Алгоритм сдвига по циклу пересчета.

Рассмотрим процедуру, называемую сдвигом по циклу пересчета. Эта процедура состоит в переходе от ранее полученного опорного плана к новому опорному плану, содержащему в качестве базисной ранее свободную переменную. Соответствующая этой переменной свободная клетка вместе с некоторыми из занятых клеток ранее полученного опорного плана составляют цикл. Далее необходимо "переместить" грузы в пределах цикла. Это перемещение производится по следующим правилам:

1) каждой из клеток, связанных циклом с данной свободной клеткой, приписывают определенный знак, причем свободной клетке – знак плюс, а всем остальным клеткам при движении вдоль цикла – поочередно знаки минус и плюс (эти клетки называют минусовыми и плюсовыми);

2) в свободную клетку переносят минимальное из значений перевозок х_ij, стоящих в минусовых клетках. Одновременно это число прибавляют к значениям перевозок, стоящим в плюсовых клетках, и вычитают из значений перевозок, стоящих в минусовых клетках. Клетка, которая ранее была свободной, становится занятой, а клетка, в которой стояло минимальное среди минусовых клеток значение перевозок, считается свободной.

В результате указанных перемещений груза в пределах клеток, связанных циклом с данной свободной клеткой, определяют новый опорный план транспортной задачи. Данная процедура по своему смыслу полностью аналогична процедуре перехода в рамках симплексного метода от одного опорного плана основной задачи линейного программирования к другому с помощью жордановского исключения. Процедура сдвига по циклу пересчета играет ту же роль в методе потенциалов.

Алгоритм метода потенциалов.

1. Нахождение первого опорного плана.

2. Нахождение потенциалов, соответствующих этому опорному плану из уравнений u_i + v_j =c_ij записанных для занятых клеток таблицы планирования с учетом дополнительного соотношения u₁ = 0.

3. Определение оценок u_i + v_j - c_ij для всех свободных клеток таблицы планирования. Если среди них нет положительных, то получен оптимальный план транспортной задачи; если же они имеются, то необходимо переходить к новому опорному плану.

4. Среди положительных оценок свободных клеток выбирается максимальная, и для данной свободной клетки строится цикл и производится сдвиг по циклу пересчета. Построив новый опорный план, необходимо перейти к этапу 2 и продолжить последовательное выполнение этапов до тех пор, пока проверка знаков оценок на этапе 3 не позволит сделать вывод о нахождении оптимального плана транспортной задачи.

Замечание. Необходимость дополнения уравнений u_i+v_j=c_ij дополнительным соотношением u_i = 0, вызвана тем, что эта система состоит из m+n-1 линейно независимых уравнений, но содержит m+n неизвестных u_i, v_j (i=1,2,…m; j=1,2,…n). Тем самым, для однозначного решения данной системы линейных алгебраических уравнений недостает одного уравнения. Неоднозначность определения потенциалов не сказывается на значениях оценок, но для численного решения задачи удобно доопределить эту систему так, чтобы иметь дело с конкретными значениями.

Определение 7.2. Алгебраической суммой тарифов цикла пересчета таблицы планирования транспортной задачи называется сумма, в которые тарифы плюсовых клеток цикла входят со знаком «плюс», а минусовых – со знаком «минус».