При вивченні перспективних проекцій на площині користуються проекціюючим

апаратом, який складається з площин, точок, ліній.

Основні елементи проекціюючого апарата

Картина К

Проміжний

Площина горизонту Н0

Нейтральна

простір

h1

площина N

Головний промінь зору Р

D1

N

Уявний

Предметний

простір

P

простір

C

D

h

Г

Лінія горизонту

c

O

Предметна

площина Н

Рис.ІІ.74.

Лінія основи

Предметна площина Н (горизонтальна площина): на ній розташовані предмети,

спостерігач та картинна площина.

Картинна площина, або картина, К, на якій будують перспективне зображення

предмета, розташована перпендикулярно до предметної площини.

Лінія основи картини О О1 – лінія перетину картинної площини з предметною.

Точка зору, або центр проекціювання,

С

фіксує місцезнаходження спостерігача.

Через неї проводяться промені до предмета, розміщеного за картинною площиною або перед

нею.

Висота точки зору Сс - відстань від точки зору до предметної площини.

Точка стояння с - основа перпендикуляра, проведеного з С на предметну площину.

Головний промінь зору або головний перпендикуляр СР- проведений з точки зору на

картинну площину.

Площина горизонту Н0

- площина,

проведена через головний промінь СР

паралельно предметній площині до перетину з картинною площиною.

Лінія горизонту hh1

- лінія перетину площини горизонту Н0 з площиною картини К.

Дистанційні точки - D,D1

розміщені на лінії горизонту hh1

по обидві сторони від

головної точки Р, на відстані, рівній довжині головного променя СР.

Нейтральна площина N - площина проведена через точку зору С паралельно

картинній площині К.

Предметний простір -

простір, що знаходиться за картинною площиною в бік

спостерігача.

Проміжний простір - простір між картинною площиною К і нейтральною N.

Площина головного променя Г – площина, проведена через головний промінь і

перпендикулярна до предметної та картинної площин.

Головна лінія картини Рр. - лінія перетину головного променя з картиною.

Перспектива точки і прямих ліній.

Перспектива точки.

Нехай в предметному просторі задана

точка В та її ортогональна (вторинна)

а)

K

проекція

b

на

предметну

площину

T'

B

(рис.ІІ.75а).

Необхідно

побудувати

їх

C

B'

перспективу. Проводимо з точки зору С

промені СВ та cb, через які проводимо

b'

площину Q. Вона перпендикулярна до

предметної

площини

та

перетинається

з

c

O2

b

картинною

по

прямій

О2Т,

H

перпендикулярній до основи картини ОО1.

Перспективи точок

В,b розміщені на прямій

б)

О2Т'. Таким

чином перспективи точок

В та

K

T'

її ортогональної проекції b знаходяться на

одному перпендикулярі до основи картини.

B'

Якщо точка В належить предметній площині

b'

Н, то її ортогональна проекція b збігається з

В. Зображення точок В і b на картині також

Рис ІІ.75.

збігаються. На рис.ІІ.75б зображена

O1

O2

O

перспектива В' точки В і перспектива b'

основи b на площини картини.

a)

K

T

Перспектива прямих ліній.

T

M

C

M'

A

A'

m'

B'

B

Загальні

відомості.

Перспективу

a'

m

O1

N'

a

прямої лінії можна побудувати,

якщо уявити

b'

N

O3

n'

площину, утворену з променів, що

виходять з

c

b

точки зору С до кожної точки заданої прямої.

O2

n

Ці промені утворюють променеву площину.

O

б)

Променева

площина

перетинається

з

K

картинною

по

прямій.

Отже,

перспектива

T

T

M'

N'

прямої на

картині

є

пряма.

Для

побудови

A'

B'

m'

n'

перспективи

прямої

достатньо

побудувати

a'

b'

перспективу двох точок цієї прямої. Нехай в

просторі

існує

пряма

MN,

розміщена

Рис.ІІ.76.

O1

O3

O2

O

паралельно картині (рис.ІІ.76) та її проекція на

а)

предметну площину mn.

K

Щоб

побудувати

перспективу

прямої

A

MN, візьмемо на ній дві довільні точки А і В та

T

A'

знайдемо

їх

горизонтальні

проекції

a,

b.

C

Перспективу

точок

А'

і В'

знаходимо

за

O1

допомогою променевих площин САса та СВсb,

B'

B

які перетинаються з картинною площиною по

c

O2

H

прямих О3Т та О2Т перпендикулярних до

б)

основи картини ОО1. Перспективи точок А і

O

В– на перетині променів СА і СВ з прямими

K

T

О3Т та О2Т. З`єднавши точки А', В' та а', b',

A'

отримуємо перспективу прямої АВ та її

проекції аb. На рис.ІІ.76 видно, що

B'

перспектива відрізка АВ на картині у

Рис.ІІ.77.

O1

O

зменшеному вигляді і розміщена паралельно

O2

до основи картини ОО1. Надалі ортогональні проекції точок на предметну площину Н

будемо називати первинними проекціями.

Якщо у предметному просторі задається відрізок AB

(рис.ІІ.77),

розміщений

перпендикулярно до предметної площини H,

перспективне

зображення

відрізка

AB

отримаємо на картині за допомогою променевої площини CABc, яка в перетині з картиною

утворює пряму О2Т.

На прямій

О2Т знайдемо точки зустрічі

а)

K

променів CA та CB з картиною. Перспектива

T

B

відрізка

AB

отримана

зменшеною

та

T

B'

перпендикулярною до основи картини ОО1.

C

A' a'

A

При

побудові

перспективи відрізка AB

загального

положення

(рис.ІІ.786),

O1

b'

a

O3

перспективне

зображення

його

не

буде

c

O2

b

паралельним жодній площині.

Висновок:

1.

Відрізки

прямих,

O

б)

розміщених в предметному просторі,

завжди

K

будуть на картині менші са

мих відрізків.

2.

T

T

B'

Горизонтальні прямі, паралельні картинній

площині,

зображуються

на

картині

A'

горизонтально.

3.

Вертикальні

лінії

a'

b'

залишаються на картині вертикальними.

Якщо в предметній площині взяти будь-

Рис.ІІ.78.

O1

O3

O2

O

яку пряму та продовжити її нескінченно

далеко, перспектива нескінченно віддаленої точки заданої прямої буде мати назву гранична

точка прямої (фокус ) та позначається F

(рис.ІІ.79).

MN,

а)

K

На

прямій

розміщеній

в

предметній площині (рис.ІІ.79), візьмемо дві

довільні точки 1, 2 і побудуємо їх перспективу.

C

F

З

побудови

видно,

що

оскільки

точка

1

O1

2'3'

розміщена ближче до спостерігача, ніж точка

1'

N

O2

M

1

N∞

2, на картині точка 1' нижче точки 2'.

2

c

3

Візьмемо на тій же прямій ще одну точку 3

,

f

більш віддалену від спостерігача, ніж точка 2, і

O

б)

побудуємо її перспективу. Перспектива точки

K

3 - 3' опинилась на картині вище точок 1', 2'.

F

Якщо продовжувати пряму MN далі та взяти

2' 3'

на ній ряд інших точок, то перспективи їх на

картині розмістяться ще вище.

1'

Таким чином: чим далі від спостерігача буде

O1

знаходитися

точка,

тим

вище

вона

Рис.ІІ.79.

O

розміститься на картині.

O2

f

Продовжимо пряму MN в нескінченність MN∞ . Щоб побудувати перспективу

нескінченно віддаленої точки на прямій MN∞ , необхідно з точки зору С провести

промені паралельно заданій прямій до перетину з площиною картини в точці F. Ця точка

і буде граничною точкою заданої прямої. Перспектива нескінченно віддаленої точки прямої

MN∞ знаходиться на перетині променя

зору CF, проведеного паралельно напряму заданої

прямої з площиною картини. Гранична точка завжди буде віддалена від основи картини ОО1

на відстань, рівну висоті точки зору Сс. Продовжимо пряму MN до перетину її з картиною в

точці О2. Точку О2

перетину прямої з картиною називають картинним слідом прямої.

З`єднавши картинний слід О2

з точкою F, отримаємо перспективу прямої MN∞ .

Візьмемо на предметній площині дві

а)

K

довільно розміщені прямі АА∞ і ВВ∞ (рис.ІІ.80)

та побудуємо на картині їх граничні точки F,

F1.

Як видно з побудови, обидві точки

C

F

розміщені

на

однаковій

відстані

від основи

O1

F1

A

A∞

картини ОО1. Відстань від граничних точок F,

O2

F1

до основи картини ОО1 буде рівна висоті

O3

B

B∞

точки зору.

c

f

Н

На предметній площині можна взяти безліч

f1

прямих довільного положення, направлених в

O

б)

нескінченність,

граничні точки (фокуси)

для

h1

K

F

F1

F2

кожної з яких будуть розміщені на hh1,

паралельній основі картини ОО1. Це доводить,

що пряма hh1, проведена через граничні точки

прямих, що належать предметній площині,

паралельна основі картини ОО1 та розміщена

Рис.ІІ.80.

O1

O2

O3

f

O

на висоті точки зору С. Ця пряма - лінія

f1

f3

O4

горизонту.

Побудова перспективи паралельних прямих.

Для пучка паралельних прямих, розташованих в предметній площині, існує одна

спільна гранична точка (фокус); дійсно, якщо подивитися на залізничні рейки, вони

сходяться в одній точці -

точці збігу так само, як об`ємні предмети,

що оточують нас

сприймаються нами з перспективним зменшенням. Розглянемо побудову перспективи

паралельних прямих. Візьмемо на предметній площині паралельні прямі АА∞

і

ВВ∞ ,

перпендикулярні до картини, які прямують в нескінченність (рис.ІІ.81). Продовжимо прямі

до перетину з основою картини і виявимо таким чином їх картинні сліди О2

та О3. Точку

зустрічі прямої з картиною називають картинним слідом.

Проведемо СР паралельно

прямим,

знаходимо точку Р. Для двох паралельних

прямих існує єдина точка збігу. Побудуємо перспективу кожної прямої. Для цього з`єднаємо

картинні сліди О2 і О3 з точкою Р.

Отже,

перспектива

всіх прямих,

паралельних прямим

АА∞ та

ВВ∞

в просторі, на

картині

збігається в

одній

точці

Р . Якщо ці прямі

перпендикулярні картині, то їх фокус збігається з точкою головного променя Р; якщо ж

направлені під випадковим кутом, то матимуть свої точки збігу на лінії горизонту.

а)

K

h1

C

P

O1

A∞

h

A

c

p

B∞

O2

B

H

O3

O

б)

K

P

h

h1

Рис.ІІ.81.

O1

p

O

O2

O3

Розглянемо, як буде зображатися перспектива точки на епюрі. Нехай на предметній

площині Н лежить точка А (рис.ІІ.85), яку необхідно побудувати в перспективі.

Із А проводимо перпендикуляр АО2

на основу ОО1. пряма АО2 - паралельна головному

променю СР; її граничною точкою буде

Р.

а)

б)

Перспектива прямої АО2

зображується

K

CK

K

на картині відрізком О2Р, на якому повинна

CK

h1

h

лежати

перспектива

точки

А.

Проведемо

з

h1

D1

P

точки зору С промінь в точку А. Промінь СА'

A'

O1

перетне пряму О2Р в точці А (рис.ІІ.85а). При

P

O

H

O2

суміщенні предметної площини з картинною

C

H ''

A''

(рис.ІІ.80б) разом з нею переміститься точка

A'

D

А,

яка

після

суміщення

розміститься

на

h

c

A

перпендикулярі О2А'' до основи картини ОО1.

p

О2

Якщо із суміщеної точки зору Ск провести

O

промінь в точку А'', то він обов`язково

перетне пряму О2Р

в точці А'

(перспектива

A''

точки А). Між точкою А на предметній

площині

Н і

зображенням

її

на картинній

H''

Рис.ІІ.85.

площині

встановилася

перспективна

відповідність.

Побудова

перспективи

кута

K

CK

В''А''Е'', що лежить в суміщеній пр едметній

площині Н'' (рис.ІІ.86). На картині задані:

головна точка Р і дистанційна D1 . Будуємо

h1

F1

D1

F

h

суміщену Ск. Для цього з точки Р встановимо

P

перпендикуляр і перетнемо його дугою D1Р,

взявши за центр точку Р. Продовжимо

B'

A'

E'

сторони кута В''А''Е'' і отримаємо на основі

O1

O2

O3

O

картини ОО1 картинні сліди О2, О3. З точки

B''

E''

Ск проводимо прямі: СкF1

паралельно

стороні А''Е'', та СкF паралельно А''В''.

H''

A''

Рис.ІІ.86.

таким чином на лінії горизонту отримаємо

фокуси F1, F. Перспектива кута В''А''Е'' – на перетині прямих О2F, О3F1. Перспективне

зображення віддзеркалене, тому що предметна площина Н суміщена з картиною.

Приклад 1. (рис.ІІ.87) А'В' -

Рис.ІІ.87.

перспектива відрізка загального

положення

K

B'

на картині. Необхідно поділити перспективу

відрізка А'В' на

рівні частини.

Поділимо

h1

1'

F

h

спочатку перспективу А'b' горизонтальної

проекції відрізка АВ на три рівні частини за

2'

допомогою прямої АЕ. З точок перетину ЕF ,

b

1F , 2F, А'b' до перетину з перспективою

відрізка А'В' встановимо перпендикуляри.

А'

Відрізки В'1', 1'2', 2'А – перспективно рівні.

E

1

2

O1

O

При

виконанні

перспективних

K

Рис.ІІ.90.

побудов дистанційні точки не завжди

розміщені в полі картинної площини, часто

D1

D1/2

D1/4

P

вони залишаються за її межами. В таких

h1

h

випадках

використовують

дробові

A'

дистанційні точки.

Приклад 3.

На прямій О2Р

задана

O1

O2

O5

O4

O3

O

перспектива

довільного

відрізка

О2

А'

(рис.ІІ.90). Натуральна величина відрізка О2

А'

K

CK

дорівнює О2О3. Розділимо відрізки РD1 і О2О3

навпіл,

відповідно точки D1/2, О4 . З`єднуємо

D1/2 і О4. Ця пряма проходить через точку А'.

CK/2

Якщо поділити відрізки D1/2 Р і О2

О4

ще

навпіл точками D1/4 і О5,

то пряма D1/4 О5

CK/4

також пройде через точку А'.

h1

D1

D1/2

h

Дробові

дистанційні

точки

дають

P

можливість знайти розмір відрізка в глибину,

коли

дистанційна

точка

знаходиться

за

A'

межами картини (рис.ІІ.91). Треба зауважити,

O5

що дробові дистанційні точки не працюють

O1

O

як точки збігу для паралельних прямих.

O2

O4

O3

H''

A''

Рис.ІІ.91.

Масштаб ширини.