Примеры спектров непериодических сигналов
• Прямоугольный импульс
|
A, |
и |
2 t и 2, |
|
|
|
|
|
|
(2.25) |
||||||||||
s1 t |
0, t и 2 и |
|
t |
и 2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
и 2 |
i t |
|
A |
|
|
i и |
|
i и |
|
|
2A |
|
и |
sin и |
2 |
||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
2 |
e |
2 |
|
|
|
|
sin |
|
A и |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
S A |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
2 |
и 2 |
||||||||
|
и 2 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(2.26)
Прямоугольный импульс (а) и его спектральная плотность (б) Заметим, что S1(0) = Aτи [см. (2.13)].
|
|
0 |
sin и |
2 |
S1 |
|
и |
(2.27) |
||
S1 |
S1 |
и |
2 |
|
0 sin c |
2 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь через sinc(ωτи/2) обозначена функция
sin c x sin x x. |
(2.28) |
Треугольный импульс
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
A |
|
|
2 |
1 , |
|
2 |
|||||||||||
s2 |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
(2.29) |
|||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
0 t |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
A |
и |
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Спектральная плотность положительного прямоугольного импульса длительностью по аналогии с формулой (2.26) и с учетом сдвига
середины импульса на время τи/4 относительно точки t=0 |
||||||
|
A |
и |
sin и 4 ei и 4 |
A sin и 4 ei и 4 . |
||
и 2 |
||||||
2 |
и 4 |
и 4 |
|
|||
Спектральная плотность отрицательного импульса |
|
|||||
|
|
|
|
A sin и 4 e i и |
4 . |
|
|
|
|
|
и 4 |
|
|
Суммарная спектральная плотность двух импульсов |
|
|||||
A sin и 4 ei и 4 e i и 4 i2A sin2 и 4 . |
(2.30) |
|||||
|
и |
4 |
|
и 4 |
|
|
Спектральная плотность треугольного импульса [интеграл от s'2(t)]
|
|
2A sin2 и |
4 |
|
A и |
sin и |
4 |
2 |
|
||
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.31) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
и 4 |
|
2 |
|
и 4 |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Множитель Aτи/2=S2(0) – площадь треугольного импульса.
Колоколообразный (гауссовский) импульс
|
|
|
|
|
s3 t |
Ae t2 2a2 , |
|
|
t . |
|
|
|
|
(2.32) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 2a2 |
e |
i t |
dt. |
|
|
|
|
|
|
(2.33) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
S3 A e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дополним показатель степени до квадрата суммы |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
t |
2 |
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
i t d 2 |
d 2 |
|
|
|
|
d 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
i t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2a |
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где d определяется из условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i t 2 t |
|
a d , откуда |
d i a |
|
|
|||||
|
2 |
(2.34) |
||||||||
2 |
||||||||||
Таким образом, (2.33) можно привести к виду |
|
|||||||||
|
Ae |
d 2 |
|
t |
|
a d 2 |
|
|
|
|
e |
2 |
dt. |
|
|||||||
S3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
x t |
|
|
|
a d, получаем |
|||||
Переходя к новой переменной |
|
|
2 |
|||||||
|
Ae |
d 2 |
|
|
|
x2 |
|
|||
2a |
e |
dx. |
||||||||
S3 |
|
|
|
|||||||
Учитывая, что входящий в это выражение интеграл равен 
, окончательно получаем
|
A |
|
|
a2 2 2 |
|
2 2b2 |
|
|
|
|
|
2 ae |
Be |
, b 1 a; |
B |
2 aA. (2.35) |
|||||||
S3 |
|
|
|||||||||
Колоколообразный (гауссовский) импульс (а) и его спектральная плотность (б)
Гауссовский импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями и обладают свойством симметрии: для получения одной из них по заданной другой достаточно заменить t на ω или наоборот.
Полоса, определяемая на уровне е−1/2 от максимального значения,
равна 2b=2/а=2∙2τи=4/τи, а коэффициент |
B |
2 aA |
|||||||
Гауссовскому спектру |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2b2 |
|
|
(2.36) |
|||
S3 Be |
|
|
|
|
|
|
|
||
соответствует гауссовский импульс |
|
|
|
||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s3 t Ae |
b2t2 2 |
|
|
Bb |
|
b2t2 2 |
(2.37) |
||
|
|
|
e |
|
|||||
|
2 |
|
|
||||||
с длительностью 2 b и амплитудой A Bb |
2 |
. |
Импульс вида SINC(x)
s4 |
t sin c mt sin mt |
sin 2 fmt . |
(2.38) |
|
mt |
2 fmt |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
x |
A |
|
A |
|
|||
S4 0 s3 |
t dt A sin mtdt |
|
|
|
sin xdx |
|
. (2.39) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
mt |
m x x |
m |
2 fm |
|||||||||
|
|
|
A 2 fm , |
|
|
|
|
m , |
|
|
(2.40) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
S4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0, |
|
|
|
m . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Бесконечно короткий импульс с единичной площадью (дельта-функция)
Амплитуды импульсов обратно пропорциональны соответствующим образом определенной длительности. При стремлении длительности к нулю амплитуда обращается в бесконечность, а площадь импульса остается неизменной и равной единице.
Амплитуду прямоугольного импульса - 1/x1, где x1 –длительность
импульса.
При гауссовском импульсе амплитуда должна быть 1 
2 a ,
поскольку |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
e x |
dx |
2 a. |
|||||
|
|
2a |
|||||
Для импульса sin(2πfmx)/πx , площадь которого равна единице, амплитуда равна 2fm (при х=0). Длительность импульса (главного лепестка) обратно пропорциональна параметру fm.
При устремлении параметров x1 и а к нулю, а fm к бесконечности все три функции можно определить следующим образом:
, |
x 0, |
(2.43) |
|
x |
0, |
x 0 |
|
|
|
||
при одновременном условии |
|
|
|
|
|
|
|
x dx площадь |
импульса 1. |
(2.44) |
|
Функция δ(х), обладающая указанными свойствами, называется единичным импульсом, импульсной функцией или дельта-функцией (а также функцией Дирака).