Применительно к исходным функциям, дельта-функция должна быть определена выражениями
x lim |
|
1 |
|
e x2 2a2 , |
x lim sin 2 fm x |
x . |
|
|
|
|
|||||
2 a |
|||||||
a 0 |
|
fm |
|
||||
При сдвиге импульса по оси х на величину х0
|
|
, |
x x |
|
|
||||
x x0 |
0 , |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
x x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
x0 dx 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 lim |
1 |
|
|
exp x x0 2 |
2a2 |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
2 a |
||||||||
a 0 |
|
|
|
|
|
||||
x x0 lim |
sin 2 fm x x0 |
|
|
||||||
|
|
||||||||
|
fm |
x |
x0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
(2.45)
(2.46)
(2.47)
(2.48)
|
x0 f x dx f x0 |
|
x0 dx f x0 |
|
|
|
|
||
x |
x |
(2.49) |
||
|
|
|
|
|
В математике соотношение (2.49) называется фильтрующим (стробирующим) свойством дельта-функции.
Свойства функции δ(х)
Спектральная плотность дельта-функции вещественна и равна единице для всех частот. Из этого также вытекает, что ФЧХ спектра дельта-функции δ(х) равна нулю для всех частот. Это означает, что все гармонические составляющие единичного импульса при нулевых начальных фазах, суммируясь, образуют пик бесконечно большой величины, в момент времени t=0.
Аналогично функция δ(t−t0) имеет спектральную плотность
S e i t0
Спектральная плотность дельта-функции может быть получена и с помощью преобразования Фурье:
|
|
|
|
|
i t |
|
|
S |
t t0 e |
|
dt. |
|
|
|
|
Используя свойство (2.49), находим
S e |
|
|
dt e |
|
. |
(2.50) |
|
t t0 |
|
||||
|
i t0 |
|
|
i t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Правая часть равенства: S(ω)=1 является размерной единицей: это площадь импульса, численно равная единице. Если под δ(t0)
подразумевается импульс напряжения, то размерность S(ω) есть вольт∙секунда (В∙с).
δ(t−t0) представить в виде обратного преобразования Фурье
1 |
|
|
1 |
|
i t t0 |
|
|
|
||
|
|
|
i t |
|
|
|
|
(2.51) |
||
t t0 2 |
|
d 2 |
e |
d . |
||||||
S e |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Энергия единичного импульса бесконечно велика. При спектральном рассмотрении это вытекает из равенства Парсеваля [см. (2.24)], правая часть которого при S(ω)=1 обращается в бесконечность.
Рассмотрим теперь свойства δ(ω).
Все, что ранее было сказано относительно δ(t), справедливо и для δ(ω) при замене t на ω и ω на t. По аналогии с выражением (2.51) можем написать
|
1 |
1 |
|
|
|
ei t dt |
|
e i t dt. |
|
2 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
ei 0 t dt |
1 |
e i 0 t dt. |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(2.52)
(2.53)