П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 2
.pdf
51
5.2. Лабораторныеэксперименты
Соверш енно особенное поведение двумерной турбулентности делает интересным детальное изучение ее свойств и заставляет задуматьсянад вопросом, сущ ествуетли турбулентность с такими свойствами. Н адеяться на сущ ествование чисто двумерного турбулентного потока при больш их числах Рейнольдса, по-видимому, не приходится. Однако, можно рассчитывать на сущ ествование «квазидвумерных потоков», обладаю щ их некоторыми чертами двумерной турбулентности.
Ïростейш ий фактор, приводящ ий к «двумеризации» турбулентного потока - это геометрия полости, в которой сущ ествует турбулентность. Точнееговоря, речь идето тонких слоях жидкости, в которых один размер области значительно меньш е двух других. Н ачиная с первых же работ по двумерной турбулентности, обсуждалась возможность обнаружения свойств двумерной турбулентности в крупномасш табных течениях океана и атмосферы. Действительно, толщ ина плотной атмосферы всего лиш ь 10 км,
âто время как характерный масш таб крупномасш табных вихрей (циклонов и антициклонов) составляет тысячи километров.
Геометрия - только один из возможных способов подавления движений вдоль одной из координат. К другим возможностям относятся устойчивая стратификация жидкости, сильное вращ ение, магнитные поля.
Ïервая попытка реализовать
двумерную турбулентность в лабо- |
|
|
раторных условиях была основана |
|
|
на идее подавления одной компо- |
|
|
ненты поля скорости магнитным |
|
|
полем. Опыты проводились в И н- |
|
|
ституте физики в Риге, где |
иссле- |
|
довалось турбулентное |
течение |
|
жидкого металла (ртути) за реш ет- |
Ðèñ.5.4 |
|
кой при вклю чении сильного попе- |
|
|
речного магнитного поля. Удалось показать, что движения вдоль поля действительно менее интенсивны, чем в
двух других направлениях, но измеренные спектры с трудом поддавались даже качественной интерпретации.
Следую щ ий эксперимент по двумерной турбулентности был проведен И .Кудером, который изучал движения жидкости в мыльных пленках. В
52
этих опытах удалось показать наличие обратного каскада энергии (точнее говоря, был зафиксирован ростсреднего размера вихря со временем).
Н аиболееудачным экспериментом по двумерной турбулентности остаетсяработа Соммериа7, которую мы рассмотрим болееподробно. В этой работеисследовался обратный каскад энергии в плоском течении в тонком слое ртути, возбуждаемом электромагнитными силами на малых масш табах. Схема эксперимента показана на рис.5.4. Н а плоскую горизонтальную кю вету размерами 120х120х22мм, заполненную ртутью , накладывалось
|
вертикальное магнитное поле, достигав- |
|
|
ш ее величины 1 Тл. Такое сильное маг- |
|
|
нитное поле практически подавляетверти- |
|
|
кальные движения и приводит к формиро- |
|
|
ванию горизонтального течения с верти- |
|
|
кальным профилем, описываемым извест- |
|
|
ным реш ением Гартмана. Гартмановский |
|
|
профиль характеризуется наличием ядра с |
|
|
однородным распределением скорости и |
|
|
узким пограничным слоем, толщ ина кото- |
|
|
рого тем меньш е, чем сильнее наложенное |
|
Ðèñ.5.5 |
||
магнитное поле. П редполагаемый про- |
||
|
филь скорости также изображен на рис.5.4. |
|
|
||
Для описания плоских течений в тонких слоях жидкости сущ ествует |
||
простой, но эффективный способ, состоящ ий в том, что поле скорости v = (vx , vy ,0) представляется в виде
v(x, y, z) = v(x, y) f (z) , |
(5.18) |
где функция f (z) описывает структуру профиля поперек слоя ( в наш ем случае это реш ение Гартмана). Выражение (5.18) подставляется в трехмерные уравнения движения, которые интегрируютсязатем поперек слоя
rh |
rr |
rh |
2 |
(z)d z = - ρ |
− 1 r h |
|
|
|
rh |
rh |
′ |
||
¶t v òf (z)d z + |
(vÑ )v òf |
|
|
Ñ òpdz + νD |
v òf (z)d z + νv òf |
(z)d z . |
|||||||
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
||
Оператор Лапласа представлен в виде D = D |
+ ¶zz , ãäå |
= ∂xx + ∂yy . П олуча- |
|||||||||||
етсядвумерное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
r |
|
r |
r |
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
¶ v |
+ α (v |
Ñ )v = - ρ − 1Ñ |
p |
+ νD |
|
v - |
μv , |
|
(5.19) |
|||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в котором коэффициенты α è μ зависят от конкретного профиля течения в слое. Уравнение (5.19) называю т часто уравнением с линейным трением.
7 Sommeria J. Experimental study of the two-dimensional inverse energy cascade in a square box // J.Fluid Mechanics. 1986. Vol.170. P.139-168.
53
Линейное трение, в отличие от обычной вязкости, одинаково эффективно на всех масш табах (физически это трение в вязком погранслое) и осущ ествляет отвод энергии из течения на энергосодержащ их масш табах kE . Это приводит к тому, что этот масш таб перестает зависеть от времени. Учитывая, что коэффициент линейного трения μ имеет размерность обратной секунды, легко получить оценку
kE = kE ( ε,μ ) ~ |
μ 3 |
. |
(5.20) |
|
|||
|
ε |
|
|
Возбуждение течения в опытах производилось с помощ ью электромагнитных сил. В дно кюветы были встроены 36 точечных электродов, к которым подводилосьпостоянное напряжение (полярность чередовалась в ш ахматном порядке). Растекаю щ иеся в слое электрические токи взаимодействовали с вертикальным магнитным полем и приводили к формированию 36 планарных вихрей, закрученных также в ш ахматном порядке. Варьируя значения приложенного магнитного поля и силы тока, можно было менять интенсивность движения и величину линейного трения.
В опытах исследовались турбулентные режимы, в которых удалось наблю дать формирование обратного каскада энергии со спектром «-5/3»и показать справедливость оценки (5.20). Н а рис.5.5 приведен экспериментальный спектр пульсаций скорости, полученный в этой работе, и отмечен ожидаемый наклон спектра. Очевидно, что диапазон масш табов, в котором можно ожидать формирования инерционного интервала, достаточно мал и результат носит скорее качественный характер, но именно эта работа убедительно доказала возможность сущ ествования (и наблю дения) обратного каскада энергии в квазидвумерныхтурбулентных потоках.
5.3.Численные исследования
Ìы уже упоминали о том, что основным объектом численных исследований однородной турбулентности являются двумерные течения. Справедливо и обратное утверждение: основные результаты по двумерной турбулентности получены численными методами. М ы кратко остановимся на
методах реш ения уравнений и перечислим основные результаты. В следую щ ем параграфе мы отдельно обсудим результаты применения к двумерной турбулентности модели, описанной в параграфе4.5.3.
П ри численных реш ениях уравнения движения рассматриваю тся, как правило, в переменных функция тока - завихренность (вывод этих уравнений можно найти, например, в параграфе1.5 части 1)
∂tω + {ψ ,ω = ν ω + f + D , |
(5.21) |
ω = ψ , |
(5.22) |
54
ãäå ψ - функция тока, ω -завихренность. Уравнения дополнены двумя членами: f - это функция, описываю щ ая силы, возбуждаю щ ие течение, D - функция, описываю щ ая дополнительную диссипацию энергии. Введение внеш них сил необходимо для получения стационарной турбулентности. Дополнительная диссипативная функция также неизбежна для получения стационарной картины, так как в двумерной турбулентности происходит накопление энергии на крупных масш табах, и требуется обеспечить ее отвод именно избольш их масш табов.
Реш ение проводится практически всегда для квадратной области с периодическими граничными условиями. В качестве методов реш ения в ранних работах использовали либо сеточные, либо спектральные методы, но после появления алгоритмов быстрого преобразования Ф урье (БП Ф ) практически во всех вычислениях использую тспектрально-сеточный метод Орсзага. Суть методасостоит в следую щ ем: 1) на каждом ш агепо времени сначала реш ается уравнение (5.21) методом сеток и получаю т поле завихренности, 2) используя БП Ф , получаю т фурье-разложение поля завихренности, 3) в пространствеФ урье реш аю т уравнение (5.22) (мы ужеговорили о том, что реш ение уравнения П уассона в пространстве Ф урьетривиально, так как сводитсяк делению амплитуды каждой гармоники на квадрат волнового числа), 4) вновь используют БП Ф для получения поля функции тока в физическом пространстве. М етод использует лучш ие свойства и сеточ- ных, и спектральных методов и дает значительный выигрыш в скорости вычислений.
Все численныеэксперименты можно разделить на две группы. П ервая группа - это эксперименты по свободному вырождению турбулентности, вторая - по стационарно возбуждаемой турбулентности. Свободное вырождение подразумевает отсутствие внеш них сил. В этом случае в (5.20)
f= D = 0 и реш ение зависит только от начальных условий.
Ñточки зрения динамики инерционных интервалов (5.14) и (5.15) более интересны эксперименты по моделированию стационарной турбулентности. Для получения стационарных режимов необходимо обеспечить подвод энергии. В двумерной турбулентности интересны динамические процессы по обестороны от масш табов возбуждения, поэтому сила f записы-
ваетсявпространстве Ф урьетаким образом, что она поддерживаетна заданном уровне энергию гармоник с заданным модулем волнового числа
| k |= kI .
Особого разговора заслуживает диссипативный член D . Во-первых, он должен обеспечить отвод энергии из течения на больш их масш табах (малых волновых числах). Во-вторых, для получения более выраженного инерционного интервала переноса энстрофии часто модифицируют и характер трения в малых масш табах (больш их волновых числах). П ри написании обычного диссипативного слагаемого в фурье-представлении полу-
55
÷àåì ÷ëåí âèäà D(k) ~ νk 2 . В численных экспериментах искусственным образом повышаютстепень волнового числа и записывают диссипацию в виде
D(k) = − μk − n − νk m |
(5.23) |
с типичным значением показателей степени n = m = 8 . Диссипативный член вида (5.23) приводит к тому, что действие диссипации концентрируется в узких интервалах вблизи граничныхзначений рассматриваемых волновых чисел.
Численные реш ения уравнений (5.21)-(5.22) для больш их чисел Рейнольдса принесли много неожиданных результатов. Больш ой неожиданностью стал очень крутой спектр в инерционном интервале переноса энстрофии. Вместо закона (5.15) с наклоном «-3» численные эксперименты дали значения от -3.5 до -5. Н апомним, что в трехмерной турбулентности перемежаемость дает поправки к закону «-5/3»порядка нескольких сотых, а в двумерной расхождение составило единицы!
Рассмотрим три численных эксперимента, которые будем называть А, В и С, взятые из работы 8. Эксперимент А моделирует прямой каскад энстрофии. И спользуется сетка 1024х1024, случайная сила действует на волновых числах kI = 10 , диссипативный член используетсявформе(5.23). Экспе-
римент В моделирует обратный каскад энергии. Сетка также1024х1024, но сила действует на малых масш табах ( kI = 256 ). В третьем численном экспе-
рименте (С) делается попытка одновременно получить оба инерционных интервала. И спользована сетка 1728х1728 и возбуждение на промежуточ- ных масш табах ( kI = 40 ). Н а рисунках 5.6-5.8 показаны спектры энергии для всех трех случаев.
8 Babiano A., Frick P., Dubrulle B. Scaling properties of numerical two-dimensional turbulence // Physical Review E, 1995. Vol.52. N.4. P.3719-3729.
56
Ðèñ.5.6 Ðèñ.5.7
Ðèñ.5.7
Ðèñ.5.8 Ðèñ.5.10
Н а рис.5.9 показан график зависимости потока энстрофии по спектру, полученный в эксперименте А. Видно, что в крупных масш табах (малых k ) поток энстрофии практически отсутствует, а в малых масш табах выделяется интервал с постоянным значением величины, переносимой по
57
Ðèñ.5.11 |
Ðèñ.5.12 |
|
|
спектру энстрофии. Н а следую щ ем рисунке (рис.5.10) показан спектральный поток энергии, соответствую щ ий численному эксперименту В. В этом случае виден участок с постоянным отрицательным потоком, являю щ имся признаком инерционного интервала переноса энергии к крупным масш табам (обратный каскад). И менно наличие интервалов с постоянным потоком и являетсяопределяю щ им признаком наличия инерционного интервала (соответствую щ ая квадратичная величина переносится от масш таба к масш табу бездиссипации).
Н а рис.5.11 показан пример поля завихренности, полученный при моделировании инерционного интервала переноса энстрофии (этот и два последую щ их рисунка взяты из работы 9). Н а рисунке показаны линии равной завихренности. Темные пятна указываю т на области с высокой завихренностью , характеризуемые больш ой плотностью изолиний. Эти области имею т близкие размеры и получили название«когерентных структур», хотя это название нельзя признать удачным. П равильнее говорить об изолированных вихрях, которые, как будетвидно из дальнейш его изложения, слабо взаимодействую т с окружаю щ им их турбулентным потоком. И менно эти изолированные вихри и являются причиной возникновения столь крутых спектров. В цитируемой работе был проведен интересный эксперимент. И золированные вихри разруш ались искусственно таким образом, что при этом не изменялось распределение энергии по спектру (это делается путем внесения случайных сдвигов фаз в фурьекомпоненты). В результате спектральное распределение энергии возвращ алось к виду (5.15).
9 Babiano A., Basdevant C., Legras B., Sadourny R. Vorticity and passive-scalar dynamics in two-dimensional turbulence // J. Fluid Mechanics. 1987. Vol.183. P.379-397.
58
М ы ужеговорили о том, что уравнение для завихренности (5.11) совпадаетпо виду с уравнением для переноса пассивной скалярной примеси. В качестве пассивной примеси может выступать, например, температура, уравнение для которой имеет вид
∂t T + {ψ ,T = χ T , |
(5.24) |
ãäå χ - температуропроводностьжидкости. В инерционном интервале переносаэнстрофии, гдеспектральная плотностьэнергии следует закону (5.15), спектр энстрофии согласно соотнош ению (5.8) подчиняетсязакону
Ω (k) ~ k − 1 . |
(5.25) |
Соображения размерности очевидным образом приводят к такой же формезависимости и дляспектральной плотности пульсаций температуры.
Однако, аналогия между уравнениями (5.11) и (5.24) не работает. Н а рис.5.12 показано поле концентраций пассивной примеси (температуры), полученной в том же численном эксперименте, что и поле завихренности, показанное на предыдущ ем рисунке. Сущ ественное отличие состоит в том, что в поле пассивной примеси нет столь выраженных изолированных структур. След от каждого изолированного вихря можно ясно увидеть и в поле пассивной примеси, и это кажется естественным, но при этом не наблю дается интенсивный рост концентрации к центру вихря, как это имеет место в случае завихренности. Н а рис.5.13 показаны спектры пульсаций завихренности и концентрации пассивной примеси, соответствую щ ие показанным полям. М ожно видеть, что спектр пассивной примеси соответствует закону (5.25), в то время как спектр завихренности (энстрофии) после сравнительно короткого участка, близкого к наклону «-1», дает крутой спад с законом, близким к «-3»(это закон «-5» для спектра энергии).
|
Различие в спектральном поведении |
|
|
завихренности и пассивной примеси обу- |
|
|
словлено тем, что при всем сходстве |
|
|
уравнений (5.11) и (5.24) между ними су- |
|
|
щ ествует принципиальное отличие. Со- |
|
|
стоит оно в том, что в уравнении (5.24) |
|
|
функция тока (поле скорости) действи- |
|
|
тельно не зависит от поля температуры |
|
|
(примесь пассивна), а в уравнении (5.11) |
|
|
функция тока и завихренность однознач- |
|
|
но связаны уравнением (5.12). |
|
|
Спектр энергии, полученный в экс- |
|
|
перименте С (см. рис.5.8) показывает об- |
|
|
щ ую структуру спектра двумерной турбу- |
|
Ðèñ.5.13 |
лентности при наличии ш ирокого интер- |
|
вала масш табов и возбуждении на про- |
||
|
59
межуточных масш табах. Влево от масш таба возбуждения формируется инерционный интервал переноса энергии и спектр близок закону «-5/3» (5.14). Справа от масш таба возбуждения присутствует достаточно ш ирокая область ( kI < k < kKS ), в которой нет выраженного степенного закона. Эта
область масш табов соответствует тем самым изолированным вихрям (когерентным структурам), о которых ш ла речь выше. Далее( kKS < k < kD ) виден
инерционный интервал переноса энстрофии, наклон спектра в котором в этом численном эксперименте близок к «-4».
5.4. П еремежаемость в двумерной турбулентности
М ы видели, что в двумерной турбулентности, как и в трехмерной, получаемые спектральные распределения отличаю тся от законов, предсказываемых из соображений размерности. Локальная структура оказывается значительно сложней, чем предполагает гипотеза о статистиче- ской однородности турбулентности. В этом параграфе мы попытаемся дать количественные характеристики перемежаемости в двумерной турбулентности на основе модели Ш е- Левека - Дюбрю ль и сравнить полученные характеристики стеми, что были получены для трехмерной турбулентности. М ы будем использовать результаты тех же трех численных экспериментов (А, В, С), о которых ужеш ла речь выш е.
П риложение модели, описанной в параграфе 4.5.3, к двумерной турбулентности требует ряда дополнительных комментариев. П режде всего, нужно остановиться на вопросе о том, что понимать под величи- ной π l . Этот вопрос распадается, в
свою очередь, на два: какую из двух
квадратичных величин (энергии и эн- |
|
строфии) рассматривать и что кон- |
|
кретно и как измерять в численном |
Ðèñ.5.14 |
60
эксперименте?
М ы уже обсуждали вышевопрос о том, что вместо скорости диссипации энергии, которая традиционно присутствует во всех моделях турбулентности, следует рассматривать спектральный поток, который реально определяет динамику инерционного интервала. В двумерном случае речь можетидти о потокеэнергии, либо о потокеэнстрофии. Численные опыты показывают, что использовать можно и ту и другую величину, причем независимо от того, рассматривается ли интервал переноса энергии или энстрофии. Статистически более устойчивые результаты получаются при вы- числении потоков энстрофии. И так, определим в качестве характеристики спектрального потока на масш табе l величину
ηl = l − 2 |
r |
Ñ )ω | dS = l − 2 òω 2 vn dl , |
(5.26) |
ò| ω (v |
|||
|
S |
L |
|
равную потоку завихренности через границу области (квадрата) со стороной l . Далее, следуя модели Ш ЛБ (см. п.4.5.3), введем величину
π l |
= |
|
η |
l |
, |
ηl ∞ |
= lim |
< η q+ 1 |
> |
. (5.27) |
|
|
l |
|
|||||||
|
|
|
|
> |
||||||
|
|
ηl |
∞ |
|
|
q→ ∞ < ηl q |
|
|||
Требуется доказать справедливость гипотез и предположений, лежащ их в основе модели. М одель Ш ЛБ вклю чает в себя идею расш и- ренной автомодельности (ESS). Для начала необходимо убедиться в том, что она работает в двумерной турбулентности. Н а рис.5.14,а показаны структурные функции поля скорости четных порядков ( q = 2,3,4,6,8,10,12. ) и третьего порядка, вычисленные в эксперименте В и представленные в двойных логарифмических координатах как функции масш таба. Н а рис.5.14,б эти же структурные функции представлены с использованием идеи расш иренной автомодельности, то есть по оси абсцисс отложена структурная функция третьего порядка. М ожно видеть, что линии на гра-
фике выпрямляю тся, но особенно на-
Ðèñ.5.15