П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 2

121

Теперь сформулируем основные гипотезы модели Ш ЛБ в терминах каскадных переменных. П ервая гипотеза - гипотеза подобия (4.90), декларирую щ ая наличие одинаковых статистических свойств, принимает форму

В качестве безразмерной характеристики потока энергии по спектру (4.89) в данном случае выступает величина

Вторая гипотеза - гипотеза об иерархии моментов безразмерного потока энергии (4.91) сохраняет свой вид

а третья (гипотеза о перемежаемости) - записываетсякак

Н апомним, что результатом применения трех гипотез является формула для скейлинговых экспонент

Ðèñ.7.6

П роверка первой гипотезы требует сопоставления функций распределения плотности вероятности для всех трех величин. В первом приближении можно ограничиться сравнением низш их моментов, или коэффициентов асимметрии и эксцесса. Зависимость асимметрии и эксцесса всех вели- чин от масш таба (номера яруса) приведена на рис.7.5 для случая ε = 0.5 .

122

Точки, принадлежащ ие различным величинам, хорош о совпадаю т. Следует отметить, что модель демонстрирует сущ ественный рост неравномерности распределения вероятности с ростом волнового числа - коэффициент эксцесса возрастает в 1000 раз.

Рис.7.6 показываетрезультаты проверки второй гипотезы. В двойном логарифмическом масш табе по-

носящ иеся к моментам различ- ного порядка, образуют отрезки с разными углами наклона. Такая ситуациясохраняетсядля ε < 0.45 . П ри больш их значениях параметра (показаны случаи: b)ε = 0,7 ; c) ε = 1,25 ; d )ε = 3,0 соотнош ение (7.34) хорош о выполняется - все точки ложатся на общ ую прямую , наклон которой позволяет одно-

123

результат хорош о согласуется с результатами, полученными при обработке данных прямого численного моделирования интервала переноса энстрофии в двумерной турбулентности (параграф 5.4).

Результаты определения параметров и β суммирует рис.7.8, на котором приведена зависимость этих величин от параметра модели ε (напомним, что этот параметр связан с законами сохранения). Н а рисунке разделены результаты для ε < 1 è ε > 1, так как свойства системы в этих двух областях отличаю тсяпринципиально, о чем свидетельствуети рис.7.8.

П оследний рис.7.9 показывает результаты непосредственного вычисления функции распределения вероятности для потока энергии P(π n ) ïðè

двух значениях ε : à) ε = 0.42 , á) ε = 3.0 . Н а обоих графиках пунктиром проведена линия, соответствую щ ая лог-пуассоновскому распределению . В первом случае полученная функция распределения далека от этой кривой (что согласуется с рис.7.6,а), в то время как на втором - совпадение достаточно хорош ее. Видно, что функция распределения несимметрична (напомним, что логнормальное распределение в таком представлении должно было бы дать симметричную параболу).

В заклю чение отметим, что полученныезначения параметров β и при подстановке в формулу (7.36) дали значения ςq , совпа-

даю щ ие с точностью не ниже10% со значениями, полученными непосредственно по расчетам наклона графиков структурных функций. П одтверждение формулы (7.36) является интегральной проверкой работоспособности модели турбулентности Ш ЛД.

Ðèñ.7.9

126

П еречислим некоторые результаты, полученныеспомощ ью этой мо-

äåëè.

Умеренные числа П рандтля (σ ~ 1 ). Рассмотрим эволю цию спектров двумерной турбулентной конвекции при очень больш их числах Грассгофа, когда больш ой интервал значений волновых чисел позволяет проследить заформированием спектров по обе стороны от масш таба Болджиано. Система уравнений (7.41)-(7.42) для случая, когда число П рандтля равно единице, а число Грассгофа Gr = 1014 (что соответствует Re = 107 ), интегрировалась методом Рунге - Кутта четвертого порядка с постоянным ш агом по времени для 0 ≤ n ≤ 30. Равномерный нагрев на макромасш табе моделировался путем поддержания стационарного значения модуля переменной

| Θ 0 |= 1 .

В отличие от трехмерного случая, в двумерной гидродинамической турбулентности сущ ествование инерционного интервала с прямым каскадом энергии невозможно. Это обстоятельство препятствует установлению стационарного распределения энергии по спектру. П роцесспередачи энергии к мелкомасш табному движению блокируется на масш табе Болджиано LB , вправо от которого формируется инерционный интервал переноса энстрофии. Влево от LB развиваетсяинтервал обратного переноса энергии к крупным масш табам со спектральным законом "-5/3", причем граница этого интервала продвигается влево по мере накопления системой энергии.

Стационарной ситуации удается добиться путем введения дополнительной диссипации кинетической энергии на больш их масш табах (в уравнение для U n дописывается член вида − U n , так называемое линейное трение, обычно используемое и при прямых численных экспериментах с двумерной турбулентностью ). Н а рис.7.10 показаны осредненные по времени значения энергии пульсаций скорости и температуры в отдельных октавах EV n è ET n . П роведены линии, соответствую щ ие степенным законам

для двумерной турбулентной конвекции. П ри рассматривании рисунков следует помнить, что показатель степени для величины En (kn ) на единицу меньш е, чем для самого спектра E (k ) , что связано с принятым делением оси волновых векторов на октавы. Границы различных интервалов болеечетко выражены в спектре пульсаций скорости. В спектре пульсаций температуры переходы размытые и степенные участки нестоль ярко выражены.

М алые числа П рандтля ( σ << 1) приводят к возникновению инерци- онно-диффузионного интервала в спектре пульсаций температуры. Он возникает в масш табах, на которых сохраняется обычный инерционный интервал в поле скорости, но сущ ественна тепловая диффузия. И з сопостав-

Крейчнана для пульсаций скорости в инерционном интервале переноса энстрофии E( k ) ~ k − 3 получается

П ри столь быстром затухании энергии пульсаций трудно рассчитывать на формирование протяженного интервала. Это подтверждаю т и результаты численного счета для случая σ = 10− 8 , приведенные на рис.7.11, где не удается выделить интервала с постоянным степенным законом.

Ðèñ.7.10

Н а рисунке даны результаты счета с различными значениями параметра J. В конвективном интервале отличие невелико, так как здесь доминирую т локальные взаимодействия полей скорости и температуры. Разли- чия хорош о видны в мелкомасш табной части спектра, где формируется инерционный интервал переноса энстрофии. И звестно, что каскадные модели испытываю т проблемы с описанием каскада энстрофии, выражаю - щ иеся в том, что поток энстрофии в них слаб в сравнении с пульсациями энстрофии в отдельном масш табе и падаетсростом n, а спектры энергии не следуют единому степенному закону. Увеличение J усиливает поток энстрофии и приводит к появлению протяженного интервала, в котором спектр кинетической энергии следует степенному закону с наклоном E( k ) ~ k − 10/ 3 . И нтересно отметить, что именно такой наклон спектра был получен при исследовании двумерной турбулентности с помощ ью иерархической модели, в которой число переменных растет как 22n по мере роста волнового

128

числа kn = 2n , что позволяет в отличие от каскадных моделей учитывать и пространственную неоднородность турбулентного течения.

Ðèñ.7.11 Больш ие числа П рандтля ( σ >> 1) способствуют формированию вяз-

ко-конвективного интервала, в котором соответствую щ ие масш табы поля скорости подавлены вязкостью , но остаетсяспектральный поток пульсаций температуры, поддерживаемый лиш ь крупномасш табным полем скорости. П оскольку диффузия тепла происходит на сущ ественно меньш их масш табах, то поток энергии пульсаций температуры по спектру остается постоянным, но характерное время переноса определяется крупномасш табными пульсациями скорости и можетсчитатьсядляэтого интервала постоянным. Эти рассуждения приводят к спектру Бэтчелора (5.41),

М ежду конвективным (обуховским) и вязко-конвективным интервалами можно ожидать появления интервала (5.51), в котором вязкий член становится весомее нелинейного, но остается сущ ественной сила плавуче- сти. Тогда баланс архимедовых и вязких сил вместе с (7.44) приводит к спектру

рис.7.12 и показывают, что интервал, в котором устанавливаются законы (7.44-7.45), может быть достаточно протяженным. М ожно видеть, что уве-

129

личение J приводит к растяжению интервала (7.44), но практически не влияетна распределение энергии пульсаций скорости.

Ðèñ.7.12

130

7.6.Каскадные процессы в М ГД-турбулентности

Âкачестве последнего примера рассмотрим модель развитой турбулентности проводящ ей жидкости. Специфика движений жидкости с электрической проводимостью состоит в том, что жидкость не только подвержена действию дополнительного силового поля (в магнитном поле возникает сила Лоренца), но и сама оказывает воздействие на магнитное поле. П ри этом важно, что воздействие не сводится к запутыванию силовых линий и размельчению структуры поля (как это происходит при перемеш ивании пассивной примеси или тепла), а может, в определенных условиях, и генерировать магнитные поля. Хорош о проводящ ие жидкости - это жидкие металлы, но в сферу действия магнитной гидродинамики (М ГД) попадают и многие другие среды - электролиты, плазма (особый интерес представляютсолнечная и звездная плазма), межзвездная среда.

Силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции B . Уравнения движения вклю чают уравнение Н авье - Стокса, дополненное силой Лоренца, уравнение для вектора индукции, уравнение неразрывности и условие соленоидальности магнитного поля. Систему уравнений можно записать в безразмерном виде

нитную вязкость νm = 1/ μσ ( μ - магнитная проницаемость среды, σ - ýëåê-

трическая проводимость). Отнош ение кинематической вязкости к магнитной вязкости называетсямагнитным числом П рандтля Prm =ν /νm .

Основные особенности М ГД-течений связаны стем, что проводящ ая жидкость увлекает силовые линии магнитного поля. В пределе идеальной проводимости наступаетэффект вмороженности - силовые линии поля оказываются связанными с жидкими частицами.

Н аиболее интригую щ им свойством М ГД-потоков является их способность генерировать магнитные поля. Впервые идею М ГД-динамо, а именно идею о том, что источником магнитного поля Солнца являются те- чения в его недрах, высказал Лармор ещ е в 1919 году. Однако, попытки построить теорию динамо или хотя бы дать примеры течений, способных генерировать магнитные поля, долгое время оставались неудачными. П ервые точные результаты были негативными и вылились в так называемые