П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 2

12

сутствие является признаком развитой турбулентности. П оскольку энергия вносится в поток на одном краю инерционного интервала, а выносится - на другом, то она очевидным образом должна быть перенесена вдоль всего интервала. Условие T (k) = 0 означает, что приток в данный масш таб из больш их масш табов в точности равен оттоку энергии из данного масш таба

âменьш ие.

Ïолезно рассмотреть величину

k

Ε(k) = òE(k ′)dk ′,

0

равную энергии, заклю ченной во всех масш табах, больш их данного ( k < k ). Соответствую щ ее уравнение получается интегрированием уравнения (4.17) от нуля до текущ его значения волнового числа и имеет вид

Если рассмотреть масш таб, принадлежащ ий инерционному интервалу, и считать течение стационарным, то

Π(k ) = Φ = const .

Π(k) есть поток энергии через текущ ий масш таб k . Этот поток равен сум-

марной энергии Φ , вносимой в поток заединицу времени на единицу массы. Этот поток равен и скорости диссипации энергии, то есть энергии, превращ аю щ ейся в тепло за единицу времени на единицу массы.

Таким образом, мы подош ли к клю чевому моменту теории мелкомасш табной турбулентности, состоящ ему в том, что процессы возбуждения течения, нелинейных взаимодействий вихрей и вязкой диссипации, сосущ е- ствую щ ие в физическом пространстве, строго разнесены в пространстве масш табов. П ервый ш аг в понимании проблемы сделал Л.Ричардсон, который выдвинул в 1922 году идею каскада энергии, то есть процесса передачи энергии по цепочке от больш их вихрей - меньш им. Строгую формулировку проблемы, давш ую количественные результаты, предложил А.Н .Колмогоров в серии работ 1941 года.

13

4.3. Теория Колмогорова 1941 года (К41)

4.3.1.Анализ размерностей

À.Н .Колмогоров в своей классической работе, положивш ей начало систематическому изучению мелкомасш табной турбулентности, сформулировал две гипотезы, касаю щ иеся статистических свойств однородной и изотропной турбулентности при больш их числах Рейнольдса.

1-ягипотеза Колмогорова. Статистическиесвойства в инерционном и диссипативном интервале( т.е. на масш табах l << L ) независят от способа возбуждения турбулентности и универсальным образом определяю тся тремя параметрами: скоростью диссипации энергии ε , кинематической вязкостью ν и самим масш табом l .

2-ÿ гипотеза Колмогорова. Статистические свойства турбулентности в инерционном интервалеуниверсальны и зависят только от скорости диссипации энергии ε è ìàñø òàáà l .

Эти гипотезы содержат ответ на вопрос, какие величины могут влиять на динамику инерционного интервала. Говоря о статистических свойствах, мы в первую очередь имеем в виду распределение энергии между движениями различного масш таба, хотя, конечно же, помним, что поле скорости - это полеслучайной величины и чтобы описатьего, нужно знать функцию распределения вероятности, либо, что то жесамое, совокупность всех статистических моментов этой величины.

Рассмотрим две точки, отстоящ ие друг от друга на расстоянии l (рис.4.3), и в качестве характеристики пульсаций скорости на масш табе l выберем разность проекций скорости в этих точках на направление, связываю щ ееэти точки

пульсации скорости (на связи продольных и поперечных пульсаций мы остановимсяниже). Статистическиемоменты этой величины

14

Очевидно, что структурные функции (4.19) и (4.20) четных порядков q идентичны и отличия появляю тся только в функциях нечетных порядков.

Вторая гипотеза Колмогорова утверждает, что в инерционном интервале структурные функции зависят только от масш таба и скорости диссипации энергии

S q (l) = f (ε, l) .

Далее делается самое сильное предположение, являю щ ееся по сути главной гипотезой теории К41. Оно состоит в том, что скорость диссипации энергии считается универсальной константой для заданного течения, то есть в лю бой момент времени и в любой точке пространства диссипация энергии за единицу времени на единицу массы равна ε . Величина ε определяется энергией, вводимой в поток на единицу массы, и характеризует поток энергии, прокачиваемой вдоль всего инерционного интервала до диссипативных масш табов.

П риняв сформулированные гипотезы, можно получить ряд важных результатов, пользуясь только соображениями размерности. Н апомним, что, говоря об энергии, мы все время имеем в виду энергию на единицу массы, то есть энергия измеряется в ì 2 ñ2 . Тогда размерность скорости диссипации энергии есть ì2 ñ3 , и для пульсаций скорости можно соста-

Эту зависимостьназывают законом Колмогорова - Обухова.

П опытка применить соображения размерности к структурным функциям произвольного порядка очевидным образом приводит к формуле

Соображения размерности позволяют получить и форму энергетического спектра пульсаций скорости (4.16). Размерность энергии имеет величина E(k)dk . Следовательно, размерность величины E(k ) åñòü ì3 ñ2 . П оскольку спектр энергии может зависеть только от величин ε è k , то единственно возможная комбинация есть

16

4.3.2.Корреляционныефункции

Ìетодом анализа размерностей удалось получить оценки (4.21)- (4.22), качественно описываю щ ие корреляции скорости в двух точках однородного и изотропного турбулентного течения, отстоящ их друг от друга

на расстояние l . П родолжая следовать работам Колмогорова 1941 года, покажем, что сущ ествует и точный результат, касаю щ ийся структурной функции третьего порядка.

Рассмотрим двухточечный корреляционный тензор второго ранга

рис.4.3). Считаем, по-прежнему, что турбулентность однородна и изотропна, а средняя скоростьравна нулю .

Введенный тензор в силу изотропии и однородности потока может зависеть только от модуля вектора l , соединяю щ его две точки. Введем единичный вектор n , направленный вдоль вектора l , и запиш ем общ ий вид симметричного тензора второго ранга, зависящ его от расстояния l ,

Чтобы придать физический смысл функциям A(l) èB(l) , направим

вектор l вдоль одной изосей координат (это возможно опять же благодаря изотропии). Компоненту скорости вдоль этой оси обозначим как vl , à ïåð-

пендикулярную компоненту - как vn . В таком представлении компонента Bll равна среднему квадрату относительной скорости частиц в двух точках в направлении друг к другу. Компонента Bnn равна среднему квадрату от-

носительной скорости частиц в перпендикулярном направлении и характеризует, таким образом, вращ ательное движение частиц относительно друг друга. П ри выбранном направлении отрезка единичный вектор n = (1,0,0) и согласно (4.28)

Раскроем произведение в определении (4.27)

17

Bik =< v2i v2k > - < v1i v2k > - < v1k v2i > + < v1i v1k >

и учтем, что в силу однородности потока одноточечные корреляции не зависятот положения точки

а в силу изотропии

< v1i v2k >=< v1k v2i >

(при перестановке точек местами результат не меняется). Тогда

ãäå bik =< v1i v2k > есть вспомогательный, симметричный тензор, компоненты

которого стремятся к нулю при l ® ¥ (бесконечно удаленные точки статистически независимы).

Выражение (4.31) продифференцируем по координатам точки 2 и воспользуемся уравнением неразрывности:

Дифференцирование Bik по координате второй точки эквивалентно диффе-

ренцированию по соответствую щ ей проекции вектора l , поскольку тензор зависит только от этого вектора. Следовательно, ¶2k Bik = ¶k Bik = 0 è, ïîä-

ставляя в эту формулу выражение (4.30), получим

¶k Bik = δik Bnn (l)¶k l + (Bll (l) - Bnn (l))ni nk ¶k l + (Bll (l) - Bnn (l))¶k (ni nk ) =

где ш трихом обозначено дифференцирование по l . П ри вычислениях было учтено, что

∂k nk = 2 / l ,

∂k (ni nk ) = nk ∂k ni + ni ∂k nk = 2ni / l .

Таким образом, мы получили уравнение, называемое первым уравнением Кармана - Ховарта, полученное этими авторами в 1937 году.

Тензор bik ,m симметричен по первой паре индексов, относящ ихся к одной точке, и меняет знак при перестановке точек местами, так как эта перестановка эквивалентна изменению знака l , а инверсия координат меняет

случайных сомножителей, среднее значение каждого из которых равно нулю ), получаем

Затем записываем общ ий вид тензора, симметричного по первой паре индексов и зависящ его от компонент единичного вектора n :

Требуется выразить функции C(l) , D(l) è F (l) через имею щ ие физиче- ский смысл корреляционные функции третьего порядка. Для этого снова воспользуемся уравнением неразрывности, из которого следует, что

и выражение для корреляционного тензора также вклю чает только одну неизвестную функцию C(l) :

20

Вновь направим вектор l вдоль одной изосей координат ( n = (1,0,0) ) и выпиш ем компоненты тензора (4.40):

Таким образом, отличны от нуля только две компоненты тензора, которые можно связатьсоотнош ением

Ещ е раз подчеркнем, что при выводе уравнений Кармана - Ховарта использовалось только уравнение непрерывности. Чтобы связать корреляционныетензоры второго и третьего порядка нужно использовать уравнениеН авьеСтокса.

Вычислим производную по времени от тензора bik =< v1i v2k > , используя уравнение Н авьеСтокса для производных от скорости

Двухточечная корреляционная функция давления и скорости равна нулю . Это следует изтого, что в силу изотропии эта функция должна иметь вид

<p1v2 >= nf (l) ,

àее дивергенция должна быть равна нулю ( ∂2k < p1v2k >=< p1∂2k v2k >= 0 ). Действительно, чтобы удовлетворить последнему требованию, нужно поло-

ляционная функция должна быть конечна, то единственно возможноезна- чение константы есть c = 0 .