Угловая модуляция. Фаза и мгновенная частота колебаний
a t |
A0 cos 0t 0 A0 cos t |
|
|
t2 t1 0t2 0 0t1 0 0 t2 t1 . |
(3.15) |
||
0 |
t2 t1 |
t2 t1 , |
(3.16) |
|
t2 t1 |
t2 |
(3.17) |
|
t dt |
||
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
t d t |
(3.18) |
|
|
dt |
|
|
|
t t t dt 0 |
(3.19) |
|
|
|
|
|
0
|
a t A0 cos 0t t 0 |
||
ЧМ |
t |
0 |
д cos t |
|
t t |
0 |
д cos t dt 0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
t 0t д 
sin t 0
a t A0 cos 0t д |
sin t 0 |
max д 
m
(3.20)
(3.21)
(3.22)
(3.23)
(3.24)
ФМ |
θ(t)=θmaxsinΩt |
|
|
a t A0 cos 0t max sin t 0 |
(3.23`) |
|
d |
(3.21`) |
||
|
|
|
||
t dt 0t max sin t 0 0 max cos t |
||||
|
||||
θmaxΩ=ωд, т. е. гармоническая модуляция фазы с индексом θmax эквивалентна частотной модуляции с девиацией ωд=θmaxΩ.
θ=θmaxsinΩt при ФМ
θ=(ωд/Ω)sinΩt при ЧМ (когда ω=ωдcosΩt)
Сравнение функций ω(t) и θ(t) при ЧМ и ФМ при пилообразном модулирующем сигнале
Зависимость индекса θmax и девиации ωд от модулирующей частоты при ЧМ (а) и ФМ (б)
Спектр колебания при угловой модуляции. Общие соотношения
a t A0 cos 0t t |
(3.25) |
a t A0 cos t cos 0t A0 sin t sin 0t ac t as t
(3.26)
Модулированное по углу колебание можно рассматривать как сумму двух квадратурных колебаний: косинусного ас(t)=А0cosθ(t)cosω0t и
синусного аs(t)=А0sinθ(t)sinω0t, каждое из которых модулировано
только по амплитуде;
закон AM для косинусного колебания определяется медленной функцией cosθ(t), а синусного – функцией sinθ(t).
Спектр колебания при гармонической угловой модуляции
a t A0 cos 0t m sin t |
(3.25`) |
a t A0 cos m sin t cos 0t A0 sin m sin t sin 0t |
(3.27) |
sin m sin t 2J1 m sin t 2J3 m sin 3 t 2J 5 m sin 5 t ...
cos m sin t J0 m 2J2 m cos 2 t 2J4 m cos 4 t ...
sin mс cos t 2J1 m cos t 2J3 m cos3 t 2J 5 m cos5 t ...
cos m cos t J0 m 2J2 m cos 2 t 2J4 m cos 4 t ...
a t A0 J0 m cos 0t 2J1 m sin t sin 0t 2J2 m cos 2 t cos 0t
2J3 m sin3 t sin 0t ...
a t A0 cos 0t m sin t A0 J0 m cos 0t J1 m cos 0 t cos 0 tJ2 m cos 0 2 t cos 0 2 t J3 m cos 0 3 t cos 0 3 t ...
m<<1 |
sin msin t m sin t , |
cos msin t 1 |
a t A0 cos 0t m sin t sin 0t
|
m |
cos 0 |
t |
m |
A0 cos 0t |
2 |
2 |
||
|
|
|
(3.32) cos 0 t .
aам t |
A0 1 M cos t cos 0t |
|
|
|
||||||
|
|
|
M |
cos 0 |
t |
|
M |
cos 0 |
|
(3.33) |
A0 cos 0t |
2 |
2 |
t . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Векторная диаграмма (а) и спектр колебания (б) при угловой модуляции с индексом m <<1
При m>>1 величина |Jn(m)| более или менее равномерна при всех
целых значениях |n|, меньших, чем аргумент m. При |n|, близких к m, |Jn(m)| образует всплеск, а при дальнейшем увеличении |n| функция |
Jn(m)| быстро убывает до нуля.