Добавил:

SbookS Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

Физика

Файл:

П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.05.2013

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

1 / 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

М инистерство общ его и профессионального образования Российской Ф едерации

П ермский государственный технический университет

Кафедра математического моделирования систем и процессов

Ï .Ã.Ô ðèê

ТУРБУЛЕН ТН О СТЬ: М ОДЕЛИ И П ОДХОДЫ

Курс лекций

Часть II

Рекомендовано учебно-методическим советом по направлению «Электроника и прикладная математика» в качестве учебного пособия для студентов специальности «П рикладная математика»

Ï åðìü 1999

ÓÄÊ 532.517.4 Ô 88

Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. / П .Г.Ф рик; П ерм. гос. техн. ун-т. Часть II. П ермь, 1999. 136 с.

Вторая частькурса лекций вклю чаетвсебя введение и четыре из семи разделов курса «Турбулентность: модели и подходы»(три первых раздела: «Основы», «Хаос в динамических системах»и «П олуэмпирическиемодели» вош ли в первую часть курса). В четвертом разделе излагаются модели однородной и изотропной турбулентности, начиная стеории Колмогорова и кончая современными моделями перемежаемости в развитой турбулентности. П ятый раздел посвящ ен некоторым специальным турбулентным потокам. Рассмотрены особенности поведения двумерной турбулентности и турбулентности, вызванной силами Архимеда. В ш естом разделе излагаю т- сямодели, основанные на применении специальных функциональных базисов, названных иерархическими, и дается краткое изложение вейвлетанализа, с примерами его применения к гидродинамическим системам. П о- следний, седьмой раздел посвящ ен каскадным моделям турбулентности - простейш им моделям развитой турбулентности, доказавш им свою эффективность в моделировании свойств турбулентности в инерционных интервалах при очень высоких числах Рейнольдса.

Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей. И л.89. Библиогр.: 35 назв.

Рецензенты:	кафедра общ ей физики П ермского
	государственного технического университета,
	д-р физ.-мат.наук, профессор Д.В.Любимов

ISBN 5-88151-193-Õ
©	П ермский государственный
1.	технический	университет,
1999

ВВЕДЕН И Е		4
1.	ÎÑÍ Î ÂÛ	5
2.	ХАОС В ДИ Н А М И Ч ЕСКИ Х СИСТЕМ АХ	5
3. ПОЛУЭМ П И РИ Ч ЕСК И Е М ОДЕЛИ		5
4.	ОДН О РОДНАЯ ТУРБУЛЕН ТН О СТЬ	6
	4.1. ÎД Н ОРОДНАЯ И ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	6
	4.2. ÁАЛАНС ЭНЕРГИ И П О М АСШ ТАБАМ . ÊАСКАД	9
	4.3. ÒЕОРИЯ ÊОЛМ ОГОРОВА 1941 ÃÎÄÀ (Ê41)	13
	4.4. ËОГН О РМ АЛЬНАЯ М ОДЕЛЬ (Ê62)	22
	4.5. Ô РАКТАЛЫ И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ	27
	4.6. ËОГПУАССОНОВСКИЕ М ОДЕЛИ	35
5.	ДВУМ ЕРНАЯ ТУРБУЛЕН ТН О СТЬ	45
	5.1. ÇАКОН Ы СОХРА Н ЕН И Я И И Н ЕРЦ И О Н Н Ы Е И Н ТЕРВАЛЫ	46
	5.2. ËАБОРАТОРН Ы Е ЭКСПЕРИ М ЕНТЫ	51
	5.3. ×ИСЛЕН Н Ы Е ИССЛЕДОВАНИЯ	53
	5.4. Ï ЕРЕМ ЕЖ АЕМ ОСТЬ В ДВУМ ЕРН О Й ТУРБУЛЕН ТНОСТИ	59
	5.5. ÊО Н ВЕКТИ ВНАЯ ТУРБУЛЕН ТНОСТЬ	65
6.	И ЕРАРХ И Ч ЕСК И Е М ОДЕЛИ ТУРБУЛЕН ТН О СТИ И ВЕЙ ВЛЕТЫ	71
	6.1. È ЕРАРХИЧЕСКИ Й БАЗИС ДЛЯ ТУРБУЛЕН ТН Ы Х ПОЛЕЙ	71
	6.2. È ЕРАРХИЧЕСКАЯ М ОДЕЛЬ ДВУМ ЕРН О Й ТУРБУЛЕНТНОСТИ	80
	6.3. ÂЕЙ ВЛЕТЫ	87
	6.4. Í ЕП РЕРЫ ВНОЕ ВЕЙВЛЕТ-П РЕОБРАЗОВАНИЕ	90
	6.5. ÄИСКРЕТН О Е ВЕЙВЛЕТ-П РЕОБРАЗОВАНИЕ	95
	6.6. ÂÅÉ ÂËÅÒ-АНАЛИЗ ВРЕМ ЕН Н Ы Х КОЛЕБА Н И Й ГИДРОДИНАМ ИЧЕСКИ Х СИСТЕМ	102
7.	КАСКАДН Ы Е М ОДЕЛИ ТУРБУЛЕН ТН О СТИ	109
	7.1. ÊАСКАДН Ы Е М ОДЕЛИ	109
	7.2. Ì ОДЕЛЬ Í ОВИКОВА - ÄЕСН Я Н СКОГО	110
	7.3. Ì ОДЕЛЬ GOY	113
	7.4. ÑКЕЙ Л И Н Г И П ЕРЕМ ЕЖ АЕМ ОСТЬ В КАСКАДН Ы Х М ОДЕЛЯХ РАЗВИТОЙ ТУРБУЛЕН ТН О СТИ	119
	7.5 Ì ОДЕЛЬ КОНВЕКТИ ВНОЙ ТУРБУЛЕН ТНОСТИ	124
	7.6. ÊАСКАДН Ы Е П РО Ц ЕССЫ В Ì ÃÄ-ТУРБУЛЕНТНОСТИ	130
8.	ЗАКЛЮ ЧЕН И Е	136

ВВЕДЕН И Е

Н астоящ ий курс лекций ставит своей целью дать представления о разнообразных подходах и методах, применяемых в исследованиях развитой турбулентности.

Курс состоит из двух частей. П ервая часть вклю чала три главы: 1.Основы, 2.Хаос в динамических системах, 3.П олуэмпирические модели. П ервая глава содержала базовые сведения об уравнениях движения идеальной и реальной жидкости и краткий обзор методов и некоторых результатов исследования устойчивости гидродинамических систем. Во второй главе обсуждались методы и подходы теории динамических систем, позволивш ей значительно углубить понимание процессов перехода от детерминированного поведения к хаотическому. Третья глава кратко знакомила с подходом Рейнольдса к описанию средних полей в развитых турбулентных течениях и вытекаю щ ими из него полуэмпирическими моделями турбулентности.

Н ужно отметить, что в первую часть курса были включены в основном сведения, которыеможно найти в различных учебниках и монографиях. Н астоящ ая, вторая часть содержит результаты, которые, за редким исклю чением, не вош ли ещ е в книги и могут быть найдены только в оригинальных статьях. Эта часть, предлагаемая вниманию читателя, состоит из четырех глав (с четвертой по седьмую , так как для обеих частей принята сквозная нумерация).

Четвертая глава посвящ ена моделям однородной и изотропной турбулентности. Здесьсобраны модели мелкомасш табной турбулентности, на- чиная со знаменитой теории Колмогорова 1941 года. Описаны первые попытки учета перемежаемости (лог-нормальная модель, бета-модель). П оказано, что дало применение к теории турбулентности идеи фрактальности и как использование новых экспериментальных данных о структуре поля диссипации энергии и о поведении высш их статистических моментов привело к появлению новых моделей, основанных на лог-пуассоновской статистике турбулентных полей.

П ятый раздел посвящ ен некоторым специальным турбулентным потокам. Рассмотрены особенности поведения двумерной турбулентности, в которой наличие дополнительного закона сохранения приводит к качественно иному поведению мелкомасш табного течения. Н а примере турбулентности, вызванной силами плавучести (т.е. конвективной турбулентности), показано, как можетменяться динамика инерционного интервала под действием дополнительного силового поля.

В ш естом разделе излагаю тся модели, основанные на применении специальных функциональных базисов, воспроизводящ их структуру турбулентных потоков. Эти базисы получили название иерархических и по современной терминологии относятся к вейвлет-базисам. Вейвлет-анализ (возникш ий заметно позже первых иерархических моделей) превратилсяна сегодня в развитую область матфизики и его значение для исследования стохастических гидродинамических систем и турбулентности не исчерпывается применением вейвлет-базисов для численного моделирования тече- ний. Учитывая, что до настоящ его времени литература о вейвлетах на русском языке практически отсутствует, в этой же главе дается краткое изложение основ вейвлет-анализа, с примерами его применения к гидродинами- ческим системам.

П оследний, седьмой раздел посвящ ен каскадным моделям турбулентности - простейш им моделям развитой турбулентности, доказавш им свою эффективность в моделировании свойств турбулентности в инерционных интервалах при очень высоких числах Рейнольдса. Эти модели, являясьдинамическими системами относительно высокого порядка (несколько десятков уравнений), описываю т каскадные процессы в ш ироком интервале масш табов. Дано изложение методов построения моделей этого типа, приведены примеры построения моделей для различных турбулентных течений и рассмотрены некоторые результаты их применения.

Курс предназначен для студентов специальности "П рикладная математика", ориентирую щ ихся на работу в научно-исследовательских учреждениях и на кафедрах, в особенности тех, что связаны с реш ением задач механики жидкости и газа. В то же время, в курсе рассматриваю тся и общ ие подходы к моделированию сложных динамических систем, которые могут быть полезными специалистам, занимаю щ имся моделированием самых различных (и нетолько механических) систем и явлений.

1.ÎÑÍ Î ÂÛ

2.ХАОС В Д И Н А М И Ч ЕСКИХ СИСТЕМ АХ

3.ПОЛУЭМ П И РИ Ч ЕСК И Е М ОДЕЛИ

4. ОДН О РОДН А Я ТУРБУЛЕН ТН О СТЬ

4.1.Однородная и изотропная турбулентность

Íачиная изучение свойств мелкомасш табной турбулентности, сделаем несколько важных замечаний, частично повторяю щ их выводы, обсуждавш иеся в первой части курса. П реждевсего напомним, что мы ограничи- ваемся рассмотрением течений несжимаемой жидкости, описываемых уравнениями Н авьеСтокса, которыезапиш ем в виде

∂ v

+ v

∂

= − ρ − 1∂ p + ν∂2

(4.1)

∂k vk

= 0 .

(4.2)

Здесь vi - компоненты скорости,

f i - компоненты силы, ρ - плотность,

p - давление, ν - вязкость. П ри этом нужно незабывать, что сама возможность применения уравнений (4.1)-(4.2) к описанию турбулентных течений при огромныхзначениях числа Рейнольдсане является очевидной, так как при их выводе использовано предположение о том, что тензор вязких напряжений является линейной функцией только первых производных поля скорости (см. вводныезамечания к разделу 3).

Важно также подчеркнуть, что рассматривается развитая турбулентность, характеризуемая наполненными спектрами Ф урье(как временными, так и пространственными), что свидетельствует о сущ ествовании многомасш табной структуры поля скорости. И менно многомасш табность и является важнейш им признаком развитой турбулентности, приводя к возбуждению гигантского числа степеней свободы.

М ы уже говорили о том, что лю бой подход к описанию развитой турбулентности по сути представляет собой тот или иной способ ограниче- ния числа степеней свободы, приводящ ий к соответствую щ им моделям. В главе 3 был рассмотрен подход Рейнольдса, состоящ ий в представлении входящ их в (4.1)-(4.2) полей в виде сумм средних полей и пульсаций:

vi (r ,t) = U i (r , t) + ui (r ,t) ,					p(r ,t) = P(r , t) +				p (r , t) , f (r , t) = F (r , t) +		f (r , t) . (4.3)
П одход приводит к уравнениям длясредних величин
∂U	+ U	j	∂ U	= − ρ− 1∂ P + ν∂2 U			− ∂	j	u u	+ F ,	(4.4)
t i		j	j i		i	jj i		j	j i	i
					∂kU k	= 0 ,					(4.5)

вклю чаю щ им новый член - тензор напряжений Рейнольдса (угловые скобки по-прежнему обозначают осреднение по ансамблю реализаций). Различныеспособы замыкания уравнений (4.4)-(4.5) составляю т суть полуэмпирических моделей.

П одход Рейнольдса (и связанные с ним полуэмпирические модели) направлен на описание средних полей скорости, возникаю щ их в конкретных потоках. Каждая полуэмпирическая модель адаптируетсядля заданного (как правило, достаточно узкого) класса течений и включает ряд параметров, экспериментально определяемых именно для данного класса тече- ний и справедливых в определенном диапазонезначений числа Рейнольдса. Таким образом, делается попытка ограничиться описанием крупномас- ш табных полей, а влияние мелкомасш табных полей охарактеризовать с помощ ью небольш ого числа параметров.

Зададимся теперь вопросом о том, есть ли у турбулентности некие универсальные свойства, не зависящ ие от конкретных условий ее возбуждения? Очевидно, что рассчитывать на обнаружение таких универсальных свойств можно только вдали от границ и на масш табах, сущ ественно меньш их размеров области, занятых турбулентным течением. Таким образом, мы начинаем изучение мелкомасш табной турбулентности, в смысле, что основной интерес представляют для насмасш табы l << L ( L - внеш ний, или интегральный масш таб турбулентности). В то же время, говоря о развитой турбулентности, мы подразумеваем, что числа Рейнольдса столь велики, что остается ш ирокий диапазон возбужденных масш табов, удовлетворяю щ их этому условию . И начеговоря, λ << l << L , ãäå λ - микромасш таб турбулентности, характеризую щ ий масш табы пульсаций скорости, на которых становитсясущ ественной вязкая диссипация.

Н а рис.4.1 схематически показаны три различных турбулентных потока (турбулентный след, течение в трубе и конвективный факел) и области

Ðèñ.4.1

в них, изображенные в виде кубов, в которых можно надеяться на выявле-

ниетаких универсальных свойств. П ри наличии осредненного течения (поток в трубе) выделенный куб движетсясо средней скоростью этого потока.

Выделенные области не случайно имеют кубическую форму. Дело в том, что, желая избежать влияния границ, мы в то же время хотим рассматривать ограниченную область потока, причем свойства течения в этой области не должны зависеть от ее точного положения (другими словами, используетсягипотеза об однородности турбулентности на масш табах, много меньш их масш таба ее возбуждения L ). Н аиболее простой путь удовлетворения этих противоречивых требований состоит в рассмотрении кубиче- ской области с ребром D , на гранях которого выполняю тсяпериодические граничные условия. Это условие состоит в том, что для всякой функции и лю бых целых n, m, q

f (x + nD, y + mD, z + qD) = f (x, y, z) .

(4.6)

Такая постановка задачи очень удобна для прямых численных реш е- ний уравнений (4.1)-(4.2). И менно для куба с периодическими граничными условиями (для квадрата в случае двумерных течений) выполнены практи- чески все численные эксперименты по исследованию свойств однородной турбулентности. Заметим, что условие однородности немедленно приводит к тому, что уравнение (4.4) допускает только тривиальное реш ение

U (t, r ) = 0 . Кубическая геометрия и условие периодичности создаю т идеальныеусловия для применения спектральных (и спектрально-сеточных) мето-

дов, так как любая функция f (t, r )

можетбыть представлена в виде

)

2πi

( nx+ my+ qz )

)

f ( t,r ) = å

f nmq ( t )e D

= år fk ( t )eikr ,

(4.7)

n ,m ,q

2π

ãäå k =

(nex

+ me y

+ qez )

есть волновой вектор, а коэффициенты Ф урье оп-

ределяютсяформулой

)

D D D

rr r

fk ( t ) =

òòò f ( t,r )e− ikr dr .

(4.8)

0 0 0

В свете поставленной задачи фурье-представление удобно тем, что каждая гармоника соответствует движению определенного пространственного масш таба. Для того, чтобы получить энергию всех движений заданного масш таба l = 2πk , нужно просуммировать всегармоники, волновыевекторы которых равны по модулю

r	\|2 .	(4.9)
E( k ) = år \| vk

|k|=k

4.2. Баланс энергии по масш табам. Каскад

Для получения уравнения, описываю щ его баланс энергии в одном отдельно взятом масш табе, нужно записать уравнения Н авьеСтокса (4.1)- (4.2) в пространстве Ф урье. П ри этом можно воспользоваться рядами Ф у- рье вида (4.7), имея в виду кубическую геометрию с периодическими условиями, либо интегралами Ф урье, опираясьна рассмотрение турбулентного течения в ограниченной части бесконечного пространства. Чтобы не создать впечатление, что получаю щ иеся уравнения связаны с искусственно выбранной формой области, воспользуемся в данном параграфе интегралами Ф урье(вывод уравнений для рядов оставим для домаш них упражнений).

И так, пусть течение занимает ограниченную область, затухая на бесконечности, и все входящ ие в уравнения Н авье - Стокса величины допускаю т представление в виде

r	1	∞ ) r		rr r
f ( r ,t ) =		òf ( k ,t )eikr dk ,			(4.10)
f ( r ,t ) =	8π 3	òf ( k ,t )eikr dk ,			(4.10)
ãäå		− ∞
ãäå	r	∞	r	rr r
)	r	∞	r	rr r
f ( k ,t ) = òf ( r ,t )e− ikr dr ,					(4.11)
		− ∞

r = (x, y, z) - радиус-вектор, k = (k x , k y , k z ) - волновой вектор.

Всевеличины в уравнении (4.1) выразим черезфурье-образы (4.10)

∞ ) r rr r

r ¢ ik ′r ¢

¶t òv( k ,t )e dk +

− ∞

8π 3

∞ )	r	r r	r r ∞	)	r	r r	r
r	′	ik ′r	′	r	′	ik ′r	dk	′	=
òv( k ,t )e			dk Ñ òv( k ,t )e				dk		=
− ∞			− ∞

r ∞	)	r	rr r	∞ ) r	rr r	∞ ) r	rr r
	)			r		òf ( k ¢,t )eik ′r dk ¢
= - ρ − 1Ñ òp( k ¢,t )eik ′r dk ¢+ ν				òv( k ¢,t )eik ′r dk ¢+		òf ( k ¢,t )eik ′r dk ¢
− ∞				− ∞		− ∞

и воспользуемсятеоремой о дифференцировании (см. параграф 2.4.2 части 1)

∞ ) r rr r

∞ ∞

r r

) r

r r r r r

ik ′r

i( k ′+ k ′)r

∂t

v( k ′)e

dk ′+

[ v( k ′)k ′]v( k ′)e

dk ′dk ′=

8π

3 ò ò

− ∞

− ∞ − ∞

∞ r

)

∞

) r

rr r

∞ ) r

rr r

ik ′r

2 r

ik ′r

= −

′

òk p( k )e dk

− ν òk

v( k )e dk +

òf ( k )e dk .

− ∞

Для упрощ ения записи во всех функциях здесьи далееопускается ар-

гумент t . Уравнение умножается на e− ikr и интегрируется по dr . Учитывая, что

∞		r r	r		r	r		r
2π òe	i( k′− k )r				r	= δ( k	′
2π òe				dr		= δ( k	− k ) , à
− ∞
′		r
и переобозначив k = q , получаем
) r		i	∞		)		r	) r
r		i			r r			r r
∂t v( k ) +			ò[ v( q )( k					− q )]v( k	−
∂t v( k ) +		8π 3	ò[ v( q )( k					− q )]v( k	−
			− ∞

∞ r	r		r r	r
¢	¢		¢
òf (k )δ(k		-	k )dk	= f (k ) ,

− ∞

r r		− 1	r r	)	r	) r
	= − iρ		)	2 r		f ( k ).
q )dq			kp( k ) − νk	v( k ) +

(4.12)

Уравнение неразрывности (4.2) в пространстве Ф урье имеет простой

âèä

r	(4.13)
k ×v( k ) = 0

и может быть использовано для исклю чения из уравнения (4.12) члена с

давлением. Умножение (4.12) на k				с учетом (4.13) приводит к выражению
)	r	− k	∞ )	r	r	) r	r r	ik		) r
)		− k	r r		r	r	r r	ik
ρ − 1 p( k ) =			ò[ v( q )( k − q )]v( k				− q )dq −			f ( k ) .	(4.14)
ρ − 1 p( k ) =		8π 3k 2	ò[ v( q )( k − q )]v( k				− q )dq −	k 2		f ( k ) .	(4.14)
			− ∞
П одставляя (4.14) в (4.12) и используя								r		r	rr r r
П одставляя (4.14) в (4.12) и используя						формулу a			´(b ´c ) = b (ac) - c(ab ) äëÿ

объединения нелинейных членов, приходим к уравнению

)

∞

)

[ k × ( v( k −

q ) × k )]

r r

∂t v( k ) +

[ v( q )( k

−

8π 3

k 2

− ∞

ãäå

r r

f ' ( k ) = k − 2 [ k ´(

f ´k )] .

r r	)	r	) r
	r		f ' ( k ) ,	(4.15)
q )]dq	= − νk 2 v( k ) +

Ц елью проводимых преобразований являетсяуравнение для энергии, заклю ченной в данных масш табах (волновых числах), которая получается путем интегрирования квадрата модуля фурье-компонент поля скорости по всем волновым векторам сзаданным значением модуля | k |= k :

r
E( k ) = rò\|rv( k )\|2 dk .	(4.16)

k =|k|

1 / 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Физика

#
07.05.201367.42 Кб11Relationships of the SI derived units with special names and symbols and the SI base units COLOR.pdf
#
07.05.20132.24 Mб3В.В.Зозуля, А.В.Мартыненко, А.Н.Лукин - Механика материалов.djvu
#
07.05.20139.39 Mб7Д.В.Сивухин - Общий курс физики, том III, Электричество.djvu
#
07.05.20134.27 Mб4Д.Р.Стэлл - Таблицы давления паров индивидуальных веществ.djvu
#
07.05.20131.18 Mб81П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 1.pdf
#
07.05.20132.02 Mб54П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 2.pdf