Гармонический анализ непериодических сигналов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
An |
|
|
|
|
|
|
||
s t |
|
|
in 1t |
, 0 |
t T , |
(2.1) |
||||
|
|
Ane |
|
|
||||||
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
|||
где ω1 = 2π/T, а коэффициенты |
в соответствии с формулой (1.13) |
|||||||||
An |
||||||||||
|
|
2 t2 |
|
in 1t |
|
|
|
|||
An |
|
|
t |
|
|
|
dt. |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
||||
|
|
s t e |
|
|
|
(2.2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Подставив (2.2) в (2.1), получим
|
1 |
|
|
2 t |
in x |
|
in t |
|
t2 |
in x |
|
in t |
|
|||
s t |
|
|
|
|
s x e |
1 |
dx e |
1 |
|
|
s x e |
1 |
dx e |
1 |
1 |
, |
|
|
2 |
||||||||||||||
|
2 n |
T |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
При Т→∞ ω1=2π/T→0, а спектр – сплошным. Поэтому в выражении (2.3) можно заменить ω1 на dω,
nω на текущую частоту ω, а операцию суммирования операцией интегрирования
|
1 |
|
t2 |
|
s t |
|
ei t s x e i x dx d |
||
2 |
||||
|
|
|
t1 |
|
0 t T ,
(2.3)
(2.4)
Внутренний интеграл, являющийся функцией ω,
t2 |
|
|
|
S s t e |
i t |
dt, |
(2.5) |
|
|
|
t1
называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции s(t).
Подставив (2.2) в (2.1), получим
|
1 |
|
|
|
2 t |
|
|
t2 |
|
|
|
|||
s t |
|
|
|
|
|
s x e in 1x dx ein 1t |
|
s x e in 1x dx ein 1t |
1 |
, |
||||
|
|
T |
2 |
|||||||||||
|
2 n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
t1 |
|
|
(2.3) |
|
0 t T , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
s t |
|
|
ei t s x e i xdx d |
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Внутренний интеграл, являющийся функцией ω,
t2 |
|
|
|
|
i t |
dt, |
(2.5) |
S s t e |
|
||
t1 |
|
|
|
называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции s(t).
В общем случае , когда пределы t1 и t2 не уточнены, спектральная плотность записывается в форме
S s t e i t dt.
После подстановки (2.6) в выражение (2.4) получаем
|
1 |
|
|
i t |
|
s t |
2 |
S e |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
(2.6)
(2.7)
Выражения (2.6) и (2.7) называются соответственно
прямым и обратным преобразованиями Фурье.
Выражение (2.6) отличается от (1.13) только отсутствием множителя 2/Т. Следовательно, спектральная плотность S обладает всеми основными свойствами коэффициентов An комплексного ряда Фурье. Используя (1.10) и (1.11), по аналогии с можно написать
|
A iB S e |
i |
, |
|
S |
|
|||
|
|
|
|
|
A s t cos tdt, |
B s t sin tdt. |
|||
|
|
|
|
|
Модуль и аргумент спектральной плотности определяются выражениями
S 
A 2 B 2 ,
arctg B 
A .
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
Выражения (2.10) и (2.11) - АЧХ и ФЧХ сплошного спектра непериодического сигнала s(t).
На основании формулы (2.8) нетрудно получить тригонометрическую форму интегрального преобразования (2.7):
s t |
1 |
S ei t d |
1 |
S cos t d i |
1 |
S sin t d . |
|
|
|
||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
s t |
1 |
S ei t d |
1 |
S cos t d |
1 |
S cos t d |
|
|
|
||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
(2.12)
Отметим, что при ω=0 выражение (2.5) переходит в следующее:
|
s t . |
|
|
(2.13) |
|
S 0 s t dt площадь под кривой |
Соотношение между спектрами одиночного импульса и периодической последовательности импульсов
Коэффициент n-й гармоники в соответствии с выражением (1.13)
An 2 t2 s t e in 1t dt. T t1
Спектральная же плотность одиночного импульса на той же частоте ω= nω1 будет [см. (2.5)]
t2
S n 1 s t e i 1t dt,
t1
Для комплексной амплитуды n-ой гармоники имеет место простое соотношение
An 2S1 n 1 
T 2 f1S1 n 1
Модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра периодической последовательности, полученной путем повторения заданного импульса, совпадают по форме и отличаются только масштабом.
На рис. 2.2,б штриховой линией обозначена огибающая линейчатого спектра An/2=|cn|=f1 S1(nω1).
При Т→∞, приходим к одиночному импульсу со спектральной плотностью
S1 |
lim cn |
f1 . |
|
f1 0 |
|
Таким образом, становится наглядным термин «спектральная плотность»: S(ω) есть амплитуда напряжения (тока),
приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту ω.