6.4. Содержание отчета

1. Построение математической модели распределения работ между работниками формирование критерия качества распределения работ.

2. Составление закрытой модели транспортной задачи

3. Построение первого опорного плана транспортной задачи:

а) методом северо-западного угла;

б) методом минимального элемента;

в) методом двойного предпочтения;

г) методом Фогеля;

4. Построение схем назначений, соответствующих полученным опорным планам.

6.5. Вопросы для самопроверки

1. Как формулируется математическая постановка транспортной задачи?

2. В чем заключается основная теорема теории транспортных задач?

3. Каким образом открытая транспортная задача сводится к закрытой модели?

4. Сколько базисных компонент содержит невырожденный опорный план транспортной задачи?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7

Тема: Решение транспортной задачи линейного программирования методом потенциалов и распределительным методом.

7.1. Цель работы и задачи работы.

Цель работы – построение оптимального плана транспортной задачи линейного программирования. Проверка теоретических положений при помощи численного эксперимента.

Задачи работы:

• Изучение и практическое освоения метода потенциалов.

• Изучение и практическое освоения распределительного метода.

7.2. Краткие теоретические сведения.

При определении оптимального плана транспортной задачи (как и в более общем случае основной задачи линейного программирования) естественно встает вопрос о возможности формулирования необходимого и достаточного условия оптимальности. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема (о потенциалах). Если для некоторого опорного плана Х = (х_ij) транспортной задачи существуют такие числа u₁, u₂, ..., u_m, и v₁, v₂, ..., v_n, называемые потенциалами, такие что

u_i + v_j = c_ij при х_ij > 0

u_i + v_j  c_ij при х_ij = 0

для всех (i=1,2,…m; j=1,2,…n), , то Х = (х_ij) - оптимальный план транспортной задачи.

Замечание. Доказательство Теоремы о потенциалах проводится прямым применением Второй теоремы о двойственности. При этом потенциалы рассматриваются как переменные задачи, двойственной к транспортной задаче.

Определение 7.1. Циклом (циклом пересчета) в таблице планирования транспортной задачи называется ломаная линия, вершины которой (точки, в которых ломаная меняет направление) расположены в занятых клетках таблицы, а звенья - вдоль строк и столбцов, причем одно звено каждой вершины находится в строке, а другое в столбце. Точки пересечения звеньев цикла не являются вершинами.

Утверждение (о возможности построения цикла). Добавляя любую свободную (незанятую) клетку к занятым клеткам таблицы планирования, соответствующим невырожденному опорному плану транспортной задачи, всегда можно построить цикл пересчета, в который в качестве вершин будут входить некоторые из этих клеток (но свободная клетка обязательно).

Утверждение (о единственности цикла пересчета).

Множество клеток таблицы планирования транспортной задачи, состоящее из произвольно выбранной свободной клетки и занятых клеток, соответствующих базисным компонентам опорного плана, может содержать лишь один цикл пересчета.

Замечание. Доказательство этих утверждений основывается на аналогичных по сути, хотя и выраженных в других терминах, утверждениях из общей теории линейного программирования о свойствах опорных планов (вершин многогранника решений) основной задачи линейного программирования.