Виды случайных процессов. Примеры
Гармоническое колебание со случайной амплитудой
x t Acos 0t 0 |
Acos t |
(4.20) |
|
|
w x;t1 1 Amax cos t1 , |
0 x Amax cos t1 . |
M x t1 |
1 |
Amav cos t1 |
|
1Amax cos t1 |
|
|
xdx |
||||
Amax cos t1 |
|||||
|
0 |
|
2 |
M x2 t1 |
1 |
Amav cos t1 |
|
1Amax2 |
cos2 t1 |
|
|
x2dx |
|||||
Amax cos t1 |
||||||
|
0 |
|
3 |
|
Dx t1 |
M x2 t1 |
M x t1 |
2 |
1 |
Amax2 |
cos2 t1 |
1 |
Amax2 |
cos2 t1 |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
Amax2 cos2 t1 . |
|
|
|
|
|
|
|
(4.21) |
||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
процесс нестационарный и неэргодический
Гармоническое колебание со случайной фазой
w 1 2 , |
|
(4.22) |
|
|
xk t cos 0t k cos k t |
(4.23) |
w 1 2 , |
0t 0t |
(4.24) |
|
wx x dx 2w d 2
2 d
w x |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
, 1 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
sin |
|
|
1 cos2 |
1 x2 |
|||||
|
|
|
||||||||||
d |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Окончательно
w x 1 |
|
|
|
|
|
1 x2 , |
1 x 1 |
(4.25) |
|||
x |
|
|
|
|
|
На рисунке p эквивалентно w
(4.25)
wx x |
одномерная плотность вероятности не зависит от выбора |
|||||||||||||
|
|
|
момента времени t, а среднее по множеству |
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
x |
|
|
(4.26) |
|
M x t |
xwx x dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
x |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||||||
совпадает со средним по времени |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
T 2 |
|
|
1 |
|
T 2 |
|
|
|
|
|
|
lim |
x t dt lim |
|
cos 0t dt 0 |
|
||||||||
|
x t |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
T |
T |
|
T |
T |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
T 2 |
|
|
T 2 |
|
|
|
||||
Корреляционную функцию в данном случае можно получить |
|
|||||||||||||
усреднением произведения x(t1)x(t2) по множеству без обращения к
двумерной плотности вероятности [см. общее выражение (4.8)]. Подставляя в (4.8)
x t1 x t2 cos 0t1 cos 0t212 cos 0 t2 t1 cos 0 t2 t1 2
wx x |
одномерная плотность вероятности не зависит от выбора |
|||||||||||||
|
|
|
момента времени t, а среднее по множеству |
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
x |
|
|
(4.26) |
|
M x t |
xwx x dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
x |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||||||
совпадает со средним по времени |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
T 2 |
|
|
1 |
|
T 2 |
|
|
|
|
|
|
lim |
x t dt lim |
|
cos 0t dt 0 |
|
||||||||
|
x t |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
T |
T |
|
T |
T |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
T 2 |
|
|
T 2 |
|
|
|
||||
Корреляционную функцию в данном случае можно получить |
|
|||||||||||||
усреднением произведения x(t1)x(t2) по множеству без обращения к
двумерной плотности вероятности [см. общее выражение (4.8)]. Подставляя в (4.8)
x t1 x t2 cos 0t1 cos 0t212 cos 0 t2 t1 cos 0 t2 t1 2
Корреляционную функцию в данном случае можно получить усреднением произведения x(t1)x(t2) по множеству без обращения к
двумерной плотности вероятности [см. общее выражение (4.8)]. Подставляя в (4.8)
x t1 x t2 cos 0t1 cos 0t212 cos 0 t2 t1 cos 0 t2 t1 2
Rx t1 ,t2 |
M x t1 x t2 |
|
1 |
|
2 cos 0 |
(4.27) |
|||
|
|
|
|
Независимость среднего значения от t1 и корреляционной функции от положения интервала τ=t2−t1 на оси времени
позволяет считать рассматриваемый процесс стационарным.
Совпадение же результатов усреднения по множеству и времени (для любой реализации) говорит об эргодичности процесса.
Аналогичным образом нетрудно показать, что гармоническое колебание со случайной амплитудой и случайной фазой образует стационарный, но не эргодический процесс (различные реализации обладают неодинаковой дисперсией).