П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 2

132

Ï ðè Bn ≡ 0 система (7.54)-(7.55) совпадает с моделью GOY (7.22). В общ ем случае модель содержит дополнительный параметр εm . Отметим, что энергия и перекрестная спиральность, выражаемые в модели в виде

сохраняются системой при любом значении параметра εm . Требование сохранения величины

служащ ей аналогом магнитной спиральности (7.53), приводит к однознач- ному определению обоих параметров: ε = 1/ 2 , εm = 1/ 3 . Отметим, что пара-

ìåòð ε совпадаетпри этом со значением, получаемым в модели трехмерной турбулентности из требования сохранения гидродинамической спиральности. Это означает, что в приближении слабых магнитных полей система (7.54)-(7.55) вновь сохраняетгидродинамическую спиральность.

Для моделирования двумерной М ГД-турбулентности нужно потребовать сохранения величины

(квадрата векторного потенциала), что приводит к следую щ им значениям параметров: ε = 5 / 4 , εm = - 1/ 3 .

М ы приведем только некоторые результаты, касаю щ иеся моделирования поведения свободно вырождаю щ ейся М ГД-турбулентности, хотя каскадная модель, о которой идет речь, дала новые результаты и при исследовании поведения стационарно возбуждаемой М ГД-турбулентности. Свободное вырождение подразумевает равенство нулю сил f n è g n â óðàâ-

нениях (7.54)-(7.55) и реш ение задачи с заданными начальными условиями. В качестве начальных условий рассматривается распределение энергии по спектру, соответствую щ ее спектральным законам вида EV ~ EB ~ k − 2 (äëÿ

âñåõ n ³ 0 ), уровень магнитной энергии сущ ественно нижесоответствую щ е- го уровня кинетической энергии ( EV »1, EB » 0,0001 ). Число Рейнольдса

Re = 107 , магнитное число П рандтля Prm = 10− 3 .

Н а рис.7.13 показан характер эволю ции кинетической (пунктирная линия) и магнитной (тонкая сплош ная линия) энергии в трехмерной М ГДтурбулентности (уравнения реш аю тся для случая : ε = 1/ 2 , εm = 1/ 3 ). Видно,

что за короткое время (безразмерное время, определенное по характерному времени оборота макроскопического вихря L /U , порядка единицы) магнитная энергия достигает уровня порядка 1/10 от уровня кинетической

133

энергии. Затем наступает относительно долгий промежуточный этап (порядка двадцати безразмерных единиц времени), в течение которого магнитная энергия остается на том жеуровне. П осле этого происходит новый ростмагнитного поля и его энергия становится сравнимой с кинетической энергией, оставаясь все же меньш е ее. Одновременно происходит медленноеснижение общ его уровня энергии, обусловленное вязкими и омическими потерями.

Н а том же рис.7.13 толстой сплош ной линией показана эволю ция магнитной энергии в так называемом кинематическом приближении. Кинематическое приближение предполагает рассмотрение уравнения индукции магнитного поля для заданного распределения поля скорости, то есть пренебрежение обратным действием магнитного поля на полескорости. В наш ем случае это приближение соответствует отбрасыванию членов с переменными Bn из уравнения (7.54). Соответствую щ ая кривая эволю ции

магнитной энергии дает неограниченный рост(система уравнений не удовлетворяетболеезаконам сохранения), хотя нарастаниеэнергии и не происходит монотонным образом, а вклю чаети отдельные интервалы, в течение которых энергия поля падает.

Такое поведение соответствует качественным представлениям о поведении магнитного поля в турбулентной проводящ ей среде. В то же время, известные попытки прямого численного моделирования М ГДтурбулентности, вопреки ожиданиям, дают рост магнитного поля только до уровня, в несколько разменьш его уровня кинетической энергии потока. П риведенный результат реш ения каскадных уравнений дает возможную интерпретацию этого факта. Дело в том, что самые продолжительные численные реш ения полных уравнений не выходят за временной интервал

( t ≈ 10 ). В свете полученных результатов это означает, что система неуспевает выйти за рамки промежуточного этапа эволюции.

Н а рис.7.14 показаны результаты моделирования поведения вырождаю щ ейся двумерной турбулентности. П унктир по прежнему показывает уровень кинетической энергии, которая в двумерном потоке убываеткрай-

134

не медленно. Тонкая сплош ная линия описывает поведение магнитной энергии в полной нелинейной системе, а толстая линия - в кинематической постановке. Замечательно, что в этом случае и реш ения полной нелинейной системы, и реш ения в кинематической постановке даю т затуханиеэнергии магнитного поля со временем (выполняется теорема запрета Зельдовича, исклю чаю щ ая возможность устойчивого динамо в двумерном потоке). Характерное время затухания в обоих случаях одинаково, хотя эволю ция в нелинейном случае имеетзначительно болеегладкий характер.

В то же время характер свободной эволю ции двумерной М ГДтурбулентности сущ ественно отличается и от характера эволю ции двумерной гидродинамической турбулентности. Н апомним, что в двумерной турбулентности энстрофия, а вместе с ней и скорость диссипации энергии, со временем могут только убывать. П рисутствие магнитного поля наруш ает закон сохранения энстрофии. В процессе свободного вырождения энстрофия возрастает, а это приводит к росту скорости диссипации энергии. П ринципиальное отличие в поведении скорости диссипации энергии в вырождаю щ ейся двумерной гидродинамической и магнитогидродинамиче- ской турбулентности иллю стрирует рис.7.15 (сравните с рис.5.2, где показана эволю цияскорости диссипации энергии в двумерной турбулентности).

П омимо эволю ции интегральных характеристик, каскадные модели позволяют проследить и за изменением спектральных распределений энергии. Н а рис.7.16 показаны распределения кинетической (светлые точки) и магнитной (темные точки) энергии двумерной М ГД-турбулентности по

трехмерной М ГД-турбулентности показана на рис.7.17. В этом случае су- щ ествуетпротяженный интервал масш табов, в котором магнитная и кинетическая энергии близки по величине. М агнитная энергия затухает на более крупных масш табах, чем кинетическая - это естественный результат, так как магнитное число П рандтля мало (10− 3 ). Спектр кинетической энергии с хорош ей точностью следует закону «-5/3»( на рисунке этому закону соответствует прямая линия). Спектр магнитной энергии более крут (что-то порядка «-2»).

135

В заклю чение отметим, что принципиальные отличия в поведении двумерных и трехмерных М ГД-потоков принято объяснять топологиче- скими аргументами и тот факт, что простые каскадные модели, которые теряю т всякую информацию о пространственной структуре течений, воспроизводят эти различия, свидетельствует, с одной стороны, о чрезвычайно важной роли законов сохранения (только через них и сохраняется в модели память о размерности пространства) и, с другой стороны, о том, что возможности динамических систем в моделировании сложных нелинейных систем далеко не исчерпаны.

Список рекомендуемой литературы

1.Гледзер Е.Б., Должанский Ф ., Обухов А.М . Системы гидродинамиче- ского типа и их применение. М .: Н аука, 1981. 366 с.

2.Зимин В.Д., Ф рик П .Г. Турбулентная конвекция. М .: Н аука, 1988. 178 с.

136

8. ЗАКЛЮ ЧЕН И Е

Турбулентность, составивш ая предметнастоящ его курса, стольсложна и подходы к ее изучению столь разнообразны, что она не оставляет ш ансов на систематическое и, главное, полное изложение в рамках годового курса. Автор ставил перед собой более скромную цель, состоящ ую в том, чтобы оставить у слуш ателей цельное представление об этом разделе гидродинамики и дать представление о том ш ироком набореметодов и моделей, которые применяю тся в этой области. Удалось ли достичьэту цель - судить читателю . Любые критические замечания и советы будут восприняты автором с благодарностью .

137

138

Ф рик П етр Готлобович

ТУРБУЛЕН ТН О СТЬ: М ОДЕЛИ И П ОДХОДЫ

Курс лекций

Часть II

Редактор И .Н .Ж еганина Корректор В.А.Козьмина

Лицензия ЛР-020370 от 29.01.97

Редакционно-издательский отдел и ротапринт П ермского государственного технического университета

Адрес: 614600, П ермь, Комсомольский пр., 29а