9.4. Содержание отчета.

1. Описание используемого метода и алгоритма его программной реализации.

2. Текст программы.

3. Таблицы результатов, включая промежуточные симплексные таблицы.

4. Графическая интерпретация результатов.

5. Сравнение с решением, полученным при помощи таблиц EXCEL.

9.5. Вопросы для самопроверки.

1. Какая содержательная экономическая задача может привести к математической задаче дробно-линейного программирования?

2. Чем отличаются области допустимых решений задач линейного и дробно-линейного программирования?

3. В каких случаях задача дробно-линейного программирования неразрешима?

4. Что является признаком неединственности оптимального плана задачи дробно-линейного программирования?

5. Как влияет погрешность вычислений на решение основной задачи дробно-линейного программирования?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10

Тема: Решение задач нелинейного программирования

методом штрафных функций

10.1 Цель и задачи работы.

Цель работы – освоение основных понятий и изучение методов нахождения оптимальных планов нелинейного програм-мирования. Экспериментальная проверка (на основе вычислительного эксперимента) теоретических положений.

Задачи работы:

• Изучение методов построения задачи нелинейного программирования без ограничений на основе исходной задачи с ограничениями.

• Изучение методов решения задач нелинейного програм-мирования

10.2. Краткие теоретические сведения.

Задачи нелинейного программирования возникают в случаях когда целевая функция и функции, входящие в систему ограничений нелинейны. Рассмотрим общую задачу нелинейного программирования

f(X)  min	Целевая функция
gi(X)  0 (i=1,к)	Ограничения типа неравенств
di(X) = 0 (i=к+1,m)	Ограничения типа равенств

Метод скользящего допуска

Задача нелинейного программирования общего вида сводится к задаче

f(X)  min

Т(х) t

где Т(х)=(g_j²_i + d_j²) ^1/2

при этом относительно коэффициентов _i (i=1,2,…k) выполняются условия: _j=1, если g_j >0 и _j=0, если g_j  0.

Величина t последовательно принимает значения монотонно убывающей последовательности t₀, t₁, t₂,…, t_n  0. Таким образом, сущность метода скользящего заключается в замене нескольких ограничений задачи нелинейного программирования на одно «скользящее» ограничение. При этом выбор значения параметра t из значений членов убывающей последовательности позволяет все более точно удовлетворять исходные ограничения.

Метод штрафных функций

Задача нелинейного программирования общего вида сводится к задаче без ограничений

f(X)+ P(x)  min

путем добавления к целевой функции f(X) специальным образом построенной штрафной функции P(x).

Свойства штрафных функций:

1. На большей части области допустимых решений штрафная функция близка нулю;

2. Штрафная функция быстро возрастает либо при приближении изнутри к границе области допустимых решений (внутренняя штрафная функция), либо при выходе за пределы области допустимых решений (внешняя штрафная функция);

3. Величина штрафа и скорость его возрастания зависит от штрафного параметра и увеличивается с ростом штрафного параметра.

Замечание. Внутренние штрафные функции удобно использовать при ограничениях типа неравенств (k=m), а внешние – при ограничениях типа равенств (k=0).

Пример внешней штрафной функции при k=0:

P(х)= p( d_j²) ^1/2

Примеры внутренней штрафной функции при k=m:

а) P(х)= p( g_j^–1)

б) P(х)= p(ln(g_j))

Возможно комбинирование внешних и внутренних штрафных функций.

3. Варианты заданий.

№ варианта	Целевая функция	Ограничения
1	F=2x12+3x2 max	x12 + 2x22 = 6 9x1 + 4x22  100
2	F=-x1+5x22 max	x12 + x22 = 2 5x12 + 2x22  50
3	F=2x12 max	x14 + 2x22 = 4 5x1 + 2x2  10
4	F=-5x12+x22 max	x1 x2 + 2x2  -1 5x12 + 2x22 = 10
5	F=-3 x1 x2 min	x12 - x2  -3 x14 + x24 = 4
6	F=12x1-x2 x1 max	-x1 +2x2 x1 4 3x12 + 8x22 = 24
7	F= - x12+x22 min	x12 + 2x24 = 3 x12 x2 + x2  8
8	F=x12+8 x1x2 min	x12 + 2x2 +3x12  4 5x12 + 2x22 = 10
9	F=-x13+3x2 max	x12 + 2x2  6 x12 + x22 = 5
10	F= 2x1 x2 max	x12 + 2x22 = 3 3x1 + 5x22  4
11	F= 5x 1-3x2 min	2x12 + 3x22 = 6 x1 x2  4
12	F= x 13+3x2 max	x14 + 2x22 = 4 5x1 + 2x2  10
13	F= 2x1+3x22 max	x12 + 2x26 = 3 3x1 + 5x2  4
14	F= 5x12-3x22 min	2x1 - 3x2  6 x16 + x26 = 4
15	F= x12+3x22 max	x12 + 2x22 =4 5x1 + 2x2  10