Метод парабол

В этом методе вершины каждых трех ординат соединяются дугами квадратичных парабол, оси которых параллельны оси y. Таким образом, вместо двух прямоугольных трапеций рассматривают одну элементарную трапецию, ограниченную параболической дугой. Исходя из этого можно видеть, что число разбиений n в методе Симпсона должно быть четным.

Площади полученных трапеций можно обозначить как s₁₂, s₃₄, … , s_n-1,n. Рассмотрим первую из этих трапеций. Для упрощения вычислений можно перенести ось ординат параллельно самой себе так, чтобы она шла вдоль ординаты y_o . Ясно, что от этого величина площади не изменится.

Уравнение квадратичной параболы , ось которой па­раллельна оси y, есть

y = A₀ + A₁*x + A₂*x²

Чтобы парабола проходила через точки подынтег­ральной кривой (x_o,y_o), (x₁,y₁), (x₂,y₂) нужно правильно подобрать коэффициенты А₀, А₁ и А₂:

Так как x_o = 0, x₁ = h и x₂ = 2h, то, подставив эти значения в приведенное выше уравнение можно получить:

После решения этой системы можно найти:

; ;

Площадь s₁₂ определяется интегралом:

Подставив найденные значения А₀, А₁ и А₂ в это уравнения и приведя свободные члены, получим:

Аналогично

. . . . . . . . . .

Следовательно,

Отсюда можно найти формулу метода парабол (или метода Симпсона):

Или, в более компактном виде:

где c_j = 1, 4, 2, 4, 2, … ,2, 4, 1 .

Предельная абсолютная погрешность метода Симпсона:

, где

8.2.Метод Рунге двойного счета для оценки погрешности.

Метод тройного счета.

10. Методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

1.1. Опр. Пусть дан отрезок [a,b].Равномерной сеткой на этом отрезке назовем множество узлов w_hтакое, что  w_h = { x_j= jh,  j=0,...,n, h=(b-a)/n) }.

Опр. Сеточной функцией y = y_j= y(x_j) называется функция, заданная в узлах сетки.

Любую сеточную функцию y _j= y(x_j) можно представить в виде вектора Y=(y₀, y₁, ..., y_n-1, y_n), и, следовательно, множество сеточных функций образует конечномерное пространство, в данном случае размерности n+1. В этом пространстве можно ввести норму, напримерили.

Пусть дано дифференциальное уравнение Lu(x) = f(x,u) ( например, ) .

1.2.Заменим Lu в узле сетки x_i линейной комбинацией значений сеточной функции y_i на некотором множестве узлов сетки, называемом шаблоном. Такая замена Lu на L_h y_h называется аппроксимацией на сетке дифференциального оператора L разностным оператором L_h . Замена непрерывной функции f(x,u) в узлах сетки на сеточную функцию j (x_h,y_h) называется аппроксимацией правой части.

Таким образом дифференциальное уравнение можно аппроксимировать (заменить) на сетке разностной схемой

L_h y_h = j ( x_h,y_h) ( например,).

Изучение разностных аппроксимаций проводится сначала локально, т.е. в любом фиксированном узле сетки.

Пусть u_h- проекция непрерывной функции u(x) на сетку ( например, u_h= u(x_j) = u_j).

Опр. Погрешностью аппроксимации дифференциального оператора Lu разностным оператором L_hназовем величину y₁= (Lu)_h- L_hu_h , где (Lu)_h- проекция на сетку результата действия дифференциального оператора L на функцию u

( например,) .

Опр. Говорят, что погрешность аппроксимации дифференциального оператора имеет в узле x_iпорядок k , если y₁(x_i) = O(h^k)0 при h0.

Опр. Погрешностью аппроксимации правой части f сеточной функцией j_h назовем величину y₂= f_h- j_h , где f_h- проекция на сетку функции f(x,u) (например, f(x_{j ,uj).}

Опр. Погрешность аппроксимации правой части имеет в узле x_iпорядок m , если y₂= O(h^m)0 при h0

Опр. Погрешностью аппроксимации разностной схемы на решении в узле x_i(локальной погрешностью) назовем величину y , равную

y = y ₁ - y₂ = (Lu)_h- L_hu_h - ( f_h- j_h)= j_h - L_hu_h,

здесь использовано, что Lu=f.

.

Опр. Значения локальной погрешности аппроксимации в каждом узле x_i образуют сеточную функцию погрешности аппроксимации y_i.

Обычно требуется оценка погрешности аппроксимации на сетке, т.е. оценка функции y _iв некоторой сеточной норме.

Опр. Говорят, что погрешность аппроксимации разностной схемы имеет m-ый порядок на сетке, если чкyчк = O(h^m).

Опр. Решение разностной схемы сходится к решению дифференциального уравнения с порядком k на сетке, если погрешность решения

ч к z_hч к =ч к u_h- y_hч к = O(h^k) ® 0 при h® 0.