П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 2

111

rr

(здесь p è q - волновые векторы) и, после умножения уравнения на e− ikr , интегрируем его по dr . В результате получаем

П ользуясь уравнением неразрывности, которое в пространстве Ф урье имеетвид

исклю чим из уравнения давление. Для этого умножим уравнение на k j и послепростых преобразований получим

Структура нелинейного слагаемого в (7.6) такова, что во взаимодействиях

взаимодействую т три волны, волновые векторы которых образуют треугольник.

Рассмотрим выборку волновых чисел, таких, что | kn |= k0 2n и выберем

изсуммы (7.6) только слагаемые, описываю щ ие взаимодействия соответствую щ их мод. Н абор возможных комбинаций на таком наборе векторов ограничен, так как из них можно построить только равнобедренные треугольники, в которых основание меньш е или равно боковым сторонам (возможен, конечно, и равносторонний треугольник, но он соответствует взаимодействиям внутри данной октавы волновых чисел, которые в рамках данных моделей не рассматриваю тся), и предельный случай, когда две боковые стороны вдвое меньш е основания, и треугольник вырождается в прямую . Это значит, что если мы примем за каскадные переменныесоот-

r

ветствую щ ие гармоники Ф урье (U n = v( kn ) ), то в матрице Tnml уравнения (7.2) останутся только диагональные члены Tnmm è Tmnm ( m = n − 1, n + 1, n + 2,......).

В простейш ем случае можно ограничиться рассмотрением лиш ь локальных взаимодействий, то есть взаимодействиями ближайш их соседей в цепочке. Тогда одна извозможных форм модельных уравнений есть

113

и изсравнения (7.12) с(7.10) следует, что

П ростейш ееобобщ ение модели (7.7) состоит в добавлении дополнительной пары членов

В уравнениях появляетсяещ е один параметр C , который, однако, не позволяет поставить второе условие сохранения, так как две нелинейных пары слагаемых подобны.

7.3.М одель GOY

Êмоделям вида (7.2) можно прийти различными путями. Болееформализованый путь основан на введенном А.М .Обуховым понятии системы гидродинамического типа (СГТ).

Системой гидродинамического типа называется динамическая система, удовлетворяю щ ая четырем условиям:

1) в бездиссипативном пределесистемасохраняетфазовый объем;

2) система имеет не менее одного квадратичного интеграла движения;

3) уравнения содержат квадратичную нелинейность;

4) при рассмотрении длинных цепочек уравнений, последние ограни- чиваются локальными взаимодейстиями, то есть взаимодействуют только ближайш ие соседи.

П ростейш ая СГТ представляет собой триплет. Собирая цепочку из отдельных триплетов, можно прийти к системам вида (7.2).

Удается построить системы гидродинамического типа, обладаю щ ие

несколькими интегралами движения. СГТ с двумя интегралами движения была построена в работе17, а на ееоснове позже была построена каскадная модель двумерной турбулентности вида18

17Гледзер Е.Б. Система динамического типа, допускаю щ ая два квадратичных интеграла движения // Доклады Академии Н аукCCCР, 1973. Ò.209. N.5.

18Гдедзер Е.Б., М акаров А.Л. О построении каскадной модели двумерной турбулентности // И звестия А Н

СССР, Ф изика атмосферы и океана, 1979. Ò.9. N.7.Ñ.899-906.

114

В модели типа (7.15) в каждом взаимодействии участвуют три соседних члена цепочки переменных Un . Это означает, что матрица Tnml íå ñî-

держит диагональных элементов - это не случайно, так как диагональные члены не могут одновременно обеспечить сохранение двух квадратичных величин.

Условие сохранения энергии дает уравнение

+ kn+ 1 (aUn− 1UnUn+ 1 + bUnUn+ 1Un+ 2 + cUn+ 1Un+ 2Un+ 3 ) +

+.............. = 0,

которое выполняется, если равна нулю сумма коэффициентов при одинаковых комбинациях переменных (в уравнении соответствую щ ая тройка членов выделена подчеркиванием). Тогда условие сохранения энергии есть

Уравнение (7.15) имеет два стационарных реш ения вида (7.10). П одставляя (7.10) в (7.15) и обозначая 23α = x , получаем квадратноеуравнение, корни которого ( x1 = 1/ 2 , x2 = 1/ 8 ) äàþ ò α1 = − 1/ 3 , α 2 = − 1. Эти реш ения соответствуют двум спектральным законам, предсказываемым для двумерной турбулентности соображениями размерности.

Упомянем и третий путь получения каскадных моделей, который основан на редукции иерархической модели. И дея этого подхода состоит во введении одной амплитудной характеристики для всех функций выделенного яруса (масш таба) и вычисленияэлементов матрицы нелинейных взаимодействий на основе оценки среднего результата взаимодействия трех вихрей соответствую щ их масш табов при их различном взаимном положении. П реимущ ество такого подхода состоит в том, что нетребуется искусственно ограничиватьсярассмотрением только локальных взаимодействий.

117

суясь обычной трехмерной турбулентностью , авторы выбрали для этого параметра значение ε = 1/ 2 . Ï ðè ε = 5 / 4 уравнения (7.22) совпадаютсмоделью Гледзера (7.15). Эта модель известна под именем GOY (Gledzer- Ohkitani-Yamada) и является на сегодня наиболее исследуемой каскадной моделью турбулентности.

Свойства этой модели обсудим болееподробно. Рассмотрим квадратичную величину

W = å z n | U n |2

n

и запиш ем условие ее сохранения

П ри выбранном разбиении (kn = 2n ) условие выполняется, если справедливо уравнение

1 − εz + (ε − 1)z 2 = 0 ,

имею щ еедва корня

П ервый корень не зависит от параметра ε и соответствует сохранению энергии (W1 = E = å | U n |2 ). Второй корень соответствует квадратичной вели-

÷èíåW2 = å (ε - 1)− n | U n |2 , которая имеет различный смысл при ε > 1 è ε < 1. Â

первом случае квадратичная величина является положительно определенной и можетбыть переписана в виде

Величина (7.23) может рассматриваться как обобщ енная энстрофия (она совпадаетсобычной энстрофией при ε = 5 / 4 ). Во втором случае, когда ε < 1, сохраняетсявеличина

с показателем степени, также определяемым по формуле (7.24). Важно отметить, что сохраняется в этом случае знакопеременная величина. Ее называю т обобщ енной спиральностью , так как сохраняемыми знакопеременными квадратичными формами в гидродинамике являю тся именно спиральности (помимо упоминавш ейся в главе 4 гидродинамической спираль-

118

ности, в магнитной гидродинамике важную роль играю т магнитная спиральностьи перекрестная спиральность). П ри ε = 1/ 2 размерность этой величины совпадает с размерностью гидродинамической спиральности. Лю - бопытно отметить, что сам факт наличия этого интеграла в системе уравнений (7.22) был обнаружен значительно позже работы Охитани и Ямады, в которой именно это значение параметра было выбрано, по-видимому, случайно. Н ижемы увидим, что только при этом значении параметра ε и достигается то замечательноесовпадение статистических свойств модели и реальной турбулентности, которое привлекло ш ирокий интерес к каскадным моделям.

Система (7.22) имеет два стационарных реш ения вида U n = U 0 knα , çà-

висящ их от параметра ε . П одставляя (7.10) в (7.22) и обозначая 23α = x , легко получаем искомые реш ения

2= 1 log 2 ε − 1 . 3 2

Ïервое реш ение соответствует колмогоровскому спектру k − 5 / 3 и присутствует в системе при любом значении параметра. Численные исследования системы уравнений (7.22) показали, что при ε < ε1 = 0.384 колмогоров-

ское реш ение является устойчивым фокусом системы. П ри ε = ε1 имеет место бифуркация Хопфа, а при ε = ε2 = 0.395 происходит новая бифуркация, после которой в системевозникаетхаос.

Ещ е раз отметим, что точка ε = 1 являетсяособой точкой на оси зна- чений параметра. В этой точке меняется тип интеграла движения, а при приближении к ней интегралом движения становится величина (7.23) или (7.25) с показателем λ → ∞ . Это значит, что ни о каком каскаде в системе не может быть и речи. Заметим также, что в точке ε = 2 оба реш ения (7.26) совпадают, а единственным интегралом движения является энергия ((7.23) совпадает сэнергией).

120

личин ςq от номера яруса n (то есть от масш таба) для ш ирокого интервала q (вплоть до 25). Заметим, что ни эксперимент, ни прямое численное

определяет поток энергии, пронизываю щ ий весьинерционный интервал и, как следствие, определяет динамику последнего. В главе 5 мы уже останавливались на вопросео том, что реальной величиной, определяю щ ей динамику инерционного интервала, являетсяне скорость диссипации, а сам поток энергии, который к тому же не всегда постоянен вдоль инерционного интервала. В каскадной модели поток энергии, проходящ ей через масш таб n (точнее, энергия, передаваемая от всех ярусов с m < n ярусам с m ³ n ), åñòü

Если комплексные переменныезаписать в виде U n = ρn eiφn , то выражение(7.29) можно привести к виду

ãäå Q n = ρn- 1 ρn ρn+ 1 sin(φn- 1 + φn + φn+ 1 ) .