6. Вопросы к дифференцированному зачету (направление «Информатика и вычислительная
техника» – профиль «САПР»)
Классификация случайных событий. Операции над событиями. Классическое определение вероятности.
Основные формулы комбинаторики.
Полная группа событий. Противоположные события. Соотношение между вероятностями событий, образующих полную группу.
Несовместимые и совместимые события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей.
Зависимые и независимые события. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Формулы полной вероятности и Байеса.
Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости.
Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа и условия их применимости.
Функция Гаусса f(x) и ее свойства.
Функция Лапласа Φ(х) и ее свойства.
Дискретная случайная величина и ее закон распределения.
Функция распределения случайной величины, ее свойства и график.
Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.
Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства.
Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассона.
Непрерывная случайная величина. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
Равномерное и показательное распределения случайной величины. Связь пуассоновского распределения с показательным.
Нормальное распределение случайной величины.
Формулы для определения вероятностей: а) попадания нормально-распределенной случайной величины в заданный интервал; б) ее отклонения от математического ожидания. Правило трех сигм.
Числовые характеристики случайных величин.
Простейшие понятия теории надежности.
Понятие двумерной (n-мерной) случайной величины. Функция распределения и плотности многомерной случайной величины.
Условные распределения составляющих многомерной случайной величины.
Числовые характеристики систем случайных величин.
Лемма Чебышева (неравенство Маркова). Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.
Генеральная совокупность и выборка. Статистическое распределение выборки.
Эмпирическая функция распределения. Выборка как набор случайных величин.
Генеральная и выборочная средние.
Генеральная и выборочная дисперсии.
Точечная оценка генеральной средней и дисперсии. Смещенность и состоятельность выборочной дисперсии. Исправленная выборочная дисперсия.
Понятие об интервальном оценивании. Доверительная вероятность и доверительный интервал.
Построение доверительного интервала для генеральной средней и среднего квадратического отклонения в случае нормально распределенного количественного признака.
Статистическая гипотеза. Уровень значимости.
Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Понятие о критериях согласия.
Критерий согласия χ2-Пирсона и схема его применения.
7. Тематика экзаменационных задач
Классическое определение вероятности.
Несовместимые и совместимые события. Теорема сложения вероятностей.
Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Полная система событий. Противоположные события.
Формулы полной вероятности и Байеса.
Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
Локальная теорема Муавра-Лапласа, условия ее применимости.
Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа, условия ее применимости.
Дискретная случайная величина. Построение закона распределения.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.
Математические операции над дискретными случайными величинами.
Случайная величина, распределенная по биномиальному закону.
Закон распределения Пуассона.
Функция распределения случайной величины, ее свойства и график.
Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности.
Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
Равномерный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины.
Экспоненциальный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия экспоненциально распределенной случайной величины.
Нормальный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной случайной величины.
Определение вероятностей:
и
если Х − нормально распределенная случайная величина, а − ее
математическое ожидание.
Лемма Чебышева.
Неравенство Чебышева.
Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин.