3.5.Оценка погрешности n-приближения.

Количество шагов при точности Е из условия: ||A||^k+1||F||/(1-||A||)<E, где F-вектор начальных приближений. Решение считается найденным, если два последовательных приближения оказываются достаточно близкими, т.е. норма вектора их разности сравнима с заданной точностью 

3.6.Итерации Зейделя.

Этот метод является модификацией метода простой итерации. Стратегия этого метода отличается тем, что при расчете элементов вектора наряду с элементами предыдущего приближенияучитываются также и элементы, которые уже определены на данной итерации. Расчетная формула метода

3.7.Оценка обусловленности системы линейных уравнений.

Таким образом, малые погрешности вычислений или исходных данных могут привести к существенным погрешностям в решении. Такие системы уравнений называются плохо обусловленными.

Для оценки полученного решения используют следующее соотношение:

3.8.Число обусловленности.

Произведение называется числом обусловленности матрицыA и обозначается как cond(A).

3.9.Оценка погрешности решения.

Решение считается найденным, если два последовательных приближения оказываются достаточно близкими, т.е. норма вектора их разности сравнима с заданной точностью 

4. Решение систем нелинейных уравнений.

Многие практические задачи сводятся к решению системы нелинейных уравнений.

Пусть для вычисления неизвестных x₁, x₂, … , x_n требуется решить систему n нелинейных урав­нений:

F₁(x₁, x₂, … , x_n) = 0

F₂(x₁, x₂, … , x_n) = 0

. . . . .

F_n(x₁, x₂, … , x_n) = 0

В отличие от решения СЛАУ не существует прямых методов решения систем нелинейных урав­нений. Лишь в отдельных случаях эту систему можно решить непосредственно. Например, для случая двух неизвестных иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким об­ра­зом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно другого.

В общем случае для решения систем нелинейных уравнений обычно используются итера­ци­онные методы.

4.1.Метод простых итераций.

Пусть требуется найти действительные решения системы двух уравнений

F₁(x,y) = 0

F₂(x,y) = 0

с заданной точностью.

Для этого перепишем исходную систему в приведенном (итерационном) виде:

x = ₁(x,y)

y = ₂(x,y)

Пусть x₀ и y₀ - начальные приближения корней, полученные графическим или каким-либо дру­гим способом. Подставив эти значения в правые части приведенной системы уравнений мож­но получить

x₁ = ₁(x₀,y₀)

y₁ = ₂(x₀,y₀)

Аналогично можно получить второе приближение

x₂ = ₁(x₁,y₁)

y₂ = ₂(x₁,y₁)

В общем случае

x_n = ₁(x_n-1,y_n-1)

y_n = ₂(x_n-1,y_n-1)

Если функции ₁(x,y) и ₂(x,y) непрерывны и последовательности x₁, x₂, … , x_n, … и y₁, y₂, … , y_n, … сходятся, то пределы их дают решение приведенной, а следовательно, и исходной системы.

Теорема об условиях сходимости итерационного процесса в этом случае выглядит следую­щим образом:

Пусть в некоторой замкнутой окрестности R (a  x  A, b  y  B) имеется одно и толь­ко одно решение x = x* и y = y* приведенной системы.

Тогда если:

1) Функции 1(X,y) и 2(X,y) определены и непрерывно дифференцируемы в r;

2) начальные приближения x₀, y₀ и все последующие приближения x_n, y_n (n = 1,2, …) при­над­лежат R;