2. Решение уравнений с одной неизвестной.

2.1.Отделение корней уравнения и отделение корней алгебраического уравнения.

Всякое уравнение с одним неизвестным можно представить в виде

(x) = g(x) ,

где (x) и g(x) - данные функции, определенные на некотором числовом множестве Х, называемом областью допустимых значений уравнения. Уравнение с одним неизвестным можно записать в виде

f(x) = 0 .

Совокупность значений переменной х, при котором уравнение превращается в тождество, называется решением этого уравнения, а каждое значение х из этой совокупности, называется корнем уравнения. Решить уравнение - это значит найти множество всех корней этого уравнения. Оно может быть конечным или бесконечным.

Если в запись уравнения входят только алгебраические функции, то уравнение называется алгебраическим.

Алгебраическое уравнение может быть приведено к виду:

.

Процесс нахождения приближенных значений корней уравнения разбивается на два этапа:

1) отделение корней;

2) уточнение корней до заданной точности.

Корень  уравнения f(x) = 0 считается отделенным на отрезке [a,b], если на этом отрезке уравнение f(x) = 0 не имеет других корней.

Отделить корни - это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень.

Графический метод отделения корней - в этом случае поступают также, как и при графическом методе решения уравнений.

Если кривая касается оси абсцисс, то в этой точке уравнение имеет двукратный корень (например, уравнение x³ - 3x + 2 = 0 имеет три корня: x₁ = -2 ; x₂ = x₃ = 1).

Если же уравнение имеет трехкратный действительный корень, то в месте касания с осью х кривая y = f(x) имеет точку перегиба (например, уравнение x³ - 3x² + 3x - 1 = 0 имеет корень x₁ = x₂ = x₃ = 1).

Аналитический метод отделения корней. Для этого используют некоторые свойства функций.

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a,b] существует по крайней мере один корень уравнения f(x) = 0.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [a,b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a,b] содержится корень уравнения f(x) = 0, и этот корень единственный.

Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, а производная f '(x) сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то внутри отрезка [a,b] существует корень уравнения f(x) = 0 и притом единственный.

Порядок действий для отделения корней аналитическим методом:

1) Найти f '(x) - первую производную.

2) Составить таблицу знаков функции f(x), полагая х равным:

а) критическим значениям (корням) производной или ближайшим к ним;

б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного).

2.2.Понятие кратного корня.

Если кривая касается оси абсцисс, то в этой точке уравнение имеет двукратный корень (например, уравнение x³ - 3x + 2 = 0 имеет три корня: x₁ = -2 ; x₂ = x₃ = 1).

Если же уравнение имеет трехкратный действительный корень, то в месте касания с осью х кривая y = f(x) имеет точку перегиба (например, уравнение x³ - 3x² + 3x - 1 = 0 имеет корень x₁ = x₂ = x₃ = 1).