Лекц
.pdf
|
|
|
Перетин кривої поверхні площиною загального положення. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Метод січних площин. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
На рис. І.94 показана побудова перерізу поверхні обертання площиною загального |
||||||||||||||||||||
положення за допомогою допоміжних січних площин. Будь-яка січна площина перетинає |
||||||||||||||||||||
задану січну площину по прямій лінії, а поверхню |
- по |
лінії |
її каркаса. |
Ці |
дві |
лінії, |
||||||||||||||
перетинаючись між собою, визначають точки, спільні для поверхні та заданої січної площини. |
||||||||||||||||||||
Використання множини січних площин дає змогу побудувати множину точок лінії перерізу. |
||||||||||||||||||||
Отже, розв’язання задачі зводиться до вибору множини допоміжних площин, що перетинають |
||||||||||||||||||||
поверхню по простих лініях каркаса (прямих або колах), які можна накреслити інструменталь- |
||||||||||||||||||||
но без допоміжних побудов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
||||
На рис.І.94 |
січна площина загального положення задана фронталлю |
та горизонталлю |
||||||||||||||||||
h. Для розв’язання задачі використані допоміжні січні горизонтальні площини, які |
||||||||||||||||||||
перетинають поверхню по колах, та горизонтально проекціюючі площини, що перетинають |
||||||||||||||||||||
поверхню по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
меридіанах. Спочатку визначають характерні точки проекцій перерізу. До них належать |
||||||||||||||||||||
точки на контурному меридіані, а також найвища та найнижча точки лінії перерізу. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Для визначення точок 1 та |
8 |
перерізу, що лежать на контурному меридіані, проведено |
||||||||||||||||||
допоміжну |
фронтальну |
площину |
Т, |
що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
проходить через вісь поверхні та перетинає її по |
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
цьому меридіану. Задана січна площина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
перетинається допоміжною площиною Т по |
|
|
f2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
фронталі, горизонтальна проекція якої збігається |
|
|
|
32І |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
з Т , а фронтальна проекція паралельна f2 |
та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
проходить через точку A2 перетину горизонталі |
|
|
|
В2І |
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
h з Т. Горизонтальні проекції точок 1 та 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
знайдено за відповідністю в площині Т. Для |
|
|
|
|
42 |
|
|
K2 |
|
52 |
|
Г2 |
|
|||||||
визначення найвищої точки 3 перерізу через вісь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
проведено |
допоміжну |
січну |
горизонтально |
|
П2 |
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
82 |
Г2 |
1 |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
h2 |
|
|
|
|
|
І |
|
||||
проекціюючу площину Т , перпендикулярну до |
П1 |
|
|
|
|
72 |
|
C2 |
62 A2 |
|
||||||||||
горизонталі h. Площина Т1 перетинає задану |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
площину по лінії найбільшого нахилу ВС, |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
поверхню - по меридіану. Одержані лінії перетину |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|||||||
повернуто у |
фронтальне |
положення |
обертанням |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
навколо осі |
поверхні. У |
повернутому положенні |
|
f1 |
|
|
B1 |
S1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
K1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
меридіан перерізуповерхні площиною Т1 збігається |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
81 |
Т1 |
|
|||||||||
з фронтальною проекцією контуру поверхні. |
|
|
В1І |
|
|
C1І |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
||||||||||||
Таким чином, визначаються основні проекції точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61 |
|
|
|||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
Проміжні |
|
точки |
шуканого |
перерізу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
визначаються |
за |
допомогою |
горизонтальних |
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
січних площин |
Г і Г1, |
кожна з них перетинає |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Т11 |
|
|||||||
задану площину по горизонталях, а поверхню - |
|
|
|
|
|
h1 |
|
|
|
|
Рис.І. 94. |
|||||||||
по колу, горизонтальна проекція якого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
проекціюється без спотворення. Коло і горизонталь в одній допоміжній площині |
||||||||||||||||||||
перетинаються в двох точках, щоналежать шуканомуперерізу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Спосіб перетворення проекцій |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
На рис.І. 95 задані прямий круговий конус і площина загального положення (слідами). |
||||||||||||||
Для знаходження проекцій лінії перетину площини з поверхнею площину способом заміни |
|||||||||||||||
площин |
проекцій |
перетворюють |
у |
проекціююче положення. |
|
Для цього вводять |
нову |
||||||||
площину перпендикулярно до горизонтального сліду заданої січної площини (П1П4). На П4 |
|||||||||||||||
січна площина проекціюється в лінію G4. Оскільки січна площина проходить через основу |
|||||||||||||||
конуса, в перерізі отримаємо не повний, а зрізаний еліпс. Точки 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 на проекціях |
|||||||||||||||
П1 і П2 знаходяться за відповідністю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Щоб знайти натуральну величину косого перерізу, треба ввести площину паралельно |
||||||||||||||
до площини G4. Вісь х45 |
зміщена для зручності побудови, і на неї |
|
|
|
|
|
|
||||||||
перенесені відстані між проекціями точок косого перерізу на G4. |
На |
П5 |
косий переріз |
||||||||||||
проекціюється в натуральну величину. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
45 |
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62 |
82 |
92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85 |
|
|
||
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
П2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
11 |
h ≡f |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
55 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
41 |
61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
84 |
П5 |
|
||
|
|
|
S1 |
|
|
|
|
4 ≡5 |
|
|
x |
||||
|
|
|
|
91 |
|
|
|
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
64 ≡ 74 |
П4 |
|||||
|
|
|
|
|
71 |
|
|
|
24≡34 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
h1 |
|
64 ≡ 74 |
84 |
G4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
24≡ 34 |
44≡ 54 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г4 |
|
|
|
S4 |
|
|
|
|
Рис.І. 95. |
|
Перетин поверхонь другого порядку з прямою лінією
Для побудови точок перетину прямої АВ з циліндром другого порядку загального положення (рис.І.96б) можна через пряму побудувати допоміжну січну площину, яка перетне циліндрпопрямолінійних твірних.
Точки перетину проекцій прямої К і М та знайдених твірних циліндра і будуть шуканими. Видимість точок перетину та ділянок прямої визначаються за таким правилом.Точка перетину на проекціях вважається видимою, якщо вона належить видимій твірній циліндра, і, навпаки,– невидимою, якщо вонаналежить невидимій твірній.
|
|
|
a) |
|
S2 |
|
|
б) |
А2 |
|
в) |
А2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К2 |
|
|
K2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М2 |
|
О2 |
M2 |
В2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
А2 |
К2 |
|
В2 |
|
|
|
|
В2 |
|
|
|
|
|
|
|
М2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
П2 |
|
|
|
|
22 x |
П2 |
|
|
22 |
П1 |
|
|
В1 |
|
П1 |
12 |
|
|
|
П1 |
12 |
|
|
21 |
|
|
M1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О1 |
В4 |
|||||
|
|
|
31 |
|
|
41 |
|
|
|
|
В1 |
|
|||
|
11 |
|
|
М1 |
|
|
|
|
|
|
с1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M4 |
|||||
|
А1 |
К1 |
21 |
|
|
|
|
М1 |
|
K1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с4 |
|||||
|
|
|
|
|
S1 |
В1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
К1 |
|
|
А1 |
|
K4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А1 |
|
|
П1 |
П4 |
|
|
|
|
Рис.I.96. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
А4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Побудова точок перетину прямої з конічною поверхнею може бути виконана аналогічним чином (рис.І.96а). Але треба мати на увазі, що тільки та площина перетне конус по прямолінійних твірних, яка проходить через вершину конічної поверхні. Для цього через вершину конуса та точки прямої А і В проведемо допоміжну січну площину. Остання перетне конус по прямолінійних твірних S131 та S141. Точки перетину проекцій прямої та знайдених твірних будуть шуканими. Видимість точок перетину К і М визначається за правилом, наведеним вище.
На рис.І.96в побудовано лінії перетину прямої з поверхнею сфери за допомогою методу заміни площин проекцій. Нова площина проекцій П4 (горизонтально проекціююча) проведена через пряму АВ, перетинає сферу по колу з центром с, яке проекціюється в натуральну величину на П4. На П4 знайдені точки перетину прямої АВ зі сферою (М4 К4) і по лініях зв’язку перенесені на П1 та П2.
Розгортки циліндричних та конічних |
|
|
10 |
|
80 |
|
|
|
|
||||||||||
поверхонь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розгортка |
відсіку |
циліндра обертання |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(рис.І.97) може бути по |
|
будована |
точно |
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|||||||
завдяки тому, що довжина розгортки l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
дорівнює довжині кола нормального перерізу |
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
||||||||||
циліндра |
|
горизонтальною |
площиною |
Г: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
l = 2πr, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
|
f |
|
|
|
|
де r - |
радіус кола нормального перерізу. |
Г2 |
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
||
Для побудови розгортки ліній перерізу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
циліндра |
площинами К та |
Р |
коло його |
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|||||||
нормального перерізу поділено на 8 частин. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
На таку саму кількість рівних частин поділено |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|||||||||||
відрізок прямої, який є розгорткою |
П2 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
||||||||||
нормального |
перерізу. |
Довжина |
кожної |
x |
|
71 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
твірної циліндра перенесена на розгортку за |
П1 |
61 |
|
81 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
відповідністю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Розгорткою конуса обертання є сектор, |
|
51 |
|
|
11 |
|
|
|
|||||||||||
довжина дуги якого дорівнює довжині кола |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
основи конуса 2πr (рис.І.98). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для |
|
побудови |
точної |
розгортки |
|
41 |
31 |
|
21 |
|
|
Рис.І.98. |
|||||||
визначають |
кут |
f |
між |
двома |
граничними |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
радіусами сектора, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
де |
r |
- довжина радіуса основи конуса; |
Р2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
l - довжина твірної конуса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
f = |
360оr |
|
|
|
|
Г2 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 10 |
||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для побудови розгортки будь-якого |
К2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
перерізу конуса, наприклад, площиною Г , на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
поверхні конуса та на розгортці визначають |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
певну кількість |
|
|
твірних з постійним |
|
61 71 |
81 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
кроком. Довжину відрізка кожної твірної від |
51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
вершини |
S |
до |
|
перерізу |
визначають |
за |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
допомогою |
його |
|
обертання |
навколо |
осі |
41 |
21 |
|
|
|
|
|
Рис.І.97. |
||||||
конуса до |
|
|
фронтального |
положення. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Розгортки циліндрів та конусів, які не є |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
поверхнями обертання, будують наближено. На рис.І.99 еліптичний циліндр задано в загаль- |
|||||||||||||||||||
ному положенні, тому його твірні зображуються на проекціях спотворено. Для побудови |
|||||||||||||||||||
розгортки його поверхні методом розкатки спочатку виконана заміна фронтальної площини |
|||||||||||||||||||
проекцій так, що на новій проекції твірні зобразились в натуральну величину (нова площина |
|||||||||||||||||||
вводиться паралельно до горизонтальної проекції твірної). Потім бічна поверхня циліндра |
|||||||||||||||||||
апроксимована призмою, бічні ребра якої збігаються з дискретним каркасом твірних |
|||||||||||||||||||
циліндра. Точність розгортки залежить від кроку дискретного каркаса твірних. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
Для побудови розгортки конуса другого порядку (рис.І.100) його апроксимують |
|||||||||
пірамідою, ребра якої збігаються з дискретним каркасом прямолінійних твірних конуса. |
||||||||||
Розгортка піраміди за своїми розмірами наближається до розгортки конуса. Точність цього |
||||||||||
наближення залежить від кроку дискретного каркаса конуса. Натуральні величини твірних |
||||||||||
конуса визначають їх обертанням навколо вертикальної осі, що проходить через вершину S |
||||||||||
конуса. Твірна S161, наприклад, повернута в |
|
|
|
|
|
|||||
положення S1611, фронтальна проекція якої є |
|
Рис.І.100. |
|
60 |
|
|||||
натуральною величиною S6. Після визначення |
|
|
|
70 |
|
|||||
натуральних величин усіх твірних розгортка |
|
|
|
|
||||||
поверхні будується як сукупність трикутників, |
|
|
|
|
|
|||||
усі сторони яких відомі. Для побудови лінії |
|
|
|
80 |
|
|||||
будь-якого перерізу конуса площиною на |
|
|
|
|
|
|||||
розгортці спочатку виявляють положення точок |
|
|
|
10 |
|
|||||
перерізу на натуральних величинах твірних, а |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
потім на твірних розгортки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
72 |
|
12=52 |
|
|
|
221 |
|
121 |
621 |
|
x П2 |
|
62=82 |
22=42 |
32 |
|
|
321 |
421 821 521 721 |
|
|
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
711 |
611 |
|
|
|
11 |
|
|
S1 |
211 1 |
1 |
41 81 51 |
|
|
Рис.І.99. |
81 |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
71 |
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
61 |
51 |
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
П2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П1 П4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Взаємний перетин |
криволінійних поверхонь. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Лінія, яка утворюється як |
множина |
спільних точок |
двох |
поверхонь, |
що |
|||||||||||||
перетинаються, називається лінією взаємного перетину. Лінію перетину поверхонь |
||||||||||||||||||
будують по точках зустрічі ліній однієї поверхні з іншою або по точках перетину ліній |
||||||||||||||||||
каркасів двох поверхонь. |
|
|
|
|
|
Для |
побудови |
точок |
лінії |
|
взаємного |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Г |
|
|
|
|
|
|
перетину двох поверхонь застосовуються два |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
способи: перетворення |
|
проекцій та |
допоміжних |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
перерізів. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Спосіб допоміжних перерізів. |
|
|
|
||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для визначення лінії взаємного перетину |
|||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
двох поверхонь способом допоміжних перерізів |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
їх перетинають третьою поверхнею Т - |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Т |
|
|
|
|
|
|
|
посередником (рис.І.101). Лінії т та n перетину |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
допоміжної |
поверхні |
|
Т |
двома |
даними |
||||||
|
|
|
Ф |
|
|
|
поверхнями, перетинаючись між собою, дають |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
точки шуканої лінії перетину. |
Виконуючи таку |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
операцію кілька разів, можна одержати |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
необхідну кількість точок для проведення |
||||||||||
|
|
|
|
Рис.І. 101. |
|
кривої взаємного перетину. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Допоміжні січні поверхні слід вибирати |
|||||||||
так, щоб лінії m |
та n були прямими або колами і не потребували додаткових побудов . |
|||||||||||||||||
Найчастіше за січні поверхні приймаютьплощини та сфери. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В цих випадках спосіб допоміжних перерізів |
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
називають |
відповідно |
способом |
допоміжних |
|
|
|
|
iЕ2 |
|
iЕ2' |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
січних площин або способом допоміжних січних |
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
сфер. Допоміжні січні площини можуть займати |
|
G2 |
|
12 |
12' |
|
|
|
|
|||||||||
загальне положення або окреме відносно площин |
|
52 |
|
62 |
|
|
|
|
||||||||||
проекцій. Частіше в практиці використовують |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
площини окремого положення. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Спосіб |
допоміжних |
січних |
|
площин |
|
Q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
32 |
|
|
|
42 |
|
|
|
|
||||||||
окремого положення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RЕ2 |
|
|
|
|
|||
Спосіб січних площин окремого положення |
Г2 |
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
доцільний |
тоді, |
коли |
в |
результаті |
|
перерізу |
К2 |
К |
|
|
|
22 |
|
82 |
|
|
||
кривих поверхонь площинами утворюються на |
R 2 |
|
|
|
|
|
|
22' |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
проекціях прямі лінії або кола. |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
На рис.І.102 показано визначення лінії |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
взаємного перетину прямого кругового конуса та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
еліпсоїда. Для визначення точок, які належать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
лінії взаємного перетину двох поверхонь, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
доцільно |
скористатись |
множиною |
|
|
|
|
|
61 |
41 |
|
|
|||||||
горизонтальних допоміжних січних площин, |
|
|
|
|
11' |
|
|
|||||||||||
|
|
|
S1 |
|
|
|
21' |
|
||||||||||
кожна з яких перетинає поверхні обертання по |
|
|
51 |
|
iЕ1' |
|
|
|
|
|||||||||
колах певних радіусів. На початку визначимо |
|
31 |
|
|
11 |
|
|
81 |
|
|
||||||||
проекції вищої та нижчої точок |
1 |
і |
2 |
лінії |
|
|
|
|
iЕ1 |
|
|
|
|
|
||||
перетину. Для цього вісь еліпсоїда іЕ1 |
обертаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
до суміщення з фронтальною площиною, в якій |
|
71 |
|
|
21 |
|
|
|
|
|||||||||
знаходиться вісь конуса (іЕ1'). На П2 обрис |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
оберненого |
еліпсоїда |
(показаний |
пунктиром) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.І.102. |
||||||
перетинає обрис |
конуса в |
точках |
12' |
і |
22', які |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
задають рівень (Т) найвищої, та рівень (К) найнижчої точок лінії перетину. Методом обертання знаходимо 11 і 21.
Виберемо декілька горизонтальних січних площин Г, Q, G, що лежать між Г і Т . Наприклад площина Г перетинає поверхні по колах з радіусами RК та RЕ. Пари кіл, що належать одній січній площині, перетинаючись між собою, дають точки шуканої лінії 7 і 8. Видимими точками лінії перетину вважаються ті, які одночасно належать двом видимим твірним конусів, що перетинаються.
Побудова лінії взаємного перетину двох поверхонь, одна з яких проекціююча.
Найпростіший випадок взаємного перетину двох кривих поверхонь - коли одна з поверхонь займає проекціююче положення. Проекціюючою може бути тільки циліндрична поверхня. Відповідно до властивостей проекціюючих фігур одна проекція перетину двох поверхонь збігається з виродженою проекцією проекціюючої поверхні і задача зводиться до побудови другої проекції лінії перетину за принципом належності геометричній фігурі.
На рис.І.103а показано побудову лінії взаємного перетину фронтально проекціюючого циліндра обертання з прямим конусом. Фронтальна проекція лінії перетину збігається з виродженою проекцією циліндра. Тому безпосередньо на фронтальній проекції можна визначити точки перетину твірних конуса з поверхнею циліндра. Горизонтальні проекції цих точок визначають за відповідністю на горизонтальних проекціях твірних конуса. Характерними точками лінії перетину є точки 1≡2 та 3≡4 на контурних твірних циліндра. Вони відділяють видиму частину лінії перетину від невидимої. Тому для побудови горизонтальних проекцій цих точок через їх відомі фронтальні проекції проведені твірні SK та SM конуса. Невидима частина шуканої лінії належить невидимій частині поверхні циліндра.
На рис.І.103б побудовано лінії взаємного перетину горизонтально проекціюючого циліндра обертання з профільно проекціюючим циліндром обертання. Горизонтальна проекція лінії перетину збігається з виродженою проекцією вертикального циліндра. Тому на горизонтальній проекції можна визначити точки перетину твірних вертикального та горизонтального циліндрів. Фронтальні проекції цих точок будуються по лініях зв’язку на відповідних твірних.
а) |
|
|
|
S2 |
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52 ≡ 62 |
Г2 |
|
32 |
|
72 |
|
|
|
|
|
42 |
22 |
62 |
82 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
12≡22 |
32≡42 |
|
|
52 |
12 |
92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
142 |
122 |
162 |
182 |
|
П2 |
K2 |
72 ≡ 82 |
M2 |
|
132 |
|
172 |
|
х |
х |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K1I |
|
81 |
M1I |
W1 |
51 |
|
91 |
|
|
|
|
Т1 |
41≡141 |
81≡ 181 |
|||
|
|
|
|
61 |
|
||||
|
|
|
21 |
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q1 |
31≡131 |
71≡171 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
S1 |
|
Г1 21≡121 |
|
61≡161 |
|
|
|
|
|
|
|
G1 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
51 |
31 |
|
|
|
|
|
|
K1 |
|
M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.І.103. |
Спосіб січних сфер. |
|
|
|
|
|
|||
Спосіб січнихсфер поділяється наспосіб концентричнихсічних сфер,коли осі сфермаютьспільний центр, та |
||||||||
ексцентричнихсічнихсфер(їхцентринесуміщуються). |
|
|
|
|
||||
Концентричнісічні сферизастосовуютьсявособливомувипадку,коли: -перетинаютьсядвіповерхні |
||||||||
обертання;- |
осіповерхоньперетинаються;-осіповерхонь,щоперетинаються, паралельніоднійзплощинпроекцій. |
|||||||
Цейспосібґрунтуєтьсянатому,щоповерхняобертання,вісьякоїпроходитьчерезцентрсфери,перетинаєтьсяіз |
||||||||
сферою по колах. Якщо вісь поверхні обертання розміщена паралельно одній з площин проекцій, то ці кола |
||||||||
проекціюютьсявпряміліні.Нарис.І.104 показанопобудовулініїперетинуциліндраобертанязфронтальноювіссюта |
||||||||
поверхніобертаннязгоризонтальнопроекціюючоювіссю. |
|
|
|
|
||||
Точку перетину фронтальних проекцій осей поверхонь обертанняО приймаємо за центр допоміжних |
||||||||
січних сфер. Січна сферична поверхня з центром в точціОперетинає кожну із заданих поверхонь обертанняα іβ |
||||||||
по колах. Точки перетину цихкіл будуть спільними для обох поверхонь і лежатимуть на лінії перетину заданих |
||||||||
поверхонь,щоперетинаються. |
|
|
|
|
|
|||
Необхідно визначитиінтервал, в межах якого вибирають радіусидопоміжних січних сфер. |
Для визначення |
|||||||
мінімальної січної сфери проводимо сферу γ1, яка є дотичною до однієї поверхні та перетинає іншу. Ця сфера і |
||||||||
буде мінімальною допоміжною січною сферою. Проведена сфера перетинає поверхню α по колу, що |
||||||||
проекціюється в відрізок прямої між точками дотикуС і D, а циліндричну поверхню β – по колу, що |
||||||||
проекціюється в відрізок АВ. При перетині цих кіл отримали точки4 і5, які на фронтальній проекції збігаються. |
||||||||
Для визначення горизонтальної проекції точок41, 51 наП1 |
викреслюємо коло радіусомr2 (r21) і переносимо на |
|||||||
нього точки з фронтальної проекції. |
|
|
|
|
|
|||
Крайні точки лінії перетину поверхонь знаходяться на перетині їх контурних твірних (1,8). |
||||||||
Відстань від точки О до |
|
|
|
|
|
|||
найбільш віддаленої точки |
|
|
|
|
β2 |
|||
1 вказує величину радіуса |
Rmax |
|
|
12 |
||||
максимальної |
|
січної |
|
A2 |
|
|||
сфери. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
|
визначення |
|
|
22Ξ 32 |
|
|
|
проміжних |
точок |
лінії |
γ32 |
|
|
|
||
r32 |
|
|
||||||
перетину |
|
поверхонь |
γ22 |
|
42Ξ 52 |
|
|
|
проводимо |
|
|
сфери |
2 |
|
|
||
радіусами в інтервалі між |
|
r |
2 |
|
|
|||
мінімальним |
|
|
і |
|
|
|
82 |
|
максимальним. |
|
α2 |
γ12 |
r12 |
62Ξ 72 |
|
||
|
O2 |
B2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rmin |
|
|
|
|
|
П2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
β1 |
|
|
|
|
|
|
31 |
71 |
|
|
|
|
|
|
|
r31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
O1 |
11 |
81 |
|
|
|
|
|
r21 |
|
|
|
|
|
|
|
r11 |
|
21 |
61 |
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
α1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.I.104. |
Метод ексцентричних січних сферзастосовуютьсятоді, коли:
-одназповерхоньє поверхнею обертання, адругамає кругові перерізи;
-обидвіповерхні маютьзагальнуплощинусиметрії;
-їх площинасиметрії паралельнаодній ізплощинпроекцій.
На рис.І.105 наведено приклад застосування способу січних ексцентричних сфер. Перетинаються відсік тора та конус обертання. Вісь тора перетинається з віссю обертання конуса, обидві осіналежать однійфронтальнійплощині.
Для визначення величинирадіусаі положення їх центрупроводимо наступні побудови:
1. перетнемо поверхню кільця площиною Г2, що проходить через вісь кільцевої поверхні. Ця площина перетне поверхню тору по колу, яке проекціюється на П2 в відрізок прямої С2D2;
2.з середини відрізка С2D2 – точка Т2 проводимо дотичну до осі і відмічаємо точку О2 її перетину з віссю конічної поверхні;з точки О2 проводимо сферу γ2 радіусом R2. Ця сфера перетинає поверхню тора по колу С2D2, а конічну поверхню по колу К2М2;
3.відмічаємо точку 12≡22, отримані точки належать обом поверхням, що перетинаються. Аналогічно за допомогою площин Г12 і сферичної поверхні γ12 визначаємо точки 3, 4, та Г112 і сферичної поверхні γ112 визначаємо точки 5, 6. Точки В і А знаходяться на перетині контурних твірних конічної та кільцевої поверхонь.
4.горизонтальні проекції точок перетину при необхідності можна побудувати
перенесенням |
їх фронтальних проекцій по лініям зв’язку на горизонтальні проекції |
|||
відповідних кіл, що належать поверхні конуса. Наприклад, точки 1,2 належать колу, що |
||||
проекціюється |
на П2 в пряму К2М2, тому на горизонтальній проекції 11,21 |
належатиме |
||
горизонтальній проекції цього кола. |
|
|
|
|
|
|
Г2 |
|
|
Г12 |
|
С2 |
B2 |
|
|
K2 |
12≡22 |
M2 |
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ2 |
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
R12 |
|
32≡42 |
|
|
|
|
|
|
|
γ12 |
|
|
T12 |
|
|
|
|
|
|
R112 |
O2 |
T112 |
D2 |
|
|
52≡62 |
|
|
|
γ112 |
O12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x П1 |
|
O11 |
A2 |
|
П2 |
|
|
Рис.I.105. |
|
Особливі випадки перетину поверхонь другого порядку
Порядок лінії перетину двох алгебраїчних поверхонь визначається,як добуток порядків цих поверхонь. При перетині поверхонь другого порядку утворюється крива четвертого порядку, яка в деяких випадках розпадаєтьсянакількалінійнижчого порядку.
1.Повне проникнення - це випадок перетину, коли просторова кривамаєдвізамкненівіткиЯкщо дві поверхні другого порядку в перетині мають плоску криву, вони обов’язково перетнуться ще по однійкривій (сумапорядків –4) (рис.І.106а) .
2.Якщо дві поверхні другого порядку вписати або описати навколо третьої поверхні другого порядку, то перші дві перетинаються по двох плоских кривих другого порядку, площини яких проходятьчерезпряму, що з’єднує точки дотику(рисІ..106б).
3.Подвійне стикання - це особливий випадок перетину поверхонь, які мають дві спільні дотичні
площини; В цьому випадку |
просторова |
крива |
|
четвертого порядку розпадається на дві плоскі криві |
в) |
||
другогопорядку, які перетинаються в точках дотикуA |
|
||
таB (рис.І.106в). |
|
|
|
|
|
|
A2= B2 |
а) |
б) |
|
|
|
|
||
|
|
|
GH |
|
|
M2≡N2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
QH |
Рис.І.106. |
|
|
A1 |