Метод проекцій включає два випадки: центральне та паралельне проекціювання.

При центральному проектуванні проекціюючі промені (рис.І.1) виходять з однієї точки – центра проекціювання S, який знаходиться на визначеній (заданій) відстані від площини проекцій Πi.

Для побудови центральної проекції mi кривої лінії m необхідно вибрати на цій лінії деяку кількість точок, побудувати їх проекції і з'єднати відповідною лінією (рис.І.2а). При центральному проекціюванні кривої лінії проекціюючі промені утворюють в просторі конічну поверхню, тому цей вид проекціювання має й іншу назву – конічне проекціювання.

Основні властивості проекціювання:

1.Проекцією точки є точка (А,В,С,М – рис.І.3.).

2.Проекцією прямої є пряма (m – рис.І.3), в окремому випадку, - точка(n – рис.І.3).

3.Проекція площини є площина, в окремому випадку, якщо збігається з напрямком проекціювання, – пряма.

4.Якщо точка належить прямій, то і проекція точки належить проекції прямої.

5.Якщо прямі паралельні, то і їх проекції паралельні між собою.

6.Відношення відрізків прямої дорівнює відношенню проекцій цих відрізків.

7.Точка перетину проекцій прямих, що перетинаються, є проекцією точки перетину цих прямих (М – рис.І.3).

Прямокутне (або ортогональне) проекціювання, крім наведених вище, характеризується ще наступними властивостями:

1.Проекція відрізка не може бути більшою самого відрізка.

2.Якщо відрізок паралельний площині проекцій, то він проектується на неї в натуральну величину (CD – рис.І.3).

3.Проекція геометричної фігури не змінює своєї величини і форми при паралельному переміщенні площини проекцій.

ОРТОГОНАЛЬНІ ПРОЕКЦІЇ ТОЧКИ, ПРЯМОЇ, ПЛОЩИНИ. ЕПЮР МОНЖА.

Двохплощинна, трьохплощинна системи, епюр Монжа. Проекція точки.

Метод прямокутних проекцій ґрунтується на тому, що предмет за допомогою прямокутного проекціювання одночасно зображають на кількох взаємно перпендикулярних площинах проекцій.

Розглянемо дві взаємно-перпендикулярні площини, які ділять простір на 4 частини, що називаються чвертями або квадрантами (рис.І.4). Така модель називається двохплощинною. Відповідно площина П1 називається горизонтальною площиною проекцій, а П2 - фронтальною площиноюпроекцій.

При двох напрямах проекціювання, що прийняті в системі прямокутних проекцій, довільна точка Азображується парою точок (А1 – горизонтальна проекція, А2 – фронтальна проекція).

Відстань точки простору (А) до площин проекції П1 дорівнює відстані її фронтальної проекції (А2) до осі ОХ, а відстань доП2 – від А1 до осі 0Х

Якщо одна з проекцій точки знаходиться на осі, то точка простору належить одній із площин проекцій і розташована на границі чвертей.

Якщо відстані від проекцій точок до осі рівні, то точка простору належить бісекторній площині. Бісекторна площина – це площина, яка ділить чверті навпіл. Площина, яка проходить через 1 і 3 чверті, називається 1 бісекторною площиною і позначається буквою К, площина, яка проходить через 2 і 4 чверті – 2 бісекторною площиною і позначається буквою U.

Приклад 1. Побудувати комплексне креслення точок А(-30,-20,40) та В(10,30,-10) і визначити октанти простору, в яких вони розташовані. Комплексне креслення точок наведене на рис. І.7. В практиці користуються І чвертю, тому подальший матеріал буде

подаватися стосовно неї.

Приклад 2. Побудувати точку В, симетричну заданій точці А(30, 25, 15) відносно горизонтальної площини проекцій, та накреслити наочне зображення цих точок (рис.І. 8а,б).

Точка А знаходиться у першому октанті а симетрична до неї точка В знаходитиметься у четвертому октанті на тій самій відстані від П1, що і задана точка. Тому координати точки В залишаться тими ж що і у точки А, зміниться лише знак координати z на від`ємний. Отже, нам залишається побудувати проекції точки А з координатами (30, 25, 15), В – (30, 25, -15). Побудова проекцій точок показана на рис.І.8.

Прямі окремого положення – це прямі, які паралельні або перпендикулярні площинам проекцій.

Прямі, паралельні до однієї з площин проекцій – прямі рівня і називаються горизонтальною (h), якщо вона паралельна до горизонтальної площини проекцій П1; фронтальною (f), якщо вона паралельна до фронтальною площини проекцій П2; профільною прямою (р), якщо вона паралельна до П3. Відрізки прямих зображуються в натуральну величину на площині проекцій, якійвони паралельні, інша проекція завжди буде паралельною до осіох, oy, oz.

На рис.І.10 представлені наочні зображення та ортогональні проекції прямих окремого положення. Побудовані також сліди цих прямих, позначені кути нахилу прямих до площин проекцій. Пряма АС (рис.І.10,а) – горизонтальна, оскільки вона паралельна до П1, горизонтального сліду (Н) не матиме, в натуральну величину відрізок проекціюється на П1, кут нахилу прямої до П2 – β. АВ (рис.І.10,б) – відрізок фронтальної прямої, в натуральну величину проектується на П2, знаходиться під кутом α до П1, фронтальний слід відсутній. АМ (рис.І.10,в) – відрізок профільною прямої, натуральна величина його проектується на П3, кут нахилу до П1 – α, до П2 – β.

Прямі, перпендикулярні до площин проекцій, називають проекціюючими: АК (рис.І.11,а)

– відрізок горизонтально проекціюючої або вертикальної, АР (рис.І.11,б) – відрізок фронтально проекціюючої або глибинної, АТ (рис.І.11,в) – відрізок профільно проекціюючої або поздовжньої прямої. Такі прямі зображуються точкою на площині проекцій, до якої вони перпенди-кулярні. При цьому вони паралельні двом іншим площинам проекцій, де і знаходяться натуральні величини відрізків цих прямих.

Проекціювання площини.

Сліди площини – це лінії перетину площини з площинами проекцій. Задання площини її слідами - найпростіший спосіб задання. Для побудови слідів площини необхідно побудувати сліди двох довільних прямих цієї площини, а потім сполучити H1b з Ha1, отримати h01; F1b з F1a, отримати f02. Горизонтальна проекція фронтального сліду f01 та фронтальна проекція горизонтального сліду h02 проекціюються на вісь ox.

Методи задання площин:

а) трьома точками , що не лежать на одній прямій (рис.І.14а); б) двома паралельними прямими (рис.І.14б); в) двома прямими, що перетинаються (рис.І.14в); г) точкою і прямою (точка не належить прямій) (рис.І.14г); д) будь-якою плоскою фігурою (рис.І.14д); е) слідами площини (рис.І.14е).