Узкополосный случайный процесс |
|
||
x t A t cos 0t t A t cos t |
(4.60) |
||
A t |
|
|
|
x2 t y2 t |
(4.61) |
||
где y(t) – функция, сопряженная по Гильберту исходной функции x(t), а ω0 выбрана таким образом, что фаза θ(t) не содержит
слагаемого, линейно-зависящего от t.
1. Огибающая |
|
|
x t A t cos t cos 0t A t sin t sin 0t |
|
|
Ac t cos 0t As t sin 0t. |
(4.60`) |
|
Ac t A t cos t , |
As t A t sin t |
(4.62) |
A t |
|
, |
t arctg As Ac |
(4.63) |
Ac2 t As2 t |
x t A t cos 0t t , Ac t A t cos t
WAc 2Wx 0
(4.64)
Спектры: а) узкополосного процесса с центральной частотой ω0; б) косинусной составляющей комплексной огибающей
Аналогично для As t и |
WAs 2Wx 0 |
A2c A2s x2
A2 A2 t DAc DAs 2Dx 2 x2
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ac |
|
|
||
w Ac |
|
|
|
2 |
|
, |
||||
|
|
|
||||||||
2 x |
exp |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
As |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
w As |
|
|
|
2 |
|
|
||||
2 x |
exp |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|||
(4.65)
(4.66)
Взаимная корреляция между функциями Ac(t) и As(t) равна нулю
при τ=0. Действительно, возводя (4.60') в квадрат и усредняя по множеству, получаем
M x2 t M Ac t cos 0t As t sin 0 2
M Ac2 t cos2 0t M As2 t sin2 0t 2M Ac t As t sin 0t cos 0t
Rx 0 Dx
|
M Ac2 t M As2 t Dx RA 0 |
|
|
|
|
s |
|
|
M Ac t As t RAc As 0 |
|
|
Rx 0 RA |
0 RA A |
0 sin 2 0t x2 RA A 0 sin 2 0t |
(4.67) |
c |
c s |
c s |
|
Следовательно, |
RA A 0 0 |
|
c s |
Итак, Ac(t) и As(t), отсчитываемые в один и тот же момент времени,
− статистически независимые величины. Поэтому совместную плотность вероятности w(Ac,As) можно определить выражением
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
A |
2 |
|
w Ac ,As w Ac w As |
|
Ac |
As |
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|||||||
exp |
|
|
|
exp |
|
|
|||||||
|
2 x |
|
2 x |
|
|
|
2 x |
|
|
2 x |
|
||
(4.68)
Это положение вытекает также из соотношения (4.65), показывающего, что средний квадрат огибающей A(t) является аддитивной суммой средних квадратов функций Ac(t) и As(t)
Вероятность того, что конец вектора A(t) лежит в прямоугольнике dAcdAs равна произведению вероятностей пребывания Ac в
интервале dAc и As в интервале dAs:
w Ac dAc w As dAs |
1 |
|
|
A |
2 |
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
2 |
||||
exp |
|
dAcdAs |
||||
|
2 x |
|
|
2 x |
|
|
При переходе от прямоугольных координат к полярным площадь заштрихованного на рис. 4.15 элемента будет AdθdA, а вероятность пребывания конца вектора в этом элементе равна
1 |
|
|
A |
2 |
|
|
|
|
|
||
2 |
|
2 |
|||
exp |
|
Ad dA |
|||
2 x |
|
|
2 x |
|
|
Из этого выражения следует, что двумерная плотность вероятности
w A, |
A |
|
|
A |
2 |
|
|
|
|
|
|
(4.69) |
|||
2 |
|
2 |
|||||
exp |
|
|
|
||||
|
2 x |
|
|
2 x |
|
|
|
Интегрируя по переменной θ, получаем одномерную плотность вероятности
|
A |
|
|
A |
2 |
|
|
|
|
wA A w A, d |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
, |
0 A |
(4.70) |
|||
2 |
|
2 |
|||||||
exp |
|
|
|||||||
|
x |
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
Распределение огибающей, характеризуемое плотностью вероятности (4.70), называется распределением Рэлея
|
1 |
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
M A AwA A dA |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||
A exp |
dA |
2 |
||||||||
0 |
x |
0 |
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
M A2 A2wA A dA
0
P A C wA A dA
C
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
A exp |
|||||
|
x |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
Aexp |
||||
|
x |
0 |
|
|
P A C 1 exp C2
2 x2
A2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
dA 2 x |
||
2 x |
|
|
A |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
dA exp |
|||
2 x |
|
|
|
|
(4.71)
(4.72)
C |
2 |
|
(4.73) |
|
|
||
|
2 |
||
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
(4.74) |
KA |
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
2 |
|
1 3... 2n |
3 |
2 |
2n |
|
|
2 |
x |
|
|
2 |
|
|
r0 |
|
2 4...2n |
|
|
r0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|||
rx Rx 
x2 r0 cos 0
Так как r0 1
K |
|
|
2 |
|
1 |
r |
2 |
|
|
A |
x |
1 |
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
4 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
W |
x2 |
2 |
x2 1 r2 |
e i d |
||
A |
2 |
|
2 4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(4.75)
(4.76)
(4.77)
(4.78)