- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Введение
- •1. Тематика практических занятий и текущая самостоятельная работа
- •2. Расчетно-графическая работа задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •3. Пример варианта контрольной работы по теме «случайные события»
- •4. Пример варианта контрольной работы по теме «случайные величины»
- •5. Вопросы к экзамену
- •6. Вопросы к дифференцированному зачету (направление «Информатика и вычислительная
- •7. Тематика экзаменационных задач
- •8. Примеры экзаменационных задач
- •Примеры вопросов интернет-тестирования
- •11. Список рекомендуемой литературы Основная
- •Дополнительная
3. Пример варианта контрольной работы по теме «случайные события»
Победитель соревнования награждается призом (событие A), денежной премией (событие B), медалью (событие C). Что представляют собой события: а) A + B; б) ABC; в) AC – B?
В одной коробке находится 4 красных, 5 зелёных и 3 чёрных карандаша, а в другой – 3 красных и 2 чёрных. Из первой коробки взяты три карандаша, а из второй – два. Какова вероятность того, что все вытащенные карандаши одного цвета?
Из 1000 ламп 590 принадлежит 1-й партии, 200 – 2-й, остальные – 3-й партии. В 1-й партии 6%, во 2-й – 5%, в 3-й – 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Какова вероятность того, что она бракованная?
Определить надёжность системы:
Р1 = 0,6; Р2 = 0,8;
Р3 = 0,5;Р4 = 0,7;
Р5 = 0,6.
Прибор содержит 2000 элементов, каждый из которых за время t может выйти из строя, независимо от других, с вероятностью 0,001. Какова вероятность выхода из строя за время t прибора, если это происходит при отказе хотя бы двух элементов?
4. Пример варианта контрольной работы по теме «случайные величины»
Даны законы распределения дискретных случайных величин X1 и X2:
Х1 |
-4 |
-3 |
0 |
3 |
4 |
|
Х2 |
-3 |
-1 |
0 |
1 |
3 |
Р |
0,15 |
0,3 |
0,1 |
0,3 |
0,15 |
Р |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
Найти. Объяснить, почему. Построить график функции распределения случайной величины. Найти.
2. Дана функция
Найти .
Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с параметром σ = 20 мм. Найти вероятность того, что деталь измерена с ошибкой, не превосходящей по модулю 25 мм.
Случайная величина X, которая равна длительности работы элемента, имеет плотность распределения . Найти среднее время работы элемента, вероятность того, что элемент проработает не менее 400 часов.
В урне содержится 5 белых и 3 чёрных шара. Из неё извлекают 2 шара без возвращения. Пусть случайная величина X – число белых шаров в выборке, случайная величина Y – число черных шаров в выборке. Написать закон распределения случайной величины (X, Y). Будут ли X и Y независимыми случайными величинами?
5. Вопросы к экзамену
(направления «Информатика и вычислительная техника»–профиль «ПОВТиАС», «Программная инженерия», «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»)
Классификация случайных событий. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события. Привести примеры.
Основные формулы комбинаторики.
Геометрическое и статистическое определения вероятности события.
Полная группа событий. Противоположные события. Соотношение между вероятностями событий, образующих полную группу; примеры с противоположными событиями.
Несовместимые и совместимые события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей. Привести пример на применение теоремы сложения вероятностей.
Зависимые и независимые события. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Привести пример на применение теоремы умножения вероятностей.
Формулы полной вероятности и Байеса. Примеры.
Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Привести пример применения.
Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости. Привести пример использования формулы Пуассона.
Локальная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости. Функция Гаусса f(x) и ее свойства. Привести пример использования локальной теоремы Муавра-Лапласа.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости. Функция Лапласа Φ(х) и ее свойства. Привести пример использования интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Понятие случайной величины и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд). Независимые случайные величины. Привести примеры.
Функция распределения случайной величины, ее свойства и график.
Математические операции над случайными величинами.
Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.
Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства.
Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия (привести пример). Закон распределения Пуассона.
Непрерывная случайная величина (НСВ). Вероятность отдельно взятого значения НСВ. Математическое ожидание и дисперсия НСВ.
Равномерно распределенная случайная величина. Случайная величина, распределенная по показательному закону.
Определение нормального закона распределения. Теоретико-вероятностный смысл его параметров: нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров.
Функция распределения нормально-распределенной случайной величины и ее выражение через функцию Лапласа Φ(х).
Формулы для определения вероятностей: а) попадания нормально-распределенной случайной величины в заданный интервал; б) ее отклонения от математического ожидания. Правило трех сигм.
Числовые характеристики случайных величин.
Простейшие понятия теории надежности.
Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Функция распределения и плотности многомерной случайной величины.
Условные распределения составляющих многомерной случайной величины.
Числовые характеристики систем случайных величин.
Принцип практической уверенности.
Лемма Чебышева (неравенство Маркова). Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева и ее следствия.
Теорема Ляпунова и ее значение.
Генеральная совокупность и выборка. Статистическое распределение выборки.
Эмпирическая функция распределения. Выборка как набор случайных величин.
Генеральная и выборочная средние.
Генеральная и выборочная дисперсии.
Понятие об оценках параметров (характеристик) генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.
Точечная оценка генеральной средней и дисперсии. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии. Исправленная выборочная дисперсия.
Понятие об интервальном оценивании. Доверительная вероятность и доверительный интервал.
Построение доверительного интервала для генеральной средней и среднего квадратического отклонения в случае нормально распределенного количественного признака.
Статистическая гипотеза. Уровень значимости.
Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Понятие о критериях согласия.
Критерий согласия χ2-Пирсона и схема его применения.
Критерий согласия Колмогорова.