- •Элементы теории погрешностей.
- •1.1.Определение абсолютной и относительной погрешности численного результата.
- •1.2.Основные составляющие абсолютной погрешности.
- •1.3.Формулы для оценки абсолютной и относительной погрешности для значения функции и переменных.
- •Решение уравнений с одной неизвестной.
- •2.1.Отделение корней уравнения и отделение корней алгебраического уравнения.
- •2.2.Понятие кратного корня.
- •2.3.Методы уточнения корней простой итерации.
- •2.4.Метод Ньютона.
- •2.5.Метод хорд.
- •2.6.Достаточное условие сходимости метода простой итерации.
- •Вывод условия сходимости:
- •2.7.Оценка погрешности n-приближения.
- •Решение систем линейных уравнений.
- •3.1.2.Классификация слау
- •3.1.3.Обусловленность слау
- •3.1.Метод Гаусса.
- •3.2.Метод прогонки.
- •3.3.Метой простой итерации. Приведение системы к итерационной форме
- •Выполнение итерации
- •Проверка условия окончания решения
- •3.4.Достаточное условие сходимости простой итерации.
- •3.5.Оценка погрешности n-приближения.
- •4.1.Метод простых итераций.
- •1) Функции 1(X,y) и 2(X,y) определены и непрерывно дифференцируемы в r;
- •3) В r выполнены неравенства
- •4.2.Метод Ньютона.
- •Интерполяция функций.
- •5.1.Постановка задачи.
- •5.2.Формула Лагранжа.
- •5.3.Формула Ньютона.
- •5.4.Оценка погрешности интерполяции.
- •5.5.Интерполяция сплайнами.
- •Определение кубического сплайна.
- •Формулировка системы уравнений для коэффициентов кубического сплайна.
- •Аппроксимация функций.
- •6.1.Постановка задачи.
- •6.2.Метод наименьших квадратов.
- •6.3.Матричная формула для коэффициентов многочлена аппроксимации.
- •Численное интегрирование.
- •8.1.Формулы прямоугольников, трапеций, парабол (Симпсона). Оценки погрешностей. Методы прямоугольников
- •Метод трапеций
- •Метод парабол
- •8.2.Метод Рунге двойного счета для оценки погрешности.
- •Методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
- •9.1.Интегральное представление задачи Коши.
- •10.1.Обусловленность задачи поиска минимума.
- •10.3.Метод золотого сечения.
- •10.4.Метод координатного спуска.
- •10.5.Метод наискорейшего спуска.
3.1.3.Обусловленность слау
Таким образом, малые погрешности вычислений или исходных данных могут привести к существенным погрешностям в решении. Такие системы уравнений называются плохо обусловленными.
Для оценки полученного решения используют следующее соотношение:
Произведение называется числом обусловленности матрицы A и обозначается как cond(A).
3.1.Метод Гаусса.
Он основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы.
Сначала с помощью первого уравнения исключается х1 из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения исключается х2 из третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех пор, пока в левой части последнего (n-го) уравнения не останется лишь один член с неизвестным xn, т.е. матрица системы будет приведена к треугольному виду.
Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных: решая последнее уравнение находят единственное неизвестное xn. Далее, используя это значение, из предыдущего уравнения вычисляют xn-1 и т.д. Последним находят значение х1 из первого уравнения.
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
Для исключения х1 из второго уравнения прибавим к нему первое, умноженное на -а21/а11 .
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
(a22-а21/а11)x2 + (a23-а21/а11)x3 = b2-(а21/а11)b1
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
Затем, умножив первое уравнение на -а31/а11 и прибавив результат к третьему уравнению, исключим из него х1
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
(a22-а21/а11)x2 + (a23-а21/а11)x3 = b2-(а21/а11)b1
(a32-а31/а11)x2 + (a33-а31/а11)x3 = b3-(а31/а11)b1
Общие формулы пересчета коэффициентов при этом выглядят следующим образом:
a'ij = aij - (ai1/a11)a1j (i,j = 2,3)
b'i = bi - (ai1/a11)b1 (i = 2,3)
Т.е. система имеет вид
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a'22x2 + a'23х3 = b'2
a'32x2 + a'33x3 = b'3
Теперь из третьего уравнения системы надо исключить х2. Для этого надо умножить второе уравнение на -a'32/a'22 и прибавить результат к третьему. В результате получится
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a'22x2 + a'23х3 = b'2
a''33х3 = b''3
где a''33 = a'33 - (a'32/a'22)a'23 и b''3 = b'3 - (a'32/a'22)b'2 .
Матрица полученной системы имеет треугольный вид.
В процессе исключения неизвестных приходится выполнять операции деления на коэффициенты а11, а22 и т.д. Поэтому они должны быть отличными от нуля. В противном случае необходимо соответствующим образом переставить уравнения системы. Диагональные элементы матрицы обычно называют ведущими или главными элементами.
Обратный ход начинается с решения третьего уравнения системы
x3 = b''3/a''33 .
Используя это значение, можно найти х2 из второго уравнения, а затем х1 из первого:
x2 = (b'2 - a'23x3)/a'22 ; x1 = (b1 - a12x2 - a13x3)/a11
Аналогично строится вычислительный алгоритм для линейной системы с произвольным числом уравнений. При этом расчетные формулы принимают вид:
Прямой ход метода Гаусса
, , где
k=1,2,…,n-1 ; i=k+1,k+2,…,n ; j=k+1,k+2,…,n .
В этих формулах k - номер неизвестного, которое исключается из оставшихся n-k уравнений (а также номер того уравнения, с помощью которого исключается xk); i - номер уравнения, из которого исключается неизвестное xk; j - номер столбца.
Обратный ход метода Гаусса
; , где i=n-1,n-2,…,1 .
В этих формулах i - номер неизвестного, которое определяется из i-го уравнения; j=i+1,i+2,… - номера уже найденных неизвестных.