Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТПИ / 02_1_Энергетические характеристики и разложение в ряд.ppt

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

336.38 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Энергетические характеристики

Мгновенная мощность определяется как квадрат мгновенного значения s(t):

p t s2 t

Энергия сигнала на интервале t2, t1 определяется как интеграл от мгновенной мощности:

t dt

p t dt

Отношение

s2 t dt

s2 t

ср

имеет смысл средней на интервале t2, t1 мощности сигнала.

Разложение колебаний по системам ортогональных функций

N
s t cn n t
n 1
Если совокупность функций
0 t , 1 t , 2 t ,..., n t ,...		(1.1)
удовлетворяет на некотором отрезке времени (t1, t2) условиям
t2
n t m t dt 0 , при	n m	(1.2)
t1

то ее называют системой ортогональных на отрезке (t1, t2) функций. При этом предполагается, что никакая из функций системы (1.1) не равна тождественно

нулю, т.е.

n2 t dt 0

Величина

(1.3)

n2 t dt

называется нормой функции n t

t dt 1 ,

Функция n t , для которой

2 n2

называется нормированной, а соответствующая система ортогональных

нормированных функций называется ортонормированной (ортонормальной)

Заданное колебание можно разложить по системе ортогональных функций, если можно записать

	N
.	s t cn n t	,	(1.4)
	n 0
и при конечном числе членов ряда разница между			(1.5
	N		(1.5
s t	N
s t	и cn n t будет достаточна мала.

n 0

Одним из возможных критериев величины этой разности является интеграл от квадрата разности колебания и его разложения:

		2

			(1.5)
s t xn n t dt			(1.5)
	n

Если для непрерывной функции s(t) можно выбрать xn так, что путем

увеличения количества членов в ряде можно сделать сколь угодно малым, то совокупность ортогональных (ортонормальных) функций (1.1) называют полной. Ряд (1.4) называют в этом случае

сходящимся в среднем.

Для определения коэффициентов cn, обеспечивающих минимум Δ, умножим обе
части (1.4) на n t	и произведем интегрирование:
	t2	n	t dt	t2	t		m	m	t dt.
				n
	s t					m	с
	t1			t1

В силу свойств ортогональности в правой части уравнения все слагаемые при m≠n обращаются в ноль, остается лишь член, соответствующий n=m. В результате получаем формулу для любого коэффициента cn

	1			t2
сn	1			s t n t dt	(1.6)
		n t	2
			2
				t1

Разложение периодических колебаний в ряд Фурье по системе тригонометрических функций

0 t	1		,

		T

1 t T2 sin 2T t,

2	t	2	cos	2	t,	(1.7)
		T		T

3 t T2 sin 2 2T t,

4 t T2 cos 2 2T t,

...................................

s t	a	0		2		2

			an cos n		t bn sin n		t
	2			T		T
			n 1

или

s t

cos n

t n ,

n 1

T 2

s t cos n tdt;

T 2

s t sin n tdt;

T 2

;

arctg bn

an .

(1.8)

(1.9)

Ряд Фурье в комплексной форме an cos n 1t bn sin n 1t An cos n 1t n .

an An cos n , bn An sin n

(1.10)

An an2 bn2 ; n arctg bn an .

cos ei e i .

Положим α = nω1t + θn и обозначим

(1.11)

An Anei n .

Эту величину назовем комплексной амплитудой n-й гармоники.

Она содержит данные и об амплитуде и о начальной фазе n-й гармоники.

После этого ряд (1.8) можно записать в таком виде:

			s t	1		in 1t	,	(1.12)
			s t		Ane		,	(1.12)
				2 n
	i n
где A n Ane	i n		- величина, комплексно-сопряжённая					An
где A n Ane		An	- величина, комплексно-сопряжённая					An

Комплексную амплитуду An можно вычислить непосредственно по заданному s(t), минуя вычисления an и bn и применение выражений (1.10). Действительно,

An Anei n An cos n i sin n an ibn .

Подставляя сюда (1.9) и объединяя интегралы, получаем

	2 T 2		in 1t		(1.13)
		s t e
An	T	s t e		dt.
		T 2

Формулы (1.12) и (1.13) можно называть парой преобразований Фурье. Вторая из них позволяет найти спектр, т. е. совокупность гармонических составляющих, образующих в сумме s(t); первая – вычислить s(t), если заданы гармонические составляющие (гармоники)

Формулу (1.12) можно представить в другом виде

s t	A0		in 1t	(1.12а)

	2	Re Ane .
		n 1

Две характеристики – амплитудная и фазовая, т. е. модули и аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью определяют структуру частотного спектра периодического колебания.

Спектр периодической функции называется линейчатым или дискретным, так как состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам 0, ω1,

2ω1, 3ω1 и т. д.