с ее значением, найденным по формуле Муавра-Лапласа.

9. Примеры вопросов интернет-тестирования

1. Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятность попадания в цель для первого и второго стрелков равны 0,5 и 0,9 соответственно. Тогда вероятность того, что цель будет поражена, равна … . Ответы: 0,95; 0,995; 0,55; 0,45.

2. Произведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 9, 10, 11, 13, 14. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …. Ответы: 11,4; 11,2; 14,25; 11.

3. Мода вариационного ряда 3, 6, 6, 7, 8, 10, 11 равна … . Ответы: 7; 11; 3; 6.

4. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Х	-1	2	4
р	0,1	а	b

Тогда ее математическое ожидание равно 2,7, если … . Ответы: а=0,3, b=0,6; a=0,4, b=0,5; a=0,6, b=0,4; a=0,5, b=0,4.

5. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей

Тогда математическое ожидание этой нормально распределенной случайной величины равно … . Ответы: 64; 9; 8; 128.

6. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 12, 15, 15. Тогда несмещенная оценка дисперсии измерений равна … . Ответы: 2; 3; 6; 14.

7. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

Х	-1	0	5
р	0,1	0,3	0,6

Тогда математическое ожидание случайной величины Y=5X равно … .Ответы: 7,9; 14,5; 20, 15,5.

8. Выборочное уравнение парной регрессии имеет вид у=4,6−2,3х. Тогда выборочный коэффициент корреляции может быть равен … . Ответы: 0,5; −2,3; 4,6; −0,8.

1. ПЕРЕЧЕНЬ ЗНАНИЙ, НАВЫКОВ И УМЕНИЙ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНОЙ ОЦЕНКИ

Для получения удовлетворительной оценки студент должен:

• знать основные понятия, теоремы и формулы, а также уметь применять их при решении типовых задач;

• усвоить методы решения стандартных задач на применение основных понятий теории вероятностей, теорем сложения и умножения вероятностей и следствий из них; на повторение испытаний; на определение функции распределения, числовых характеристик случайных величин, функции плотности вероятности, вероятности попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.