Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Липецкий государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекц

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

2.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Площини, не паралельні та не перпендикулярні площинам проекцій, називаються

площинами загального положення.

Площини, перпендикулярні площи-нам проекцій, є площинами окремого положення і називаються проекціюючими.

Площина, перпендикулярна до горизонтальної площини проекцій,

називається горизонтально проекціюючою (рис.І.15а).

Площина, перпендикулярна до фронтальної площини проекцій, називається

фронтально проекціюючою (рис.І.15б).

Площина, перпендикулярна до профільної площини проекцій, є профільно проекціюючою (рис.І.15в).

П2

Рис.І.15.

f0≡f02

В2

f0≡f02

В2

f0≡f02

А2

А3

А2

П3

В2

С2

А2

В3

С2

р03≡р0

х12

h02≡f01

А1

В1

С3

В1

С1

h0≡h01

В1

С1

П1

h0≡h01

В2

f02

p03

f02

А2

А3

А2

В2

В3

А2

С2

С3

С2

х12

А1

В1

С1

А2

В1

h01

С1

h01

С1

а) горизонтально проекціююча

б) фронтально проекціююча

в)

профільно проекціююча

Площини, паралельні площинам проекцій, називаються площинами рівня. Відсіки

площин рівня на відповідних площинах проекцій зображуються в натуральну величину.

Площина,

паралельна

горизонтальній

площині

проекцій

(рис.І.16а), називається

горизонтальною площиною. Площина, паралельна фронтальній площині проекцій,

називається фронтальною площиною (рис.І.16б).

Площина, паралельна профільній площині

проекцій, – профільна площина рівня (рис.І.16в).

П2

f02

Рис.І.16.

В2

А2

А3

А2

С2

В2

f02

П3

С2

В3

С2

х12

А1

h01

С3

А1

В1

А1

В1

С1

h01

С1

П1

В1

А2

С2

В2

f02

В2

А2

f02

В3

А2

В2

х12

С2

С3

х12

А1

х12

А1

В1

h01

С1

А1

В1

С1

В1

h01

а) горизонтальна площина

б) фронтальна площина

в) профільна площина

ПОЗИЦІЙНІ ТА МЕТРИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ

ПАР ПРОЕКЦІЙ ГЕОМЕТРИЧНИХ ЕЛЕМЕНТІВ

Задачі в нарисній геометрії підрозділяється на позиційні та метричні.

Позиційними

називаються

задачі

–

визначення

взаємного

положення

та

взаємоналежності

геометричних елементів (належність,

паралельність, перпендикулярність,

перетин…). Метричними називаються задачі на визначення довжин відрізків, відстаней між

геометричними елементами, величину кутів…).

Взаємне положення геометричних елементів

Точка і пряма

A a; C a; D a

Точка може належати або не належати

прямій.

А2

С2

Точка належить прямій, якщо відповідна

П2

проекція точки належать відповідній проекції

x П1

прямої (індекси

проекцій

точки

та

індекси

А1

С1

проекцій

прямої

повинні

бути однакові). На

рис. І.17 показано пряму а та точки А, С, D.

Рис.І.17.

Точка

А, проекції якої належать

відповідним проекціям прямої а, належить цій прямій. Точка С не належить прямій

а,

бо її

горизонтальна проекція не належить горизонтальній проекції прямої. Точка D не належить

прямій а, бо точка і пряма знаходяться в різних октантах.

Для

двох

проекцій

(фронтальної

та

А2

А3

А2С2

А1С1

горизонтальної)

профільної

прямої

умови

належності недостатні, бо якщо пряма і точка

С2

А2В2

А1В1

належать одній профільній площині, то

С3

проекції точки завжди належать проекціям

В2

В3

прямих.

цьому

випадку

треба

внести

П2

однозначність,

яка

полягає

тому,

що

П1

А1

профільна проекція точки повинна належати

профільній проекції прямої або, що аналогічно,

С1

повинна своїми проекціями ділити проекції

довільно зафіксованого на прямій відрізка в

В1

одному й тому ж відношенні(рис.І.18 ).

Рис.І.18

Дві прямі

а)		К2	а2
		К2
x	П2		b2
x	П1
	П1		b1
			b1
		К1	а1
			а1
б)			а2
			а2
	П2		b2
x	П2
x	П1	а1	b1
			b1
			Рис.І.19.

Прямі можуть перетинатися, якщо мають одну власну чи невласну спільну точку, або бути мимобіжними, якщо вони не мають спільної точки.

Сформулюємо властивості: якщо точки

перетину однойменних проекцій прямих належать одній вертикальній лінії зв’язку, - прямі перетинаються (рис.І.19а);

якщо однойменні проекції прямих паралельні між собою (мають невласну точку перетину), - прямі паралельні (рис.І.19 б); якщо точки перетину однойменних

проекцій прямих не належать одній вертикальній чи горизонтальній лінії зв’язку, - прямі мимобіжні (рис.І.20).

Звернемося до рис.І.20, де зображено дві мимобіжні прямі. Фронтальні проекції перетинаються в точці 12=22, а горизонтальні - в точці 31=41.

Ці точки називаються конкуруючими. Конкуруючі точки (точки, що належать одній проекціюючій прямій) використову-ють при визначенні видимості геометричних фігур.

Для визначення "накладання" їх на проекціях візьмемо конкуруючі точки 12=22 відносно поля П2, точки 31=41 відносно поля П1. Завдяки тому, що точка3 розміщена вище точки 4, на полі П1 пряма s "перекриває" пряму t. Точка 1 знаходиться ближче точки 2, тому на полі П2 пряма s "перекриває" пряму t.

П2					a)
		12≡22	32
			42	t2
s				t2
s
		21
		1		31≡41	t1
		s1			П1
					П1
		12≡22	32	s2	б)
		12≡22			б)
П2			42	t2
			42

П1	t1	21
	t1			s1
				s1
		11	31≡41
			31≡41		Рис.І.20.
					Рис.І.20.

Проекціювання плоских кутів.

Розглянемо особливості їх проекціювання:

1.Якщо площина, в якій лежить кут, перпендикулярна до площини проекцій, то він проекціюється в пряму (рис.І.21а).

2.Якщо сторони кута паралельні площині проекцій, то він проекціюється у натуральну величину (поділ кута в просторі у певному співвідношенні, призведе поділ його проекції у тому ж співвідношенні) рис.І.21б.

3.Якщо площина тупого або гострого кута не перпендикулярна до площини проекцій, і хоча б одна з його сторін паралельна до площини проекцій, то проекція тупого кута являє собою тупий кут, а проекція гострого – гострий (рис.І.21в).

4.Якщо площина прямого кута не перпендикулярна до площини проекцій і хоча б одна з його сторін є лінією рівня, то прямий кут проекціюється у вигляді прямого кута на ту площину, де знаходиться натуральна величина тієї сторони, що є лінією рівня

(рис.І.21г).

а)	б)	в)	г)
		h	h
			h1
		h1
П1
Рис.І.21.

Пряма та площина
Пряма належить площині, якщо дві її точки належать площині	(рис.І.22 а) або

коли вона проходить через точку, що належить площині, та паралельна другій прямій, що належить площині (рис.І.22 б). Для задання прямої, що належить площині, досить задати її горизонтальну чи фронтальну проекцію.

На рис. І.22в показано випадок, коли площина - трикутний відсік АВС та пряма l - займають горизонтально проекціююче положення. Горизонтальна проекція трикутного відсіку ніби збирає на себе проекції всіх фігур, що належать площині відсіку. Належність горизонтальних проекцій відсіку та прямої дозволяє стверджувати, що в цьому випадку пряма l належить площині відсіку.

Крім того є лінії, що належать площині і займають окреме положення. До таких ліній можна віднести лінії рівня та лінії найбільшого нахилу площини до площин проекцій. Лініями

рівня площини називають лінії, що належать даній площині та паралельні одній з площин проекцій.

Горизонталь (h) - це лінія, що належить заданій площині та паралельна П1. Фронталь (f)

це лінія, що належить площині та паралельна П2. Профільна пряма (p)

- лінія,

що належить

площині та паралельна профільній площині проекцій П3.

(а // в)

С (АВС)

с2

l (ABC)

а2

с2

А2

в2

П2

x П1

П1

В1

П2

xП1

в1

с1

а1

А1

а)

б)

в)

Рис.І.22.

≡ 11 ≡ 21

а)

К2 f2

На рис. І.23а

проведено горизонталь

АВ і

В2

А2

П2

фронталь DK в площині трикутника АСD.

б)

f і

На рис.І. 23

проведено

фронталь

П1

горизонталь h в площині, заданій слідами.

f2o

В 1

Горизонталь

та

фронталь

часто

К1

використовуються

при

заданні

площини,

що

А1

дозволяє виявити її орієнтацію відносно площин

проекцій. Сліди площини є крайніми

положеннями горизонталі h чи фронталі

f; їх в

h2o≡f1o

цьому випадку називають нульовими (рис.І.23 б ).

h1o

Рис.І.23.

Лінії найбільшого нахилу площини до площин проекцій - лінії, що належать площині

та утворюють найбільший кут з відповідною площиною проекцій. Зокрема,

по відношенню

до поля

П1

їх ще називають лініями найбільшого скату. Лінія найбільшого нахилу до

площини П1

утворює прямий кут з проекцією горизонталі (рис.І.24 а), а лінія найбільшого

нахилу до площини П2 – прямий кут з фронтальною проекцією фронталі (рис.І.24 б).

а)

В2

с2

б)

В2

А2

С2

А2

П2

С2

П2

x П1

В1

x П1

С1

А1

В1

с1

С1

Рис.I.24.

Перетин прямої та площини.

Задача на перетин прямої з площиною вважається першою основною позиційною

задачею.

рис.І.25а

На

показано

випадок,

коли

а)

l ∩ (ABC)=2

12 ≡ 32

площина

вигляді

трикутного

відсіку

знаходиться

горизонтально

проекціюючому

положенні,

пряма

займає

загальне

положення. В цьому випадку точка

перетину

прямої з площиною визначається безпосередньо

П2

на полі П1 як точка перетину проекції прямої та

П1

площини;

фронтальна

проекція

точки

визначається за вертикальною відповідністю.

3 метою підвищення наочності рисунка

вважаємо

трикутний відсік

непрозорим,

і тоді

частина відрізка прямої буде невидимою, бо він

"перекривається" на полі П2, площиною.

б)

l ∩ (ABC)=К 12

Позначимо на полі

П2

точку перетину проекції

прямої l із проекцією сторони відсіку A2B2,

за

1'2

32≡42

допомогою вертикальної лінії зв’язку визначимо

точку 11

на прямій та точку

на площині.

Оскільки

точка 1 ближче

до

спостерігача, ніж

П2

точка

–

пряма

цій

точці

"перекриває"

П1

проекцію сторони A2B2 , і тому проекція відрізка

Γ1

прямої до точки перетину з площиною видимий,

а далі частина його закривається площиною.

11≡1'1

На рис. І.25б

зображено випадок,

коли і

площина, і пряма займають загальне положення.

Для

визначення

точки

перетину

прямої

Рис.І.25.

площиною в цьому випадку доцільно застосувати допоміжну площину, яка проходить через пряму і є проекціюючою по відношенню до однієї з площин проекцій. Алгоритм розв’язання задачі складається з трьох операцій: І) через пряму проводять допоміжну площину; 2) знаходять лінію перетину заданої площини з допоміжною; 3) визначають точку перетину двох

прямих - заданої та лінії перетину.
На рис.І.25б	через пряму проведено горизонтально проекціюючу площину Г, знайдено
лінію перетину	двох площин - пряму 1-2 (її	горизонтальна проекція 1121), за
горизонтальною визначено фронтальну проекцію 1222.		В перетині l2 та 1222 знайдено шукану

точку К2 - перетин прямої з площиною (її горизонтальна проекція визначається за вертикальною лінією зв’язку).

Видимість відрізків прямої l визначена за допомогою конкуруючих точок 3,4.

Паралельність прямої та площини.

В2

Пряма

паралельна

площині,

якщо

вона

паралельна будь-якій прямій, що лежить у цій

А2

площині.

На рис. І.26а пряма k паралельна площині

П2

С2

трикутника АВС,

тому що вона паралельна прямій

б)

В1

ВС, яка є стороною цього трикутника (k1II B1C1; k2

А1

II B2C2 ). Прямаm паралельна площині трикутника

f02

АВС, тому що вона паралельна прямійh (m1II

h1;

m2II h2). На рис.І.2б пряма l паралельна площині

С1

α(f0

∩h0) , тому що вона паралельна прямій а, яка

лежить в

цій площині (l1IIa1;

l2IIa2). Пряма

паралельна

площині, оскільки

вона

паралельна

h02 ≡ f01

горизонтальномуслідуплощини (t1II h01; t2II h02).

t 1

h01

Перпендикулярність прямої

l 1

Рис. І.26.

та площини.

Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до двох прямих, що

перетинаються та належать цій площині. Беручи до уваги властивості проекцій прямого

кута,

доцільно

вибрати

лінії

рівня, тобто

горизонталь та фронталь.

На рис.І.27а

показано трикутний відсік,

сторона якого АС є горизонталлю, а АВ -

х П2

фронталлю.

Щоб

точки

опустити

перпендикуляр

на

площину цього

відсіку,

б)

П1

f2o

досить провести фронтальну проекцію його

перпендикулярно

до

фронтальної

проекції

фронталі

А2В2,

горизонтальну

перпендикулярно до горизонтальної проекції

П2

h2o≡f1o

горизонталі А1С1.

Звідси: проекція прямої,

x П1

перпендикулярної

до

площини,

на

горизонтальній

проекції

площини

h1o

перпендикулярна до проекції горизонталі, на

фронтальній - перпендикулярна до проекції

А2

x П2

фронталі площини. На рис. І.27б побудовано

в)

перпендикуляр до площини, заданої слідами.

П1

На рис.І.27в для побудови перпендикуляра

довелося спочатку

побудувати

лінії

рівня

Рис.І.27.

А1

площині трикутника, а потім побудувати проекції перпендикуляра.

Точкатаплощина

Точка може належати площині або не належати їй. Це визначається за

допомогою прямої, що належить площині.

На

рис.І.28

показано

відсік площини Q,

заданий двома паралельними прямими m, n та

A,B Q(mIIn)

точки А, В, D. Точки А,

В належать площині Q,

D Q(mIIn)

бо точка В лежить

на

прямій n, якою

задана

площина. Щоб виявити належність точкиА, через

точку проведено довільну пряму 1-2. Точка А

належить площині Q, оскільки точка належить

проведеній прямій 1-2,

що належить площині, а

П2

точка D не належить площині, бо тільки фрон-

П1

тальна проекція її належить фронтальній проекції

прямої – 1222, а горизонтальна проекція не

належить 1121.

Звідси

можна

сформулювати

таку

властивість.:

точка

належить площині,

якщо

Рис.І.28.

обидві її проекціїлежатьнатихсамихпроекціях

прямої, що належить площині.

Дві площини

Перетин двох площин.

Якщо дві площини не збігаються, то вони завжди перетинаються. Якщо лінія їх перетину

– невласна пряма, – площини паралельні. Тому, щоб з’ясувати взаємне положення двох

площин, знаходять лінію їх перетину, що є другою головною позиційною задачею.

Як

і при розв’язанні першої головної

позиційної задачі,

тут спостерігаються ті

самі три випадки: а) обидві площини є

проекціюючими відносно однієї й тієї ж

площини проекцій;

б)

одна з площин

–

проекціююча,

друга – загального положення;

П2

в) обидві площини загального положення. На

П1

рис.І.29а

показано два

вертикальні трикутні

відсіки.

Перетин їх

горизонтальних проекцій

визначає вертикальну лінію перетину двох

площин, яка за відповідністю визначається на

б)

полі П2.

ΣП

∩ (ABC)=12

рис.І.29б

одна

з площин,

що

На

перетинаються, займає загальне положення, а

друга –

горизонтально

проеціююча.

Лінія

взаємного перетину площин у даному випадку

П2

збігається на полі П1

горизонтальною

П1

проекцією проекціюючого відсіку – це

пряма 1121. За вертикальною відповідністю

визначається

фронтальна

проекція

лінії

перетинудвох площин.

Рис. І.29.

На рис.І. 30а показано визначення лінії перетину двох відсіків загального положення. Лінію перетину визначено за точками перетину двох сторін одного відсіку з площиною другого, що є двічі розв’язана перша позиційна задача. З цією метою через пряму СВ проведено фронтально проекціюючу площину Ф, а через пряму СА – фронтально проекціюючу площину Г. На цих двох прямих знайдено точки перетину їх з площиною, які й визначать лінію перетину двох площин.

На рис.І.30б показано перетин двох площин, одна з яких задана слідамиQ, (f 0 ∩ h0), а друга – паралельними прями G(a II b). Для побудови лінії перетину площин знаходимо точку перетину прямої а з площиною Q, прямої b з площиною Q, потім, сполучивши відповідні проекції точок перетину А і В, отримуємо проекції лінії перетину двох площин.

а)

Г2

(ABC) ∩ (KED) = MN

б)

Φ2

а2

M2 22

(a II b) ∩ (f0 ∩ h0)

П2

21 42

h01 ≡ f 02

П1

П2

П1

Рис.І.30.

(ABC) II (f 0 ∩ h0)

f °2

Паралельність двох площин.

Коли лінія перетину двох площин – невласна

C2 h2

пряма, топлощини паралельні між собою.

П2

h°1

≡ f °2

Ознакою паралельності є паралельність двох

прямих, що перетинаються, однієї площини,

П1

двом прямим, що перетинаються, другої

. На рис.І.31а показано дві паралельні пло-

h°1

щини. Одну задано слідами, а другу – трикутним

відсіком АВС; сторона відсіку АВ є фронталлю, а

б) (ABC) II (m ∩ n)

m2 B2

АС – горизонталлю площини. На рис.І.31б

показано дві паралельні площини, одна з яких

задана трикутником АВС, а друга – прямими m і

n, що перетинаються.

П2

П1

Рис.І.31.

Перпендикулярність двох площин.

Дві площини перпендикулярні, якщо одна з площин проходить через перпендикуляр до другої площини.

Проведемо площину, перпендикулярно до заданої, використовуючи розглянуту властивість, згідно з проведенням перпендикуляра до площини. На рис.І.32 площину Q задано горизонталлю h та фронталлю f. Через точку В до цієї площини проведемо перпендикуляр n. Якщо через будь-яку точку прямої n провести довільну пряму, то вона разом з перпендикуляром задає площину, перпендикулярну до заданої. Беручи до уваги, що пряму проводять довільно, їх може бути нескінченна множина. На рис.І.27 показано приклади побудови прямої, перпендикулярної до площини.

n2	G(n∩ t) Q (h∩ f)
	В2
t1	f2
	f2

	П2	A2	h2	C2
х	П2
	П1	A1	f1
		A1	f1
	t1
		В1		h1
Рис.І.32.		n1		C1
Рис.І.32.				C1

Метричні задачі.

Різновидів метричних задач багато, але кожен з них включає в себе дві основні метричні задачі: перша - на визначення відстані між двома точками; друга полягає у проведенні

перпендикуляра до площини, для визначення відстаней між прямими,площинами,

точкою та площиною. На основі вказаних задач можна розв’язати будь-яку метричну задачу.

1.Відстань від точка до прямої

При окремому положенні прямої відстань від точки до прямої може проекціюватися на одну із площин проекцій у натуральну величину. Це можливо за таких умов:

а) відстань від точки до прямої проекціюється в натуральну величину на горизонтальній проекції, якщо пряма горизонтально проекціююча, і на фронтальній, якщо пряма фронтально проекціююча. На рис. І.33а показано вертикальну пряму в та точку А . Відстань між прямою і точкою зобразиться без спотворення на полі П1;

б) відстань від точки до прямої проекціюється в натуральну величину на горизонтальній проекції, якщо площина, що задана точкою та прямою, – горизонтальна, і на фронтальній проекції, якщо ця площина фронтальна.

	A0			Σ 2
			12	h2
	A2
	22	B2	11
	22		11
	c2	f2
		f2
x П2
П1	c1
	c1
		B1
	A1			f1
	21
	h1
				Рис.І.34.

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.05.2015898.13 Кб280Лабораторный практикум по АИС (12 лаб работ).docx
#
11.05.2015353.78 Кб12ЛГТУ методичка- менеджмент.pdf
#
17.03.201680.38 Кб16ЛГТУ. Бухучёт. 2015. Oformlenie.doc
#
11.05.2015346.18 Кб153ЛГТУ_sto-13-2011.pdf
#
17.12.20181.91 Mб7Лекц Микроэк-ка 1 семестр.doc2.doc
#
11.05.20152.18 Mб43Лекц.pdf
#
11.05.2015501.76 Кб27Лекції УІД.doc
#
11.05.20155.84 Mб767лекции для сам.работы.doc
#
11.05.2015102.4 Кб14Лекции для ТЛП по Метрологии.doc
#
11.05.2015333.82 Кб185Лекции по ЗПП.doc
#
14.09.2019261.63 Кб1лекции по ИТ_3базы_данных.doc