1.4. Содержание отчета.

1. Преобразование общей задачи линейного программирования в основную задачу линейного программирования.

2. Описание метода Жордана и алгоритма его реализации.

3. Текст программы.

4. Таблицы результатов, включающие в себя

• все базисные решения, полученные методом Жордана;

• все опорные планы;

• оптимальный план.

5. Графическая интерпретация полученного решения.

6. Сравнение с решением, полученным при помощи таблиц EXCEL.

5. Вопросы для самопроверки

1. Сколько ненулевых компонент имеет невырожденный опорный план?

2. Сколько вершин может иметь многогранник решений основной задачи линейного программирования?

3. Может ли опорный план не быть базисным решением?

4. Может ли оптимальный план не быть опорным планом?

5. В каких случаях задача линейного программирования не имеет решения?

Лабораторная работа № 2

Тема: Решение планов основной задачи линейного программирования симплексным методом.

1. Цель и задачи работы.

Цель работы – Изучение метода последовательного улучшения плана (симплексного метода) и нахождение оптимального плана основной задачи линейного программирования. Экспериментальная проверка (на основе вычислительного эксперимента) теоретических положений.

Задачи работы:

• Построение основной задачи линейного программирования.

• Нахождение первого опорного плана.

• Нахождение оптимального плана или установление неразрешимости задачи симплексным методом.

2. Краткие теоретические сведения.

Рассмотрим опорный план основной задачи линейного программирования X=(x₁, x₂, x₃ ,…, x_m,,0,…,0). Этот план (поскольку по определению он является базисным решением) соответствует системе вектор-столбцов, образующих базис m-мерного пространства. Каждый из вектор-столбцов матрицы ограничений может быть представлен в виде линейной комбинации векторов-столбцов базиса A₁, A₂,…,A_m

A_j =x_ij A_i .

Если векторы A_i – имеют канонический вид (0,0,…,1,…0), то x_ij = a_ij .

Определение 2.1. Оценками опорного плана X называются величины _j =(x_ij c_i )– c_j .

Условия оптимальности и разрешимости.

Условие 1. Если все оценки опорного плана X основной задачи линейного программирования на максимум неотрицательны, т.е., _j  0 (j=1,..,n), то план X – оптимален.

Условие 2. Если  k : _k <0, 1  k n и a_ik  0 i, i=1,...,m, то целевая функция основной задачи линейного программирования не ограничена сверху на множестве планов.

Условие 3. Если опорный план X основной задачи линейного программирования на максимум не вырожден и  k,i : _k  0, то  X* : F(X*) > F(X), т.е. план X не оптимален.

Симплексная таблица.

i	Базис	Cб	B	c1	c2	…	cm	cm+1	…	cn
				A1	A2	…	Am	Am+1	…	An
1	A1	c1	b1	1	0	…	0	a1 m+1	…	a1 n
2	A2	c2	b2	0	1	…	0	a2 m+1	…	a2 n
.	.	.	.	.	.	…	.		…
.	.	.	.	.	.	…	.		…
.	.	.	.	.	.	…	.		…
r	Ar	cr	br	0	0	…	0	ar m+1	…	ar n
.	.	.	.	.	.	…	.		…
.	.	.	.	.	.	…	.		…
.	.	.	.	.	.	…	.		…
m	Am	cm	bm	.	.	…	1	an m+1	…	an n
m+1			F	0	0	…	0	 m+1	…	 n

Алгоритм симплексного метода.

1. Нахождение начального опорного плана методом Жордана.

2. Составление симплексной таблицы.

3. Проверка опорного плана на оптимальность в соответствии с условием 1; если условие выполнено, то конец работы алгоритма.

4. Проверка задачи на разрешимость в соответствии с условием 2; если условие выполнено, то конец работы алгоритма.

5. Переход к новому опорному плану:

• Определение разрешающего столбца (столбца симплексной таблицы с максимальной по абсолютной величине отрицательной оценкой);

• Определение разрешающей строки (строки с минимальным из отношений компонент столбца правых частей B к положительным компонентам направляющего столбца);

• Переход к новому базису, заключающийся в выведении из прежнего базиса вектора, расположенного в разрешающей строке и введении вектора, расположенного в разрешающем столбце. При этом производится преобразование симплексной таблицы методом Жордана.

6. Переход к п.3.

3. Варианты заданий.

№ варианта	Целевая функция	Ограничения
1	F=x1 –2x2 max	- x1 + 2x2 5 2x1 +4x2 =7 x1 +5x 2 -2 x1 , x2 0
2	F= -3x1 +4 x2 min	-3x1  8 2x1 - 2x2 =5 -8x1 +6x2-  -2 x2 0
3	F= -10x1 - 2x2 max	2x1+5x2 =11 -3 x1 + 2x2  7 -5x2 +4x3  10 x1 0
4	F=11x1 - 4 x2 min	3x1+8x2  15 -5x1 + 15x2 = 1 8x1 +3x2  11 x2 0
5	F=15x1 - 4x2 max	8x1 -3x2  -1 -3x1+2x2 4 5x1 +x2 =12 x1 , x2 0
6	F=5x1 min	-5x1+3x2 =10 10x1 -7x2 5 -3x1+2x2 4 -4x1 +x2  -2 x1 , x2 0
7	F=10x1 + 7x2 max	5x1–7x2  0 x1 +6x2  - 3 x2 +x3  - 4 x1 , x2 0
8	F=5x1 -4 x2 min	x1–6x2 =7 2x1 - 4x2  5 x2 - 2x3 -1 x1 , x2 0
9	F=2x1 + x2 max	2x1+7x2 -8 2x2 -4x3 10 -6 x 1 +2x2 =8 x1 , x2 0
10	F=6x1 - 7x2 min	6x2 +9x3 -1 -5x1 + 12x2 -7x3 6 x1 0
11	F=9x1 +14 x2 max	3x1 +7x2 8 -8x1 +6x2  -2 x2 0
12	F= 10x1 - 2x3 + min	12x1 - 2x2 =7 12x1-5x2  8
13	F=5x1 +4 x2 max	2x1-7x2 =5 9x1-2x2  7 -3x1 +5x2  -4 x1 , x2 0
14	F= 10x1 - 2x3 min	12x1 - 2x2 =7 12x1-5x2  8 -3x1+2x2  6 x1 , x2 0
15	F=4x1 –3 x2 max	5x1–7x2  10 x1 +6x2  - 3 x2 +x3  - 4 9x1-2x2  7 x1 , x2 0