75

Содержание

Введение …………………………………………………………....4

Тема I. Линейное программирование …………………………….5

1. Лабораторная работа № 1. Исследование области

допустимых планов задач линейного программирования.

Нахождение оптимального плана методом перебора вершин

многогранника решений ……………………………………….5

2. Лабораторная работа № 2. Решение задач линейного

программирования симплексным методом. Применение

метода искусственного базиса ……………………………….13

3. Лабораторная работа № 3. Двойственность в линейном программировании. Решение задач линейного програм-

мирования двойственным симплексным методом …………..18

Тема II. Дискретное линейное программирование …………….27

1. Лабораторная работа № 4. Решение задач дискретного

линейного программирования методом ветвей и

границ………………………………………………………….27

2. Лабораторная работа № 5. Решение задач дискретного

линейного программирования методом Гомори……………..33

Тема III. Теория транспортных задач линейного

программирования………………………………………….....39

1. Лабораторная работа № 6. Сведение транспортных задач

с дополнительными ограничениями к закрытой модели.

Построение опорных планов транспортной задачи………….39

2. Лабораторная работа № 7. Решение транспортных задач

методом потенциалов и распределительным методом…. …53

3. Лабораторная работа № 8. Решение транспортных задач

методом дифференциальных рент ……………………………59

Тема IV. Нелинейное программирование……………………….61

1. Лабораторная работа № 9. Решение задач дробно-линейного программирования. ………………………………………………61

2. Лабораторная работа № 10. Учет ограничений при решении задач нелинейного программирования ………………….…..… 69

Литература ………………………………………………………..75

Введение

Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математическая экономика: методы оптимизации» содержит краткие теоретические сведения и индивидуальные задания для выполнения лабораторных работ по следующим основным темам курса:

• линейное программирование;

• дискретное линейное программирование;

• теория транспортных задач линейного программирования;

• нелинейное программирование.

Описание каждой лабораторной работы включает в себя формулировки целей и задач ее выполнения, содержание отчета и вопросы для самопроверки.

Для изучения данного курса необходимы теоретические знания и практические навыки, полученные студентами в рамках таких учебных дисциплин, как «Высшая математика», «Информатика», «Дискретные модели информатики», «Программирование». В свою очередь, данная дисциплина является основой для последующего изучения курсов: «Теория систем и системный анализ», «Интеллектуальные информационные системы».

Учебно-методическое пособие составлено в соответствии с учебной программой дисциплины «Математическая экономика: методы оптимизации», учебным планом и Государственным образовательным стандартом специальности «Прикладная информатика в экономике» (351400) и предназначено для студентов и преподавателей для использования в учебном процессе по данной специальности.

Пособие содержит важные теоретические положения и практические сведения, необходимые для анализа математических моделей экономических систем, относящихся к различным отраслям, в том числе и к потребительской кооперации.

Тема I. Линейное программирование лабораторная работа № 1

Тема: Исследование области допустимых планов задач линейного программирования. Нахождение оптимального плана методом перебора вершин многогранника решений.

1. Цель и задачи работы.

Цель работы – освоение основных понятий линейного программирования. Изучение методов и построение алгоритмов исследования области планов основной задачи линейного программирования. Экспериментальная проверка (на основе вычислительного эксперимента) теоретических положений.

Задачи работы:

• Построение основной задачи линейного программирования.

• Определение базисных решений и вершин многогранника решений основной задачи линейного программирования.

• Решение задачи линейного программирования путем полного перебора вершин многогранника.

2. Краткие теоретические сведения.

Основные определения и утверждения

Определение 1.1. Вектор X=(x₁, x₂, x₃ ,…, x_n), удовлетворяющий ограничениям задачи линейного программирования называется планом (или допустимым решением).

Определение 1.2. План X*=(x₁*, x₂*, x₃* ,…, x_n*), при котором целевая функция достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным планом.

Общая задача линейного программирования
F= cj xj  max (min)	Целевая функция
aij xj  bi (i=1,2,…,k)	Ограничения типа неравенств
aij xj = bi (i= k +1,., m)	Ограничения типа равенств
xj0 (j=1,2,…,s)	Условия неотрицательности переменных

Определение 1.3. Задача линейного программирования называется симметричной (или стандартной), если она состоит в определении максимального значения целевой функции при выполнении ограничений типа неравенств и условий неотрицательности переменных, т.е. когда k=m, s=m.

Определение 1.4. Задача линейного программирования называется основной, если k=0, s=m, т.е. при ограничениях типа равенств и условии неотрицательности переменных.

Утверждение 1.1.

Любая общая задача линейного программирования может быть преобразована в основную задачу линейного программирования.

Определение 1.5. Решение системы ограничений типа равенств X=(x₁, x₂, x₃ ,…, x_m,,0,…,0), называется базисным решением основной задачи линейного программирования, если система векторов A_i (i=1,…,m), входящих в ограничения с ненулевыми коэффициентами, линейно независима.

Определение 1.6. План X=(x₁, x₂, x₃ ,…, x_m,,0,…,0), называется опорным планом основной задачи линейного программирования, если система векторов A_i,(i=1,…,m), входящих в ограничения типа равенств с положительными коэффициентами, линейно независима.

Основная задача линейного программирования
Формы записи
скалярная	векторная	матричная
F=cjxjmax(min)	F=CX max (min)	F=CTX max (min)
aij xj = bi (i=1,…,m)	Aj xj = B (i=1,…,m)	AX=B
xj0 (j=1,2,…,n)	X  0	X  0

Определение 1.7. Базисное решение и опорный план называются вырожденными, если число их ненулевых компонент меньше размерности векторов A_j.

Определение 1.8. Точка X выпуклого множества  называется угловой, если она не может быть представлена в виде:

X=₁X₁ + ₂X₂, где ₁ , ₂  0, ₁ + ₂ = 1

X₁ , X₂  , X  X₁ , X  X₂

Утверждение 1.2.

Точка Х области решений является угловой тогда и только тогда, когда Х - опорный план.

Следствие. Каждой вершине многогранника решений соответствует свой базис векторов и свой набор базисных (ненулевых) переменных. Переход от одной вершины к другой соответствует переходу от одного базиса к другому.

Теорема (о достижимости оптимального значения целевой функции в вершине многогранника решений).

Целевая функция основной задачи линейного программирования достигает своего минимального (максимального значений) в некоторой вершине многогранника решений. Если основная задача линейного программирования имеет несколько оптимальных планов, то их линейная комбинация - тоже оптимальный план.

Следствие. Оптимальный план (если он существует) может быть найден путем полного перебора вершин.

Определение 1.9. Область планов основной задачи линейного программирования называется многогранником решений, а ее угловые точки – вершинами многогранника.