П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 2

31

модель дала линейную поправку, которая удовлетворяетусловию ς3 = 1 , но наруш ает требованиеς0 = 0 .

4.5.2. Бифрактальная модель

В основе β -модели лежит представление о турбулентном полескоростей, как об однородном фрактале, характеризуемом единственным параметром. Даваемый этой моделью результат представляется разумным для больш их q , где линейная зависимость ς(q) хорош о согласуется с известными экспериментальными данными, однако вступает в явные противоречия и с экспериментальными данными, и стеоретическими соображениями при

q → 0 .

Среди попыток усоверш енствования β -модели можно выделить две. П ервая - это так называемая случайная β -модель. Если в стандартной β -модели области делятся на активные и пассивные, то есть вероятность того, что турбулентность в данной точке сущ е- ствует, равна либо нулю, либо единице, то в случайной β -модели

вероятность сущ ествования турбулентности при очередном дроблении на болееактивную и менее активную части.

Остановимсяболееподробно на второй модификации β -модели, получивш ей название бифрактальной модели. И дея этой модели состоит в том, что предполагается сосущ ествование двух фрактальных подмножеств с различными законами скейлинга вида (4.65) и соответствую щ ими размерностями D1 è D2 . Для пульсаций скорости на масш табе n получаем оценку

δvn ~ μ1ln α1 P1 + μ2 ln α 2 P2 ,

32

ãäå μi - некоторые числовыемножители, а вероятности появления элементов подмножеств определяютсяточно так же, как в предыдущ ем параграфе

вклад в выражении (4.68) даетслагаемоеснаименьш им показателем степени. И зэтого следует, что

В качестве примера рассмотрим случай, когда одно из двух подмножеств представляет собой однородное колмогоровское поле ( D1 = 3,α1 = 1/ 3 ),

П олученный результат иллю стрирует рис.4.8, на котором показаны реш ения, соответствую щ ие К41, β -модели и их комбинации (4.70), к которой приводит бифрактальная модель.

4.5.3. М ультифрактальная модель

Естественным обобщ ением описанной выше бифрактальной модели являетсямультифрактальная модель, которая основана на предположении, что в турбулентности сущ ествует непрерывная последовательность подмножеств, каждое из которых характеризуется своим показателем α . Зна- чения α лежат в интервалеα min <α <α max .

Структурные функции получают вклад от всех подмножеств и определяю тсяинтегралами

35

Таким образом, алгоритм вычисления мультифрактального спектра состоит в следую щ ем. И мея измерения ξi , по формуле (4.75) вычисляю т

размерность D(q) для различных значений q (как положительных, так и

отрицательных). Затем по формуле (4.78) определяю т значения ~(q) , îáåñ-

α

печиваю щ ие минимум (4.72) для данного q . П осле этого по формуле(4.77) вычисляю тспектр f (α ) .

Типичный вид функций D(q) è f (α ) показан на рис.4.9. Ф ункция D(q) пересекает ось ординат в точке, даю щ ей размерность пространства (три, если речь идетоб обычном трехмерном потоке, либо два, если исследуется двумерная картина). Н а графике f (α ) точка максимума соответствует моменту нулевого порядка ( f (α ) = q = 0 ). Абсцисса этой точки, обозначенная на рисунке как α 0 , даетсреднее значение показателя скейлинга α . Н аиболее вероятное значение величины α дает точка α1 , определяю щ ая точку кривой, в которой q = f = 1.

4.6.Логпуассоновские модели

Âэтом разделе мы рассмотрим модели последнего поколения, воз-

никш ие в середине 90-хгодов. П ервой описана модель, предложенная Ш е и Левеком в 1994 году 4. Основанная на трехгипотезах, из которых две казались не очень убедительными, модель дала простую формулу для зависимости ςq . П о счастливомустечению обстоятельств, в это жевремягруппой

итальянских и французских исследователей экспериментально был обнаружен любопытный факт, получивш ий названиерасш иренной автомодельности, который позволил сущ ественно повысить точность экспериментального определения показателей ςq для структурных функций высоких по-

рядков. Н овыеэкспериментальные результаты удивительно хорош о совпали с формулой Ш е - Левека. Сущ ественное обобщ ение этой модели было сделано Б.Дюбрюль5, которая вклю чила в модель и идею расш иренной автомодельности. Расш иренной автомодельности посвящ ен второй параграф раздела. М одель Дюбрю ль описана в последнем параграфеэтого раздела.

4She Z.S., Leveque E. Universal scaling laws in fully developed turbulence // Physical Review Letters, 1994. Vol.72. P.336-339.

5Dubrulle B. Intermittency in fully developed turbulence: log-Poisson statistics and generalized scale covariance // Physical Review Letters, 1994. Vol.73. P.959-962.

36

4.6.1.М одель Ш е- Левека

Ìодель Ш е- Левека держится на трех гипотезах. П ервая - это гипотезаподобия, введенная Колмогоровым в модели К62

стических моментов поля диссипации энергии.

М одель содержит в себе и идею мультифрактальности развитой турбулентности. Н апомним, что основной (качественный) вывод измультифрактального подхода к проблемемелкомасш табной турбулентности состоит в том, что в потокесосущ ествую т области с различными законами скейлинга и что для моментов (структурных функций) различного порядка определяю щ ую роль играют области с различным скейлингом. В рассматриваемой модели считается, что диссипация энергии εl характеризуется «ие-

рархией флуктуирую щ их структур» εl (q) , которые определяю тся как отно- ш ение последую щ их моментов поля диссипации

стороны, членом εl (0) , который соответствует среднему значению скорости диссипации (εl (0) = ε ), и членом

с другой стороны. Относительныемоменты (4.79) удобны тем, что всеони имею т размерность скорости диссипации. П оле диссипации крайне неоднородно и формируетсяструктурами с различными скейлинговыми свойствами. Чем больш е номер относительного момента q , тем более неоднородные структуры он описывает. Считается, что предел последовательности (4.80) сущ ествует и определяется видом предельных диссипативных структур, в которых скоростьдиссипации достигает экстремально больш их значений. И сходя изэкспериментальных наблю дений последних лет, авто-

37

ры модели предположили, что эти предельныеструктуры имею т вид вихревых нитей с размерностью D = 1 .

Две оставш иеся гипотезы касаются свойств относительных моментов

пожалуй, самым сильным предположением, сделанным при построении модели. Ясно, что любая гипотеза относительно связи статистических моментов различных порядков есть, по сути, гипотеза относительно функции распределения случайной величины, моменты которой рассматриваются. Забегая вперед, скажем, что гипотеза (4.81) подразумевает логпуассоновскую функцию распределения (этот факт был обнаружен позже, независимо Ч.-З.Ш е и Б.Дюбрюль).

Ф изическая мотивировка (4.82) состоит в следую щ ем. Как указывалось выше, величина εl (∞ ) зависит от предельных диссипативных структур и

имеет размерность скорости диссипации энергии. Следовательно, из размерных соображений

ε (∞ ) ~ δE ∞ ,

l

tl

ãäå δE ∞ есть плотность энергии, доступной диссипации в тех нитевидных структурах, о которых идет речь. Считается, что в этих диссипативных структурах имеет место квазиразрыв, то есть независимо от масш таба δvl ≈ δv0 и энергия не зависит от масш таба l . М асш таб времени принимает-

сяколмогоровским ( tl ~ ε − 1 / 3l 2 / 3 ), что приводит к оценке

ε (∞ ) ~ 1 ~ l − 2 / 3 .

l

tl

Н а основе введенных гипотезможно получить выражение для структурных функций поля диссипации, азатем и поля скорости. И зтретьей гипотезы (4.82) следует, что при q → ∞

38

П ользуясь представлениями о фрактальной структуре с размерностью D можно записать (по-прежнему для больш их q )

< εl q > ~ l − 2q / 3l 3− D ,

откуда следует, что константа C имеет смысл коразмерности, а поскольку сделано предположение о том, что структуры есть нити, то их коразмерностьравна двум. Таким образом, C = 2 .

Для произвольных значений q к выражению (4.83) следует добавить функцию, вид которой определяется с помощ ью второй гипотезы. И так,

α = - C = - 2 ,

извторого -

а пользуясь первой гипотезой - гипотезой подобия К62 (4.52), получаем искомую формулу для показателей степени структурных функций поля скорости

4.6.2. Расш иренная автомодельность

Расш иренная автомодельность (в оригинале - Extended Self Similarity, давш ая уже устоявш ую ся аббревиатуру ESS, которой мы также будем пользоваться) - это экспериментально установленный факт, не наш едш ий ещ е достаточного теоретического осмысления.

П ервые результаты были получены при измерениях свойств мелкомасш табной турбулентности в аэродинамической трубе и опубликованы в