2.6.Достаточное условие сходимости метода простой итерации.

Пусть функция (x) определена и диффе­ренцируема на отрезке [a,b], причем все ее зна­чения (x)  [a,b].

Тогда, если выполняется условие

 '(x) < 1

при a < x < b, то:

1) процесс итерации x_n = (x_n-1) (n=1,2,…) сходится независимо от начального значения x₀  [a,b];

2) предельное значение является единственным корнем уравненияx = (x) на отрезке [a,b] .

Если это условие выполняется не на всем интервале, то метод может как сходиться, так и расходиться.

Вывод условия сходимости:

Так как  = () и x_n = (x_n-1), то можно записать

По теореме о среднем (она утверждает, что если производная функции f(x) непрерывна на некотором интервале [a,b], то тангенс угла наклона хорды, проведенной между точками a и b (т.е. {f(b)-f(a)/(b-a)} равен производной функции в некоторой промежуточной точке, лежащей между a и b) частное в последнем выражении будет равно '(C), где С - некоторая промежуточная точка в интервале поиска корня.

Следовательно

x_n -  =  ' (C)  (x_n-1 - )

Если ввести обозначение M = max ' (x) для всего интервала поиска, то предыдущее равенство может быть переписано в виде:

x_n -   M  x_n-1 - 

Аналогично

x_n-1 -   M  x_n-2 - 

Тогда для x_n -  будет справедливо неравенство:

x_n -   M ²  x_n-2 - 

и т.д.

Продолжая эти выкладки дальше, в результате получаем

x_n -   M ⁿ  x₀ - 

где n - натуральное число.

Чтобы метод сходился, необходимо выполнение неравенства:

x_n -  < M ⁿ  x₀ - 

Отсюда следует, что M = max ' (x) должно быть меньше единицы.

В свою очередь, для всех остальных значений  ' (x) меньших М, можно записать:

 ' (x) < 1

2.7.Оценка погрешности n-приближения.

Метод хорд: |x*- x_n | (M₁-m1)|x_n - x_n-1|/ m₁,где M1,m₁-наибольшее и наименьшее значение |f’(x)| на [a,b].

Метод Ньютона:|x*- x_n | M₂(x_n - x_n-1) ²/2 m₁,где M2-наибольшее значение |f’’(x)|, m1- наименьшее значение |f’(x)| на [a,b].

Метод итераций: Пусть  - точное значение корня уравнения х = (x), а число q определяется из соотношения '(x)  q < 1. Тогда справедливо соотношение (вывод см. ниже):

.

Если поставить условие, что истинное значение корня  должно отличаться от приближенного значения на величину , т.е.  - x_n, то приближения x₀, x₁, … , x_n надо вычислять до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

или

и тогда  = x_n  

3. Решение систем линейных уравнений.

Линейная система n уравнений может быть записана в виде:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

. . . . . . . . . . .

a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n = b_n

Эту систему линейных уравнений можно также записать в матричном виде:

,

где A - матрица коэффициентов системы, а и- вектор-столбец неизвестных и вектор-столбец правых частей соответственно.

.

3.1.2.Классификация слау

1. Если количество уравнений в системе больше количества неизвестных, то система называется переобусловленной. Если количество уравнений меньше количества неизвестных, то система называется недообусловленной.

2. Если система имеет хотя бы одно решение, она называется совместной. Система, не имеющая решений, называется несовместной.

3. Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной. Совместная система, имеющая бесконечное количество решений, называется неопределенной.

4. Если все коэффициенты правых частей системы равны нулю, то система называется однородной. Если хотя бы один из этих коэффициентов не равен нулю, то система называется неоднородной.

Однородная система уравнений всегда совместна, т.к. имеет хотя бы одно решение, x_i = 0 (i=1,2,…,n), называемое тривиальным.