Системы счисления и двоичные коды

Всякое число представляется набором цифр. Способ представления чисел цифрами характеризует систему счисления (код). Наибольшее распространение получили позиционные системы счисления, в которых число, эквивалентное записанной цифре, определяется как значением этой цифры, так и ее положением (позицией) среди других цифр. Основание системы — это число, равное количеству цифр, необходимых для выражения всех чисел в пределах одного разряда. Десятичная (децимальная) система счисления — типичный пример позиционной системы.

Положительное число из iразрядов в позиционной системе с основаниемаможет быть представлено как

(1.1)

где х— любая цифра от 0 доа-1; первый член представляет собой старший разряд числа, а последний — младший.

В десятичной системе например, число 573 можно представить как 573₁₀=510²+710¹+310⁰.

В цифровой аппаратуре применяют приборы, которые имеют два рабочих состояния. Здесь наиболее удобными оказались двоичные (бинарные) коды. Существует ряд двоичных кодов, каждый из которых обладает определенными свойствами. В цифровой технике наибольшее применение получил так называемый натуральный двоичный код, в котором i-разрядное число представляется как

(1.2)

Здесь xможет иметь два значения - 0 и 1.

Порядок счета в натуральном двоичном коде совпадает с порядком счета внутри каждого десятичного разряда, что упрощает взаимный перевод чисел десятичного и двоичного кодов. Этот двоичный код называют еще кодом 8421 — по весовым коэффициентам (или короче весам) первых четырех разрядов числа. В дальнейшем при упоминании двоичного кода подразумевается код 8421. В табл. 1.1 приведены десятичные числа от 0 до 15 и их эквиваленты в коде 8421. Из таблицы следует, что для представления десятичных цифр от 0 до 9 (одного десятичного разряда) требуются четыре двоичные цифры, т. е. двоичные числа длиннее эквивалентных десятичных.

Двоичные числа, представленные в таблице, и им подобные характеризуют прямой код. Кроме этого применяются и другие коды, с помощью которых упрощаются арифметические действия. К ним относятся, в частности, обратный и дополнительный коды.

Таблица 1.1

Код		Код		Код
десятичный	8421	десятичный	8421	десятичный	8421
0 1 2 3 4 5	0000 0001 0010 0011 0100 0101	6 7 8 9 10	0110 0111 1000 1001 1010	11 12 13 14 15	1011 1100 1101 1110 1111

Двоичное число в обратном коде отличается от числа в прямом коде тем, что в каждом разряде имеет 0 вместо 1 и наоборот. Дополнительный код числа образуется из обратного кода добавлением 1 к младшему разряду. Так, десятичному числу - 9 в обратном двоичном коде соответствует число 0110, а в дополнительном - 0111.

Широко применяется двоично-десятичный код, в котором цифры каждого разряда десятичного числа представляются четырехразрядным двоичным числом (тетрадой). Так, число N₁₀=573 в двоично-десятичном коде имеет вилN_2-10=0101 0111 0011. Основное достоинство двоично-десятичного кода — в простоте взаимного перевода десятичных и двоичных чисел, так как непосредственное схемное преобразование десятичных чисел в двоичные и наоборот связано с большими аппаратурными затратами. Это важный момент с точки зрения взаимодействия человека с машиной, поскольку в большинстве случаев цифровая информация, подлежащая переработке и преобразованию, задается в десятичном коде и в этом же коде должны быть представлены окончательные результаты. Главный недостаток двоично-десятичного кода — громоздкость и избыточность, так как шесть двоичных комбинаций (от 1010₂=10₁₀до 1111₂=15₁₀) при этом не используются.