Добавил:

SbookS Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

Физика

Файл:

П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.05.2013

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Условие (6.51) эквивалентно условию (6.45), так как интеграл (6.51) расходитсяпри наличии вспектре вейвлета нулевых частот, что равносильно отличному от нуля среднемузначению . В определении (6.50) присутствует параметр κ - показатель степени масш табного множителя. Конкретный выбор этого параметра зависит от целей анализа. Ш ироко используетсянормировка κ = − 1 , при которой равные значения вейвлет-коэффициентов w(a,b) соответствую т равным амплитудам пульсаций сигнала, независимо

от масш таба пульсаций.
Вейвлет-образ w(a,b) функции						f (t) можно выразить и черезеефурье-
?
образ f (ω ) . Действительно,
)			1		∞ ∞	)	dadb
f ( ω ) =					òòψ (aω )w(a,b)e− iωb			,	(6.53)
f ( ω ) =				C	òòψ (aω )w(a,b)e− iωb		a 2+ κ	,	(6.53)
à				ψ	0 − ∞
à			∞
	κ+ 1		∞			)
w( a,b ) =	a		òψ)* (aω )f ( ω )eibω dω .						(6.54)
w( a,b ) =	4π 2		òψ)* (aω )f ( ω )eibω dω .						(6.54)
		− ∞

П ользуясь соотнош ениями (6.53)-(6.54) и теоремой П арсеваля (2.26) несложно получить аналогэтой теоремы для вейвлет-преобразования

∞

∞ ∞

dadb

òf1( t ) f

( t )dt =

òòw1( a,b )w2

( a,b )

(6.55)

a3+ 2κ

− ∞

0 − ∞

из которого, в частности, следует

∞

∞ ∞

dadb

ò| f ( t ) |

dt =

ò| f (

ω ) |

dω =

òò| w ( a,b ) |

. (6.56)

4π 2

a3+ 2κ

− ∞

0 − ∞

Н апомним, что в фурье-анализе спектральной плотностью энергии являет-

ся величина величину

?	2	(называемая также спектром энергии) и введем
E(ω ) =\| f (ω ) \|		(называемая также спектром энергии) и введем
		∞
		M (a) = ò\| w(a, b) \|2 db ,	(6.57)

− ∞

которая характеризует интенсивность âñåõпульсаций заданного масш таба. Если в определении вейвлет-преобразования положить κ = − 1/ 2 , то формулу (6.56) можно переписать в виде

∞	∞	da
E = òE(ω )dω = òM (a)		da
			.	(6.58)
		a 2	.	(6.58)
0	0

В этом случае M (a) описывает распределение энергии пульсаций по мас-

Ðèñ.6.17	Ðèñ.6.18

ш табам и называется интегральным вейвлет-спектром. И з сказанного следует, что нормировка κ = − 1/ 2 должна использоваться, если результаты вейвлет-анализапредполагается сопоставлять с фурье-представлением сигнала. Действительно, если фурье-спектр следует степенному закону E(ω ) ~ ω α , то при этой нормировке интегральный вейвлет-спектр будет иметь тот жестепенной закон M (a) ~ a − α ~ ω α (это следует из формулы (6.58) с учетом того, что ω ~ 1/ a , à dω ~ − da / a 2 ).

Вейвлет-преобразование отображает пространство функций одной переменной (время) в пространство функций двух переменных (время и частота, или время и масш таб) и является избыточным. И збыточность непрерывного вейвлет-преобразования выражается в коррелированности вейвлет-коэффициентов, которая тем больш е, чем больш е рассматриваемый масш таб a . И наче говоря, чем больш е масш таб, тем меньш е независимых точек в вейвлет-разложении. Этот недостаток устраняется в дискретном вейвлет-представлении (пример тому - рассмотренный выше ие-

Ðèñ.6.19

рархический базис, в котором число функций геометрически уменьш аетсяс ростом пространственного масш таба).

П реимущ ество вейвлет-преобразования перед преобразованием Ф у- рьесостоит в том, что оно позволяетпроследить за изменением спектральных свойств сигнала со временем, указать, какие частоты (масш табы) доминируют в сигнале в каждый конкретный момент времени. Н а рис.6.17 и 6.18 показаны два примера вейвлет-разложения простых временных сигналов с помощ ью вейвлета М орле (6.49). В верхней части каждого рисунка показан модуль вейвлет-разложения на плоскости (a,b) , а в нижней - фаза. Н а рис.6.17 сигнал представляет собой суперпозицию двух гармоник, а в сигнале на рис.6.18 эти же две частоты появляютсяпоследовательно друг за другом. Ф урье-преобразования этих двух сигналов практически не отли- чаются друг от друга, так как спектр Ф урье теряет всякую информацию о том, когда какая гармоника присутствовала в сигнале. Вейвлет-анализпо- зволяет восстановить полную эволю цию спектрального состава сигнала во времени. Общ еепредставление о спектрально-временной структуре сигнала можно получить по распределению модуля вейвлет-преобразования. Ш и- рина полосы, получаемой при разложении гармонического сигнала, характеризуетспектральное разреш ение используемого анализирую щ его вейвлета. Распределение фазы вейвлет-преобразованиеменее информативно, особенно для сложных сигналов. В то жесамое время, именно фаза дает наиболее точную информацию об особенностях (сингулярностях) в сигнале. Так на рис.6.18 можно видеть, что именно по распределению фазы можно с больш ой точностью идентифицировать момент смены частоты.

Íа рис.6.19 показан результат вейвлет-разложения сигнала, представляю щ его собой суперпозицию двух гармонических составляю щ их с непрерывно меняю щ имися частотами (снова использован вейвлет М орле). Сам сигнал показан в нижней части рисунка, модуль вейвлет-разложения -

âверхней части. Вейвлет-представление позволяет получить точный вид эволю ции частоты каждого из двух сигналов.

Íа рис.6.20 дан пример использования действительного вейвлета типа (6.48). В качестве сигнала использован тот же временной ряд, что и в примере на рис.6.18 ( удвоение частоты гармонических колебаний). В этом

Ðèñ.6.20

случае результатом преобразования является действительная величина, модуль которой показан на рисунке. Белые полосы на вейвлет-плоскости, неизбежно появляю щ иеся при работе с вещ ественными функциями, соответствуют смене знака вейвлет-коэффициентов и содержат, по сути, информацию , которую в комплексном представлении несет фаза.

В заклю чение отметим важноесвойство вейвлет-представления функций, состоящ еев том, что на этапе разложения сигнала по вейвлетам (анализа) и этапе восстановления исходного сигнала по его вейвлет-образу (синтеза) можно использовать различные семейства вейвлетов. П усть для анализа используется вейвлет ψ (t) , а для синтеза - вейвлет ϕ (t) . Тогда прямое преобразование по-прежнему описывается выражением (6.50), а формула восстановления сигнала (6.52) примет вид


	1	∞ ∞	æt - b ö			dadb
f (t) =		òòϕ ç			÷w(a,b)			.	(6.59)
f (t) =	Cψ ϕ	òòϕ ç		a	÷w(a,b)	a	3+ κ	.	(6.59)
	Cψ ϕ	0 − ∞	è	a	ø	a

Восстановление (6.59) возможно, если выполнено условие

	∞	)	)*	( ω )
C =		\|ψ	( ω )ϕ	( ω )	dω < ¥ .
C =	ò				dω < ¥ .
ϕψ	ò		\| ω \|
	− ∞

Это условие мягче, чем условие (6.51), так как теперь один из двух вейвлетов можети не удовлетворять требованию (6.51) (но, при условии, что его «недостатки» компенсирует вейвлет, используемый на втором этапе). П ре-

имущ ество восстановления по формуле(6.59) состоит в том, что она позволяетиспользовать на одном изэтапов преобразования сингулярную функцию (например, δ - функцию ), которая сама по себе не попадает под определение вейвлета.

6.5.Дискретное вейвлет-преобразование

Íаряду с непрерывным вейвлет-преобразованием можно рассмотреть разложение по конечному набору вейвлет-функций, заданных на некоторой сетке и получаемых определенным масш табным преобразованием. Если ограничиться логарифмическим масш табированием и равномерной для заданного масш таба пространственной сеткой, то одномерную базисную функцию можно записать в виде

		æx - mba M ö
		ç					÷
		ç			M		÷
	ψ Mm =ψ ç			a	M	÷,
		è		a		ø
для которого доказана возможность получения								полного ортогонального
функционального базиса. П оследнее возможно								не при любом	выборе
значений величин a è b .	Н аиболее			естественным представляется при-
нятое и в иерархических	моделях			разбиение спектрального простран-
ства на октавы, что соответствует случаю a = 2 .
Для одномерной функции		f (x) соответствую щ ее разложение							â ðÿä
выглядит как	∞	∞
	∞	∞				m ×2M ),
f (x)= å å wMmψ M (x -						m ×2M ),			(6.60)
ãäå	M =∞ m=− ∞
ãäå
		−	M	æ	x	ö
		−		æ	x	ö
	ψ M (x)= 2 2 ψ ç					÷.
	ψ M (x)= 2 2 ψ ç					÷.
				è2M		ø

Здесь и далеев данном параграфе принята нормировка κ = - 1/ 2 и для удобства записи эта нормировка вклю чена в определение вейвлета.

Задача о выборе функции ψ (x) , обеспечиваю щ ей ортогональность разложения (6.60), т.е. соблю дение условия

∞	(x - m ×2M )ψ		(x - n ×2N )dx = δ δ	(6.61)
ψ		N
ò M			NM nm

− ∞

далеко не тривиальна и была реш ена лиш ь недавно (И .М ейер,1986; И .Добеш и, 1988). Условиям (6.59)-(6.61) соответствуют, правда, и давно

f (x) , заданной на

известныефункции Хаара, не удовлетворительные, как отмечалось выше, с точки зрения локализации в фурье-пространстве. П римером гладких функций, образую щ их ортонормированный базис, является вейвлет, обозна- чаемый по фамилиям авторов аббревиатурой LMB (Lemarie, Meyer, Battle). Графики функции LMB и ее фурье-образа приведены на рис.6.21. Ф ункция LMB убывает экспоненциально в физическом пространстве и по k − 4 закону - в пространстве Ф урье.

Дискретное преобразование вводится для функции

равномерной сетке xi = i x , ãäå Dx - ш агсетки. Обозначая			fi = f (xi ) и считая
Dx = 1, запиш ем вместо (6.60)
∞	∞
fi = å å wMmψ M (i - m ×2M ),			(6.62)
M =0m=− ∞
где коэффициенты wMm определяютсякак
	∞
wMm = å fiψ M (i - m ×2M ),
i=− ∞
а условие сохранения энергии принимает вид
∞	∞	∞
å å wMm2		= å fi 2 .
M=1m=− ∞		i=− ∞

Ф ункция ψ M (i) , являю щ аяся дискретным аналогом функции ψ (x) , должна вместо (6.61) удовлетворять условию

∞			(i - m ×2M )ψ		(i -	n ×2N )= δ δ .	(6.63)
å	ψ	M		N
						NM nm
i=− ∞
П ереход от функции ψ M (x)	к ее дискретной версии ψ M (i)						требует дополни-

тельных пояснений, связанныхстем, что выборка fi производится не с по-

Ðèñ.6.21

ìîù üþ δ -функций, а с помощ ью некоторой сглаживаю щ ей функции φ(x) .

Более подробно процедуру построения дискретного вейвлетпреобразования рассмотрим на примере алгоритма М алла с переменным разреш ением (multiresolution wavelet algorithm), который последовательно

вычисляет	коэффициенты разложения, переходя от меньш их масш табов к
больш им.					f (x) принадлежит пространству интегрируе-
П усть исходная функция					f (x) принадлежит пространству интегрируе-
мых в квадратефункций L2 (R). Обозначим подпространство функций, ап-
проксимирую щ их L2 (R) с разреш ением aM = 2M							êàê VM . Ï ðè ýòîì VM + 1 VM .
П остроение начинается с разреш ения a0							= 1 (M = 0). Отметим, что в
отличие	îò	иерархических			моделей	здесь		увеличению	индекса
M соответствует		переход к		больш им масш табам				(более грубому раз-
реш ению ). Обозначаем за f			M	соответствую щ ую аппроксимацию функции
f . Н а практике функция f 0			с точностью			до заданной погреш ности сов-
падаетс f	и служит исходной для начала вычислений.
П редполагаем наличие базисных функций φ0 (x − i), которые только
путем сдвига вдоль оси создают полный						ортонормированный			базис в
пространстве V0
					∞
				f 0 (x)= å si0φ0		(x − i),			(6.64)
					i=− ∞
ãäå si0 - коэффициенты разложения
					∞
				si	0 (x)= òf 0 (x)φ0 (x − i)dx.				(6.65)
					− ∞

φ(x) - быстро убываю щ ая функция, что позволяет интерпретировать ко-

эффициенты si0	как дискретную выборку функции f 0 с разреш ением на
сетке сш агом a = 1 . Условие ортогональности есть
	∞	(x − i)φ0 (x − j)dx = δ .			(6.66)
	φ0	(x − i)φ0 (x − j)dx = δ .			(6.66)
	ò			ij
	− ∞
П ри переходе	к более грубому	разреш ению aM = 2M			используется про-
странство VM ,	описываю щ ееся базисом φM ,			функции	которого получа-
ю тсярастяжением исходной функции φ0
		−	M
	φM (x)= 2		2 φ0 (2−	M x).	(6.67)

Дискретная выборка функции f 0 (x) с разреш ением aM = 2M	есть набор ко-
эффициентов siM
∞
si M = òf 0 (x)φM (x − 2M i)dx .	(6.68)

−∞

Ïоскольку VM + 1 VM , то базисные функции масш таба M + 1 можно выра-

зить через базис масш таба M :

φM + 1 (x - 2M + 1i)=	∞	é∞	(x¢-	2M + 1i)φM (x¢-	ù	(6.69)
φM + 1 (x - 2M + 1i)=	å	φM + 1	(x¢-	2M + 1i)φM (x¢-	2M j)dx¢φM (x - 2M j)	(6.69)
	å	êò			ú
	j = − ∞ ë− ∞				û

èëè		2M + 1 i)= å∞
φM + 1 (x -		2M + 1 i)= å∞			h j− 2iφM (x - 2M j),		(6.70)
ãäå				j=− ∞
ãäå		∞	æx¢ö 0
−	1	∞			¢	¢
		0
	2	0
hk = 2		òφ					(6.71)
			ç	÷φ
			ç	÷φ	(x -	k )dx .
		− ∞	è 2	ø

И з(6.69)-(6.70) следует, что коэффициенты s M+ 1 можно определить, используя только коэффициенты s M :

∞
siM + 1 = å h j − 2i s Mj .	(6.72)
j =− ∞
П ереход от s M ê s M + 1 соответствует очередному огрублению	исходных
данных путем их выборки изпоследовательности s M с весовой	функцией

h . C увеличением числа точек количество операций растет только геометрически и (6.71)-(6.72) может служить основой быстрого вейвлетпреобразования (БП В, по аналогии с быстрым преобразованием Ф урье - БП Ф ).

Очевидно, что функции φM + 1	не могут	быть ортогональными
функциям φM , так как образуемое ими пространство VM + 1			содержится в
пространстве VM . Основная идея алгоритма БП В		состоит	в построении

вейвлет-базиса путем использования разности информации, содержащ ейся в различных масш табах. Соответствую щ еепространство обозначается как

OM + 1 . OM + 1	ортогонально	VM + 1 (OM + 1^ VM + 1 ),			à	OM + 1	è VM + 1 составляю т
VM (OM + 1 Å VM + 1	= VM ). Вейвлет	ψ M + 1 (x - 2M + 1 i) определяется как базисная функ-
ция для пространства OM + 1 . Ï ðè			ýòîì	остается справедливым соотнош е-
ниетипа (6.67):
		−	M
	ψ M (x)= 2		2 ψ 0 (2−	M x),			(6.73)
предполагаю щ ее, что совокупность функций ψ						M + 1 образует ортонормаль-
ный базис в OM + 1 . Тогда совокупность всех ψ					M (M = 0,1,2K) образуетполный
ортогональный базис для V0 .
Коэффициенты вейвлет-разложения есть
		∞
	wi M	= òf 0 (x)ψ M (x - 2M m)dx ,					(6.74)

− ∞

а так как функции ψ M + 1 относятсяк пространству OM + 1 , à OM + 1 VM , òî

ψ	M + 1 (x - 2M + 1i)=	∞	é∞	(x¢- 2M + 1i)φM (x¢-	ù	(6.75)
ψ	M + 1 (x - 2M + 1i)=	å	ψ M + 1	(x¢- 2M + 1i)φM (x¢-	2M j)dx¢φM (x - 2M j),	(6.75)
		å	êò		ú
		j = − ∞ ë− ∞			û

что приводит к формуле

					∞
	wiM + 1 = å g j − 2i s Mj						,	(6.76)
ãäå					j =− ∞
ãäå		∞		æx¢ö 0
−	1	∞
		òψ	0			¢	¢
	2		0
g k = 2								(6.77)
				ç ÷φ
				ç ÷φ		(x -	k )dx .
		− ∞		è 2 ø
Видно, что для определения			коэффициентов					вейвлет-представления

данного масш таба требуются не исходные данные, а только			результаты,
полученные для предыдущ его масш таба.
П ри восстановлении функции f	процессидетот крупных масш табов
к мелким и на каждом ш аге
siM = å∞ [hi− 2 j s Mj	+ 1 + gi− 2 j w Mj	+ 1 ].	(6.78)
j=− ∞

Следует указать такжесвязьмежду коэффициентами g k , hk и дискретной формой вейвлет-функции ψ M (k) . Òàê êàê

		∞		∞	∞
wiM + 1 = å g j − 2i s Mj			= å å g j− 2i hk − 2 j skM − 1 = KK
		j =− ∞		j =− ∞ k =− ∞
то, в конечном итоге,
		∞		M ( j −	2M i)s0j ,
		wiM + 1 = å ψ		M ( j −	2M i)s0j ,	(6.79)
ãäå		j =− ∞
ãäå					å Kå h j( 2 )− 2 j(1) g j(1)− 2i .
ψ M ( j − 2M i) = å h j( M )− 2 j M − 1					å Kå h j( 2 )− 2 j(1) g j(1)− 2i .
		j( M − 1)			j ( M − 2 ) j (1)
Остановимсятеперь на вопросео выборе конкретных функций ψ è ϕ .
Выш е для них были сформулированы следую щ ие требования:
1) всевейвлет-функции ортонормальны
∞		(x - m ×2M )ψ		(x - n ×2N )dx = δ δ ,		(6.80)
ψ	M	(x - m ×2M )ψ	N	(x - n ×2N )dx = δ δ ,		(6.80)
ò	M		N		NM nm
− ∞
2) сглаживаю щ ие функции φM (x − 2M i) ортонормальны для						заданного

значения M

100

∞

òφM (x - 2M i)φM (x - 2M j)dx = δ , (6.81)

−∞

3)вейвлет-функции ортогональны сглаживаю щ им функциям того же

ìàñø òàáà

∞	M (x - 2M j)dx = δ .
φM (x - 2M i)ψ	M (x - 2M j)dx = δ .	(6.82)
ò	ij

−∞

Ïриведем примеры ортогональных вейвлетов и соответствую щ их им дискретных фильтров hi , gi .

а) П ростейш ей ортогональной				системой				является, как		уже отмеча-
лось, система функций Хаара. Для нее					0 £ x £ 0.5
			ì 1	ïðè	0 £ x £ 0.5
	ψ (x)= íï- 1			ïðè	0.5 £ x £ 1
			ï	äëÿ	прочих x,
а сглаживаю щ ая функция φ			î 0	äëÿ	прочих x,
а сглаживаю щ ая функция φ					0 £ x £ 1
	φ(x)= íì 1			ïðè	0 £ x £ 1
			î 0	для прочих x.
Дискретныефильтры для БП В получаютсяиз(6.71) и (6.77) и, соответст-
венно, равны	= h = g		= 2− 1/ 2 ,				= - g		.	(6.83)
h	= h = g	0	= 2− 1/ 2 ,		g	1	= - g	0	.	(6.83)
0	1	0				1		0

б) Другой предельный случай - одномерные иерархические функции

(они же функции Литлвуда-П елли) для которых доказывается полнота	è
ортогональность. И х же называют иногда полосовыми фильтрами и,	â

последнее время, фурьелетами. Так как они вырезаю т определенную по-

лосу в пространстве Ф урье, то

удобней

действия проводить

â ïðî-

è g .

странстве частот, а вместо h è g пользоватьсяих фурье-образами h

)

∞

)

∞

h(k)= å h je−

ijk ,

g(k)= å g je− ijk .

Äëÿ íèõ

j=− ∞

)

h(k)= íï

ïðè

£ k £ 2

при прочих

£ π

)

ï 2 2 eijk

ïðè

g(k)=

(6.84)

ïðè

прочих

Н е трудно получить и соответствую щ ие дискретные фильтры в физиче- ском пространстве

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Физика

#
07.05.201367.42 Кб11Relationships of the SI derived units with special names and symbols and the SI base units COLOR.pdf
#
07.05.20132.24 Mб3В.В.Зозуля, А.В.Мартыненко, А.Н.Лукин - Механика материалов.djvu
#
07.05.20139.39 Mб7Д.В.Сивухин - Общий курс физики, том III, Электричество.djvu
#
07.05.20134.27 Mб4Д.Р.Стэлл - Таблицы давления паров индивидуальных веществ.djvu
#
07.05.20131.18 Mб81П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 1.pdf
#
07.05.20132.02 Mб54П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 2.pdf