Аналитический сигнал
В электротехнике гармоническое колебание представляют в форме
a t |
A0 cos 0t 0 A0 |
Re e |
i 0t 0 |
|
i 0t |
|
(3.47) |
|||
|
Re A0e |
|
||||||||
a t |
A0 |
sin 0t 0 A0 |
Im e |
i 0t 0 |
|
i 0t |
|
(3.48) |
||
|
Im A0e |
|
|
|||||||
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
где |
A0 |
A0e |
- комплексная амплитуда |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||
Часто символ Re или Im опускают и пишут просто
a t A0ei 0t 0 A0ei 0t
подразумевая действительную или мнимую часть этого выражения.
В радиотехнике представление колебаний в комплексной форме распространено на негармонические колебания.
Если задан физический сигнал в виде действительной функции a(t), то соответствующий ему комплексный сигнал представляется в форме
za t a t ia1 t |
(3.49) |
где a1(t) – функция, сопряженная по Гильберту сигналу a(t).
Главная особенность определенного таким образом комплексного сигнала заключается в том, что его спектральная плотность
|
|
|
|
(3.50) |
Za Sa iSa |
||||
|
|
1 |
|
|
содержит только положительные частоты.
На основании (3.43) и (3.44)
|
|
|
0 , |
|
2Sa , |
(3.51) |
|||
Za |
0 , |
0. |
||
|
|
|
||
Соотношение между спектрами физического и аналитического сигналов
Интеграл Фурье для сигнала za(t) принимает следующий вид:
|
1 |
|
i t |
|
1 |
|
i t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
za t |
|
Za e |
|
d |
|
2Sa e |
|
d , |
(3.52) |
2 |
|
2 |
|
||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
Комплексный сигнал, определяемый выражениями (3.49) и (3.50), называется аналитическим сигналом.
Пусть задан физический сигнал
a t A t cos 0t t A t cos t
Соответствующий ему аналитический сигнал на основании (3.37)
za t A t cos t |
i |
|
A cos |
dt |
||
|
|
|
|
|||
|
|
t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Если исходный сигнал a(t) является достаточно узкополосным процессом, то в этом случае можно показать, что
a1 t A t sin t A t sin 0t t 0 |
(3.53) |
||||||
и |
|
|
i |
0t t 0 |
|
|
|
za t A t e |
i t |
A t e |
i 0t |
(3.54) |
|||
|
|
|
A t e |
|
|||
где |
|
|
|
i t 0 |
|
|
|
A t A t e |
|
|
|
|
|||
Соотношение между амплитудой аналитического сигнала и функциями a(t) и a1(t)
Свойства аналитического сигнала и комплексной огибающей
1. Произведение аналитического сигнала za t |
|
|
на сопряженный ему сигнал za t |
равно квадрату огибающей |
|
исходного (физического) сигнала a(t). |
|
|
za t za t a t ia1 t a t ia1 t a2 t a12 t A2 t |
(3.55) |
|
2. Спектральная плотность комплексной огибающей A t
совпадает со смещенной на ω0 влево спектральной плотностью
аналитического сигнала z |
t |
|
|
|
||
. |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
i 0 t |
0 (3.56) |
||||
Za A t e |
|
|
dt SA 0 |
|||
Введя обозначение ω−ω0=Ω, запишем (3.56) с учётом (3.51) в виде
|
|
|
|
(3.57) |
Za 0 |
SA 2Sa 0 |
|||
Соотношение между спектрами комплексной огибающей и аналитического сигнала
Отметим, что спектр SA комплексной огибающей A t не обязательно симметричен относительно нулевой частоты.
Если спектр физического колебания a(t) несимметричен относительно ω=ω0, как это может иметь место, например, при
амплитудно-угловой модуляции, то и спектр аналитического сигнала несимметричен. После сдвига спектра аналитического сигнала на величину 0 влево спектр комплексной огибающей будет
несимметричен относительно частоты 0=0.
В любом случае спектр комплексной огибающей отличен от нуля в области отрицательных частот. Это означает, что комплексная огибающая не является аналитическим сигналом.
3. Корреляционная функция аналитического сигнала является
комплексной функцией.
|
|
t dt |
|
Bz za t za |
(3.58) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ba |
1 |
|
|
2 Re Bz |
(3.59) |
||
|
|
|
|
4. Корреляционные функции аналитического сигнала и
комплексной огибающей этого сигнала связаны между собой соотношением
Bz e i 0 BA |
(3.60) |