Спектры некоторых неинтегрируемых функций
|
s t |
|
dt . |
|
|
|
|
(2.53) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
s(t)=А0cos(ω0t+θ0) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i t |
dt A0 cos 0t 0 e |
i t |
dt |
|
|
|
|
S s t e |
|
|
|||
|
A0ei 0 |
|
i 0 t |
|
A0e i 0 |
|
|
e |
|
dt |
|
2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
e i 0 t dt.
|
|
A0 |
2 e |
i 0 |
|
0 |
2 e |
i 0 |
|
0 |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|||||||||
A0 ei 0 0 e i 0 0 . |
|
(2.54) |
|||||||||
Гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная плотность при дискретных частотах ω0 и –ω0.
При ω0 =0 |
|
2 . |
|
S A0 |
|
||
|
|
|
, |
|
s t A0 An cos n 1t 0 |
||
n 1
S A0 2 A1 ei 1 1 e i 1 1A2 ei 2 2 e i 2 2 ...
... An ei n n e i n n ...
Например, отыскивается спектр суммы двух сигналов: импульсного s1(t) и гармонического s2(t)=A0cosω0t
(2.55)
(2.56)
Спектральная плотность единичного скачка
s t |
1 |
|
1 sign t , |
(2.57) |
|
2 |
|
2 |
|
sign(t)– сигнум-функция, равная единице, знак которой изменяется при переходе переменной t через нуль.
|
(2.58) |
S 1 i . |
Если передаточная функция цепи при ω=0 равна нулю, спектральную плотность можно определять по формуле
|
(2.59) |
S 1 i . |
|
Представление сигналов на плоскости комплексной частоты
|
s t s t s t |
|
|
|
||
1t |
|
1 |
|
i t |
|
|
|
|
|
|
|
||
e s t |
|
|
|
d |
(2.7`) |
|
|
|
|||||
2 |
S e |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S является спектральной плотностью функции s+(t)еxp(−σ1t). |
|||||||||||||||||||||
Подставим в (2.7') iω=p–σ1 и ω=(p–σ1)/i: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1t |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
p 1 |
p 1 t |
|
|
|
|
||||||
e s t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
S |
|
|
|
e |
|
|
dp, |
|
|
||||||||
2 i 1 i |
|
i |
|
|
|
|
|||||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
1 |
1 |
|
|
p |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
(2.59) |
|||
|
|
|
pt |
|
|
|
Ls e |
pt |
|
||||||||||||
s |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
dp |
|
|
|
dp, |
|||||||
2 i |
S |
i |
|
|
2 i |
|
|
||||||||||||||
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
|||||||
Новая функция Ls p , являющаяся не чем иным, как спектральной плотностью сигнала s+(t)еxp(−σ1t), определяется выражением
|
p |
|
|
|
|
i t |
|
|
i t |
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
Ls |
p S |
|
|
S e |
|
1 |
s |
t e |
|
dt, |
||
i |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ls p |
|
|
|
t e pt dt, |
|
|
|
|
|
||
|
s |
|
|
|
|
(2.60) |
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Полученное соотношение называется преобразованием
(односторонним) Лапласа функции s+(t).
Соотношение (2.59) по аналогии с выражением (2.7) часто называют
обратным преобразованием Лапласа.
|
|
t |
1 |
1 |
|
|
s |
|
|
L e pt dp. |
(2.59) |
||
|
|
|
||||
|
2 i |
|
||||
|
|
|
1 |
s |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
Путь интегрирования по прямой σ1–i∞, σ1+i∞ на р-плоскости (а);
образование замкнутого контура добавлением дуги ABC при R→∞ (б)
Замыкание контура интегрирования для представления функции s+ (t):
а) при t >0; б) при t <0.
При t>0 контур интегрирования охватывает все полюсы подынтегральной функции (лежащие левее прямой σ1–i∞, σ1+i∞)
и в соответствии с теорией вычетов интеграл (2.59) определяется как
s t |
1 |
1 |
p e pt dp |
1 |
Ls p e pt dp res |
|
|
Ls |
(2.61) |
||||||
2 i |
2 i |
||||||
|
|
1 i |
|
|
ABCA |
|
res - сумма вычетов в полюсах подинтегральной функции
При t<0, т.е. при проведении дуги в правой полуплоскости
s t |
1 |
1 |
p e pt dp |
1 |
Ls p e pt dp 0. |
|
|
Ls |
(2.62) |
||||||
2 i |
2 i |
||||||
|
|
1 i |
|
|
ABCA |
|
Правила перехода от изображения Лапласа к преобразованию Фурье :
Если на оси iω функция Ls(p) не имеет полюсов, то для такого перехода достаточно в (2.62) положить σ1=0, т. е. перейти от
переменной р к переменной iω. В противном случае, чтобы избежать( ошибки, необходимо определить вклад этих полюсов в спектральную плотность сигнала.
Дело в том, что интегрирование функции Ls(p)ept по полуокружности бесконечно малого радиуса с центром в полюсе р1=iω приводит к гармоническому колебанию с частотой ω1 и амплитудой 1/2. Спектральная плотность такого колебания, равная πδ(ω–ω1),
должна быть прибавлена к сплошному спектру, обусловленному интегрированием по оси ω.
Так, для функции Ls(р) с одним полюсом в точке р1=0 [s(t)=1, t >0] мы ранее получили
S 1
i .
Для функции Ls(р) с двумя комплексно-сопряженными полюсами
. p1,2=±iω [s(t)=cosω0t, t >0] спектральная плотность будет
|
0 |
(2.71) |
S 0 |
